2023-2024学年上海市闵行区重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市闵行区重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，正方体中，是线段上的动点包含端点，则下列哪条棱所在直线与直线始终异面( )
A.
B.
C.
D.
3.画法几何学的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆的蒙日圆方程为若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.设是公差不为的无穷等差数列，现有下述两个命题：“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件则说法正确的选项是( )
A. 命题与均为真命题 B. 命题为真命题，命题为假命题
C. 命题为假命题，命题为真命题 D. 命题与均为假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ______．
6.已知平面向量，，满足，则实数 ______．
7.双曲线的渐近线方程为______．
8.无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行已知函数，则 ______．
9.若抛物线上一点的横坐标为，则点与抛物线焦点的距离为______．
10.已知，，表示三个不同的平面，若，且，，则直线，的位置关系是______．
11.二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成角的大小是______．
12.设等比数列的前项和为，若，，则 ______．
13.已知关于的方程的一个虚根为其中为虚数单位，则实数 ______．
14.已知，是的导函数则当时，函数的值域是______．
15.已知，则的最小值为______．
16.已知数列满足，且前项和为，则首项 ．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
求证：平面；
若，求直线与平面所成的角大小．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值．
19.本小题分
某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动处有一栋大楼，某学生选B、与在同一水平面上两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼大楼与水平面垂直楼顶的仰角为．
求，两点间的距离；
求大楼的高度及二面角的正切值．
20.本小题分
已知椭圆，，是椭圆的左右焦点．
求椭圆的离心率；
若是椭圆上一点，的面积为，求点的坐标及角的大小；
若过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，问：轴上是否存在定点，使直线与的斜率互为相反数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
已知函数，求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，是正切函数，是奇函数，不符合题意．
对于，是对数函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
对于，是幂函数，是奇函数，不符合题意．
对于，设，的定义域为，
，所以为偶函数，符合题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当运动到点时，与直线相交，故A错误；
当运动到点时，与直线相交，故B错误；
因为与在同一平面上，，平面，
所以由异面直线判定定理知，直线与直线始异面，故C正确；
当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误．
故选：．
根据点运动到线段端点、中点位置可判断，根据异面直线的判定可判断．
本题考查异面直线的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得．
故选：．
根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，由等差数列的通项公式，不妨设，
依次分析两个命题：
对于，“对任意正整数，都有成立”，必有，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；
反之，当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，正确；
由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，正确．
故选：．
根据题意，利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可．
本题考查等差数列的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：解得，，
．
故答案为：
先解不等式求得集合，然后求得．
本题考查了交集及其运算，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，即，解得．
故答案为：．
根据两向量垂直的关系得，利用向量坐标运算即可求．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程是：．
故答案为：．
利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
则
．
故答案为：．
根据题意，先求出函数的导数，将代入计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
又点在抛物线上，由抛物线的定义可得．
故答案为：．
求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得所求距离．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，表示三个不同的平面，若，且，，
由题意知，且，，
根据面面平行的性质定理可得．
故答案为：．
根据面面平行的性质定理可得答案．
本题考查根据面面平行的性质定理等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据二面角的定义
则线面垂直的性质，
二面角的平面角为，
有两条异面直线，分别垂直于平面，
设异面直线，的夹角为
则．
故答案为：．
根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线，分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，由于已知的二面角的平面角为，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．
本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角、线面垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，，设等比数列的公比为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
求出，得到公比，再利用公式法求和，最后求出其极限．
本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，关于的方程的根为，
由根与系数关系得．
故答案为：．
根据根与系数关系求得正确答案．
本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，所以，
，
当时，，
所以，，
故答案为：
根据题意，先求出的解析式，再根据自变量范围求正弦函数值域即可．
本题考查三角函数的恒等变形，涉及导数的计算，属于基础题．
15.【答案】．
【解析】解：依题意，，则，且，
所以，当且仅当时等号成立．
故答案为：．
利用基本不等式求得正确答案．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
即，得．
故答案为：．
在已知数列递推式中，分别取为奇数与偶数，可得与，利用累加法得到为奇数时与的关系，求出偶数项的和，然后列式求解．
本题考查数列递推式，考查等差数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：证明：由底面为正方形，可得，
又平面，平面，
可得，
又，平面，且，
可得平面；
由平面，为在平面内的射影，
可得为直线与平面所成的角．
在直角三角形中，，可得，
在直角三角形中，，
即有直线与平面所成的角为．
【解析】由线面垂直的性质和判定，可得证明；
由线面角的定义求得为直线与平面所成的角，再解直角三角形可得所求角的大小．
本题考查线面垂直的判定和性质，以及线面角的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由题意设等差数列的公差为，由，，
得，解得，
故；
由于等比数列的公比为，且满足，
而，则，故，
则，
又，则，
当，，时，显然成立，
由于随着的增大而增大，随着的增大而增大，
当时，，，故时，无解，
故满足的所有正整数的值为，，．
【解析】由题意求出等差数列的公差，即可求得答案；
求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，还考查了数列的单调性的应用，属于基础题．
19.【答案】解：在中，，
根据正弦定理可知：，则，
所以．
在中，，则，
所以，
过点作，垂足为，
因为面，面，
所以，
又，
所以面，
所以二面角的平面角为，
在中，
，
，
所以大楼的高度为，二面角的正切值为．
【解析】在中，，根据正弦定理可知，即可得出答案．
在中，，过点作，垂足为，可得二面角的平面角为，，即可得出答案．
本题考查正弦定理，考查三角函数在实际中应用．
20.【答案】解：椭圆，
可得，
所以椭圆的离心率为；
由可得，
依题意，
而，所以是椭圆的上顶点或下顶点，即．
由于，所以是等边三角形，
所以；
存在，理由如下：
设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，即，
且，
设，
则
，
由于，所以．
故存在符合题意．
【解析】根据椭圆方程求得，，进而求得椭圆的离心率；
先求得点的纵坐标，进而求得横坐标，根据三角形的知识求得角的大小；
设出直线的方程并与椭圆方程联立，可得两根之和及两根之积，假设存在符合题意的点，设出点的坐标，然后由来求得的坐标．
本题考查椭圆的性质的应用，直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：由，，得，
令，得，
，且，
不存在，满足且，
函数与不是“局部趋同”；
证明：函数，，
则，，
若函数与“局部趋同”，则存在，满足，且，
，且，
若有解，不论为何值，都存在，
满足，且，
即对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，
，即，
，
有解，
对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
若函数与“局部趋同”，
则且，
由，得，
即，则，
代入，得，
即，
若有解，函数与就“局部趋同“，
即有解，
令，则，
在上，，在上，，
则在上，，在上，，
即在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
从趋向于时，趋向于，趋向于，
则在从趋向于，趋向于，
，
则要使有解，即，即，
实数的取值范围是
【解析】求出两函数的导函数，根据题意列等式解出值，再代入原函数看是否相等即可得出答案；
求出两函数的导函数，根据题意列等式，得出要证明对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，证明有解即可，再根据二次函数证明即可；
求出两函数的导函数，根据题意列等式，消去得出若有解，则函数与就“局部趋同”，令，利用导数求出其值域，即可得出答案．
本题考查新定义、函数的性质、导数性质、参变分离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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