2023-2024学年湖南省部分学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省部分学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件
3.已知弧长为的扇形面积也为，则该扇形的圆心角正角为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过取：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，，则函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数在上单调递增，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
11.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮匀速转动的转动时间单位：分钟与座舱距离地面的高度单位：米的函数关系式为，，，且开始转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，转动分钟后，座舱距离地面的高度为米，则( )
A.
B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为分钟
C.
D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为米
12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则( )
A.
B. 在上单调递减
C.
D. 函数恰有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角的终边经过点，则 ______．
14.函数的图象经过定点，则点的坐标为______．
15.若函数在上恰有个零点，，，，则 ______．
16.已知定义在上的奇函数满足，且若，，，，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
已知正数满足，求的值．
18.本小题分
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．
求的解析式；
若是奇函数，求的值；
求在上的最小值与最大值．
19.本小题分
某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
销售人员个人每月销售额万元 销售额的提成比例
不超过万元的部分
超过万元的部分
记销售人员每月的提成为单位：万元，每月的销售总额为单位：万元．
注：表格中的表示销售额超过万元的部分另附参考公式：销售额销售额的提成比例提成金额．
试写出提成关于销售总额的关系式；
若某销售人员某月的提成不低于万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
20.本小题分
已知指数函数．
若在上的最大值为，求的值；
当时，若对恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
求图象的对称中心的坐标；
若，，求的值．
22.本小题分
已知函数，，且．
若，函数，求的定义域；
若，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，；
当时，可能为．
故“”可以推出“”，“”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件．
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设该扇形的圆心角为，半径为，则，
解得．
故选：．
根据题意，利用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解．
本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，当且仅当时取等号，
所以．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，
，
综上所述，．
故选：．
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于函数，
，，，
故函数的零点所在的区间为．
故选：．
由于连续函数满足，，根据函数零点的判定定理求得零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
所以．
故选：．
根据正切与正、余弦的的关系求出，再结合正切二倍角公式求得结果．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：的物块经过后的温度，
的物块经过后的温度．
要使得两块物体的温度之差不超过，则，
即，
解得．
故选：．
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故A错误；
对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故B正确；
对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，由选项C的函数图象都为单调递减函数，故C错误；
对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故D正确．
故选：．
直接利用指数函数和对数函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
在上大于零且单调递增，，求得．
则的取值可以为或，
故选：．
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，求得的取值范围，从而得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意知，函数中，，所以，因为，所以，选项A不正确；
的最小正周期为，所以该摩天轮转动一圈所用的时间为分钟，选项B正确；
由，所以，
，解得，，选项C正确；
又，所以该摩天轮座舱距离地面的最大高度为米，选项D正确．
故选：．
由题意知，得出，求出，利用求出的最小正周期，根据，，求出、，即可判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：已知定义在上的奇函数满足，且当时，，
对于选项A，
由，
得，
即选项A正确；
对于选项B，当时，，
则，
得，
画出的部分图象如图所示．
由图可得在上单调递增，
即选项B错误；
对于选项C，，
即选项C正确；
对于选项D，因为，
所以为偶函数，
当时，令，
得，
画出函数的图象，
因为，
所以与在上的图象只有个零点，
根据函数奇偶性可得恰有个零点，
即选项D错误．
故选：．
对于选项A，由已知可得；对于选项B，由已知条件作出的部分图象可判断；对于选项C，结合函数的周期性可判断；对于选项D，结合函数的性质，作出与在上的图象，观察两者的交点个数即可．
本题考查了函数的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，
，
则．
故答案为：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，得，此时，
所以点的坐标为．
故答案为：．
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，可得的周期，作出函数的草图，如下图所示，
由于在上有个周期，若在上恰有个零点、、，则．
故答案为：．
求得的周期，可知在上有个周期，结合图象的特征求出的值．
本题主要考查三角函数的周期性、余弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、图象的理解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，
因为是奇函数，所以，
所以，
所以为偶函数，由题知，，
不妨设，即，
因为，
所以，即，
所以在上，为减函数，
因为为偶函数，所以在上单调递增，
因为不等式可化为，即，
又因为，，可得，
所以可化为，解得或，
所以解集为．
故答案为：．
结合已知不等式考虑构造函数，结合已知先判断的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：
；
因为正数满足，
所以，即，
所以，即．
【解析】结合对数的运算性质即可求解；
结合指数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：由题意可得，
因为是奇函数，
所以，解得；
因为，所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为，
当，即时，取得最大值，且最大值为．
【解析】根据周期变换和平移变换即可得解；
根据三角函数的奇偶性即可得解；
根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解．
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，三角函数奇偶性及最值的求解，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意知，当时，，
当时，；
所以提成关于销售总额的函数关系式为；
当时，，
则该销售人员当月的销售总额必定超过万元，
令，得，解得，
所以该销售人员当月的销售总额至少为万元．
【解析】根据题意，利用分段函数写出函数解析式；
时，，列不等式求解即可．
本题考查了分段函数应用问题，是中档题．
20.【答案】解：当时．在上单调递增，
可得，解得；
当时，在上单调递减，
可得，解得．
综上可得，实数的值为或．
方法一：由函数在上单调递减，
当时，在上单调递增，且，
所以，即，
又因为，所以，所以实数的取值范围是．
方法二：由题意得，不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，，
因为，所以为增函数，所以，所以，
又因为，解得，所以实数的取值范围是．
【解析】根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解；
方法一：由在上单调递减，转化为，即可求解；
方法二：根据题意，转化为对恒成立，令，，结合函数的单调性，得到，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由函数
．
令，可得．
所以的单调递减区间为．
解：由函数，
令，解得，
所以图象的对称中心的坐标为．
解：由，可得，则，
因为，所以，所以，
所以．
【解析】根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；
由中函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
由，求得，得到，结合两角差的余弦公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：，的定义域为．
．
因为且，，所以恒成立．
若，则函数是增函数．
因为，所以，即．
设，要使时，恒成立，
只需或；
解得．
故符合题意．
若，则函数是减函数．
因为，所以，即．
结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立．
故不符合题意．
综上，的取值范围为．
【解析】直接利用函数的关系式求出函数的定义域；
利用函数的单调性及函数的恒成立问题以及二次函数的性质判断参数的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，判别式和函数的恒成立问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
第1页，共1页