2023-2024学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的各项均为正数，若，，则( )
A. B. C. D.
4.设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个错的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在处取得极小值，则( )
A. B. C. D.
7.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知直线与抛物线相交于，两点，线段的中点的横坐标为，点为轴上的动点若的最小值为，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为
B. 椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为
C. 双曲线上一点到一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为
D. 双曲线上一点到一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为
10.已知点在圆：上，点，，则( )
A. 直线与圆相切 B. 点到直线的距离小于
C. 当最大时， D. 的最小值小于
11.若数列的前项和，数列的通项，则( )
A.
B. 数列的前项和
C. 若，则数列的前项和
D. 若，数列的前项和为，则不存在正整数，使得
12.已知函数，则( )
A. 当时，函数恰有个零点
B. 当时，函数恰有个极值点
C. 当时，函数恰有个零点
D. 当函数恰有个零点时，必有一个零点为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线被圆截得的弦长为______．
14.双曲线的一条渐近线是曲线的切线，则的值为______．
15.设等差数列的前项和为，数列的前项和为若，，则 ______．
16.如图所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成建立如图所示的平面直角坐标系，圆：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为______；若动直线与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于，两点，则当的面积最大时，的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，：，其中为实数．
当时，求直线，之间的距离；
当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点，抛物线的准线与轴的交点为，，．
求抛物线的方程；
求的面积．
19.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线的斜率为，其中．
求的值和的方程；
证明：当时，．
20.本小题分
已知数列是等差数列，数列是公比大于的等比数列，的前项和为条件；条件；条件；条件从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列、存在且唯一确定．
求数列、的通项公式；
求数列的前项和．
21.本小题分
已知双曲线过点，离心率为．
求的方程；
过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于，两点，点在第一象限，直线的斜率为若四边形为平行四边形，证明：为定值．
22.本小题分
已知函数，，，
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若关于的方程有两个实根，
求的范围；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则，则．
直线的倾斜角为，
故选：．
由已知直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于直线倾斜角的正切值求解．
本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由椭圆的焦点在轴上，可得，，
由离心率为，可得，，，
所以，解得．
故选：．
由已知可得，进而可得，求解即可．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
由于等比数列的各项均为正数，则，
若，，则有，解可得或舍，
故．
故选：．
根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，解可得的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆与圆有公共点，
故圆心距和两圆的半径的关系满足：．
故选：．
直接利用圆心距和两圆的半径的关系判断结果．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
故B，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
因为函数在处取得极小值，
所以，所以，解得，
所以，所以．
故选：．
对求导，根据条件，得到，求出，的值，再求出的值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，
变形可得，
设，其导数，
必有，故在上为减函数，
故，
则有，必有，
变形可得：，解可得，即不等式的解集为．
故选：．
根据题意，原不等式等价于，设，求出的导数并分析其单调性，可以将原不等式转化为，解可得答案．
本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设点，，联立与，
消去得，则．
因为线段的中点的横坐标为，所以，即．
设点关于轴的对称点为，则，
所以
，解得或．
故选：．
设点，，联立直线与抛物线方程可得进而设点关于轴的对称点为，可得，进而计算可求得实数的值．
本题考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，
这里，所以距离之和为，所以选项A正确．
选项B，根据椭圆的性质，椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，
这里，，所以最大值为，所以选项B错误．
选项C，根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，
这里，所以点到另一个焦点的距离为，所以选项C正确．
选项D，根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，
这里，所以点到另一个焦点的距离为或，所以选项D错误．
故选：．
利用椭圆的定义与双曲线的定义，逐项计算判断可得结论．
本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，圆：的圆心为，半径，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，故A不正确；
对于，因为圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，故B正确；
对于，当直线与圆相切图中位置时，最大，
此时，故C正确；
对于，当直线与圆相切图中位置时，最小，
由，，得，
结合，
可得，所以，可知D正确．
故选：．
求出直线的方程，利用点到直线的距离公式判断出项的正误；根据圆上的点到直线距离的最值，判断出、两项的正误；根据直线与圆相切时最大，判断出项的正误．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、两角和与差的三角函数公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：数列的前项和，数列的通项，
，故A正确；
，故B错误；
，
，故C正确；
，
，
，
此方程无正整数解，故D正确．
故选：．
利用数列的通项公式及前项和公式的关系，可判断；利用等比数列的前项和公式，可判断；利用裂项法求和，可判断．
本题考查了数列的通项公式及前项和公式的关系，等比数列的前项和公式，裂项法求和，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
令，则，
在上是减函数，在上是增函数，
，
当时，，恒成立，
在上是增函数，
又当时，；当时，，
有且仅有一个零点，故A正确；
当时，，有两个实根，，
当时，即；
当时，即；
当时，即，
在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
有两个极值点，故B正确；
当有两个零点时，或，
即或，
将或代入得，或，
故C错误，D正确．
故选：．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数和零点个数，判断，，，．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，所以弦长为．
故答案为：．
利用点到直线的距离公式，勾股定理即可得．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知双曲线的渐近线方程为，
设切点坐标为，
又，
则，
即，
由直线的斜率公式可得，
即．
故答案为：．
由双曲线的性质，结合导数的几何意义求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了导数的应用，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
则，，
解得，，，
所以，
则，
所以．
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，我们知道圆：的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，
所以椭圆的短半轴长，长半轴长，所以椭圆的离心率为．
所以椭圆的方程为，
将代入圆的方程与椭圆方程，可得，．
则，由和在区间均单调增加，
则当时，的面积最大，即．
故答案为：；．
由题意可求得，，进而可求离心率，求得，的坐标，进而可得，可求三角形的面积的最大值，进而可的值．
本题主要考查了椭圆的性质和三角形面积的计算，属中档题．
17.【答案】解：因为直线：，：，时，
则，解得，
此时直线的方程为，
所以两条直线间的距离；
当时，则直线的方程为：，
联立，解得，，
即两条直线的交点的坐标为，
又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为，
将点的坐标代入可得，
解得．
所以直线的方程为．
【解析】写出两条直线平行的充要条件，进而可得的值，再求出两条直线之间的距离的大小；
由，可得两条直线的交点坐标，由题意设所求的直线方程，将交点坐标代入可得所求的直线方程．
本题考查两条直线平行，垂直的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：由抛物线的定义可得点到焦点的距离为点到准线的距离，
即，则，
所以，
所以抛物线的方程为．
由知，，，
代入抛物线的方程，
解得，
所以，
直线的方程为，即，
联立，得，
解得，，
当时，，
所以．
【解析】由抛物线的定义可得点到焦点的距离为点到准线的距离，由，得，解得，即可得出答案．
由知，，，代入抛物线的方程，解得，联立直线与抛物线的方程，解得点坐标，，即可得出答案．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
在点处的切线的斜率为，
，，
切线的方程为，即．
证明：令，则，
在上是减函数，在上是增函数，
，
．
【解析】先求函数的导数，再根据导数的几何意义列式求出值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
对函数求导，讨论函数的单调性，即可得到的极小值．
本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：若选，选，选，、不唯一确定；故必须选，
若选，可得时，，解得．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，
由，可得时，，相减可得，化为，可得，即，
则；
若选，，，、不唯一确定；
若选，，，可得，则，等比数列不存在．
综上，可得，；
，
前项和
．
【解析】考虑选，，，可得、不唯一确定；故必须选，考虑选，，，结合等比数列的定义和通项公式，可得结论；
由数列的分组求和与等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的递推式与数列的分组求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：根据题意可得，
解得，，，
所以双曲线的方程为．
证明：设直线的方程为，直线的方程为，，
将代入直线得，
即，
联立，得，
得，即，
因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，
联立，得，，
即，
联立，得，，
即，
所以，
因为，，
所以，
所以，
又，
得，，
所以，
所以，
因为
，
所以，为定值．
【解析】根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线得，联立直线与双曲线的方程得，得，联立，得点坐标，联立，得点坐标系，进而可得的坐标，由，，得，
则，又，可得，计算，即可得出答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：在上单调递增，
对成立，
当时，，
对成立，
令，则，
在上是增函数，在上是减函数，
，
的取值范围为．
令
，
在上是增函数，在上是减函数，
，
又关于的方程有两个实根，
的取值范围．
证明：由知，，，
，
令，
，
则对成立，
在上是增函数，，
在上是增函数，
，
故．
【解析】对成立，则对成立，令，求出的最大值即可；
，求出的单调区间，即可求解；
，令，求出的最小值，即可证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力，属于难题．
第1页，共1页