2023-2024学年上海市黄浦区重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市黄浦区重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.函数的零点所在的一个区间( )
A. B. C. D.
3.若为正整数是严格减数列，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.以下四个命题：
函数最小值为；
方程没有整数解；
若，则；
不等式的解集为．
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5. ______用符号“”或“”或“”或“”填空
6.已知等差数列，，，，则该数列第项的值为______．
7.与的等比中项是______．
8.若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为______．
9.若函数，为偶函数，则 ______．
10.函数，的最小值是______．
11.数列满足前项和，则数列的通项公式为______．
12.已知，若，则 ______．
13.已知数列的前项和为，若为等比数列，则实数的值为______．
14.已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围是______．
15.已知点，且平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则四边形的面积为______．
16.已知定义在的严格增函数与若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集为，集合，函数的定义域为集合，求．
18.本小题分
已知数列为等差数列，数列满足为正整数．
求证：数列为等比数列；
若，求数列的通项公式．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且图象如图所示根据奇函数的对称性，在如图的坐标系中画出时图象；
求当时，的解析式；
说明当时，的单调性并用单调性定义证明．
20.本小题分
某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为吨．
求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.本小题分
已知函数，记．
若，解不等式：；
设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围；
记其中、均为实数，若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于：因为，所以集合中一定含有元素，且元素、至少有一个，
因此，集合可能为，，三种情况．
若成立，则必然成立，反之，若成立，不一定成立，
因此，条件是条件的充分不必要条件．
故选：．
根据子集与真子集的定义，结合充分必要条件的定义算出答案．
本题主要考查集合的包含关系、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数是增函数，
，，
可得．
由零点判定定理可知：函数的零点所在的一个区间．
故选：．
判断函数的单调性，利用与函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，数列是严格减数列，所以对于恒成立，
又由，
可得，即对于恒成立，
又由，所以．
故选：．
根据题意，转化为对于恒成立，进而得到对于恒成立，即可求解．
本题数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析个命题：
对于，由于，则，即函数最小值为，错误；
对于，设，易得在上为增函数，
而，，
则在上有且仅有一个零点，且零点在区间上，
故方程，即程没有整数解，正确；
对于，由于，则有，
设，易得在上为增函数，
必有，正确；
对于，当时，，即在不等式的解集内，错误；
个命题中正确的有个．
故选：．
根据题意，结合二次函数的性质分析的最小值，可得错误，分析函数的零点情况，可得正确，由对数的运算性质可得，设，结合的单调性分析可得正确，举出反例可得错误，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及指数、对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为是自然常数，是实数集，所以．
故答案为：．
利用自然常数与实数集的定义即可得解．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由等差数列，，，，可得首项为，公差为，
所以该数列的第项为．
故答案为：．
根据题意，结合等差数列的通项公式的基本量的运算，即可求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设与的等比中项是，
则，
即，
解得：，
故答案为：．
利用等比数列的定义即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为幂函数在上是严格减函数，
所以，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意，利用幂函数的单调性即可得解．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，是偶函数，
所以，且，
即，即，
由于不恒为常数，所以观察可知，
则．
故答案为：．
利用函数奇偶性的定义与性质即可得解．
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为的图象开口向上，对称轴为，
又，所以的最小值是．
故答案为：．
根据二次函数的单调性进行求解即可．
本题考查了二次函数的最值的求解，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，得；
当时，可得．
适合上式，
．
故答案为：．
由已知求得首项，再由求得时的通项，则答案可求．
本题考查等差数列的前项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则，则，
又，所以．
故答案为：．
利用对数的运算性质推得，从而得解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，，
，
故答案为：．
由题意可得，，，根据等比数列的定义可得
，解方程求出实数的值．
本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前项和公式，第项与前项和的关系，求出等比数列的前三项，是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意，当时，，根据指数函数的性质，可得，
所以函数在上没有零点；
要使得函数存在零点，即上函数存在零点，
当时，为单调递减函数，
要使得函数存在零点，则满足，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，利用指数函数和一次函数的图象与性质，结合函数零点的概念，列出关系式，即可求解．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意设，则：
；
；
；
由得，；
整理得，，带入式解得，或舍去；
；
；
；
，；
；
；
四边形的面积为：．
故答案为：．
由条件可设，从而可以得出向量的坐标，根据题意有，从而便得到，这两式联立即可求出，，从而得出点的坐标，进一步求出的坐标，从而可以由求出，从而可得出，根据即可得出平行四边形的面积．
考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，平行四边形的定义，向量相等的概念，根据点的坐标求向量的坐标，消元法解二元二次方程组，根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式，平行四边形的面积公式．
16.【答案】
【解析】解：因为在上是严格增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
而，故；
因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，
又，所以，即，
则，且在上恒成立，
令，则，恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即，
综上，．
故答案为：．
先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解．
本题考查函数的单调性和不等式的恒成立问题，解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，得，解得，
所以，则或，
对于，有，解得，所以，
所以或．
【解析】解绝对值不等式与求具体函数定义域化简集合，，再利用集合的交并补运算即可得解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
18.【答案】证明：由题意，设等差数列的公差为，
则，
数列成以为公比的等比数列，
故数列为等比数列．
解：由题意及，可知数列为等比数列，
设等比数列的公比为，
则，解得，
，可得，
，，
，
化简整理，得，
解得，或，
当时，，
此时，，
当时，，
此时，，
，或，，
，
，或，，
，或，．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据等比数列的定义法及指数的运算即可推导出数列成以为公比的等比数列，从而证得结论成立；
先设等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公比的方程，解出的值，进一步计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式，再结合即可推导出数列的通项公式．
本题主要考查等比数列的基本运算．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，等比中项的性质运用，等比数列的通项公式的运用，指数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：由于奇函数图象关于原点对称，因此作出函数在时的图象关于原点的对称图形，
即得函数在时的图象，如图：
当时，，由函数是奇函数得；
当时，，则，
所以当时，的解析式为：．
当时，是单调递减函数．
证明如下：，且，
，
由得，，而函数在上单调递减，
则，于是即，
所以当时，是单调递减函数．
【解析】利用奇函数图象关于原点对称作出当时，的图象；
利用奇函数的定义求出当时，的解析式；
单调递减，利用单调性定义结合对数函数单调性推理即得．
本题考查了分段函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：每吨平均成本为万元，
则，
当且仅当，即时取等号，
年产量为吨时，每吨平均成本最低为万元；
设年获得总利润为万元，
则，
时，有最大值为万元，
年产量为吨时，可获得最大利润万元．
【解析】依题意可得每吨平均成本为，再利用基本不等式计算可得；
设年获得总利润为万元，则，即可得到函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得．
本题考查了函数与不等式的综合运用，属于中档题．
21.【答案】解：因为，，
当时，，
由，得，整理得，
即，
所以，即，
故不等式的解集为．
当时，，
则，
因为存在实数，使得成立，
所以在上有解，
整理得到在上有解，
因为在上为增函数，则，
而为增函数，则
而为减函数，则
所以的值域为
故．
因为，
所以，
令，，则，
因为对于任意的，均有，
所以对任意的恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为，
此时，整理得，
故，故，从而，
所以．
下证：在上恒成立．
设，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故在上恒成立．
综上，，．
【解析】由题意将不等式转化为，因式分解后即可得解；
将原方程有解转化在上有解，利用层层函数的单调性求得在上的值域，从而得解；
原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得的最小值为，从而关于，的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解．
本题考查了指数函数、对勾函数及二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
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