2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测
数学试题
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，且，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C 第三象限角 D. 第四象限角
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
7. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：
A. 2024年 B. 2023年 C. 2026年 D. 2025年
8. 已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数与的图象关于原点对称
B. 函数，且恒过定点
C. 已知命题，则的否定为：
D. 是的充分不必要条件
10. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存，使得
12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 在上单调递增
D. 在上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13. 若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为________．
14. 函数在上单调递减，则的范围为________ .
15. 已知是偶函数，当时，，且，则__________.
16. 已知的零点为，若，则整数的最大值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算 求值：
（1）；
（2）.
18. 已知幂函数在上增函数
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
19. 已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围.
20. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.
（1）把商品的利润表示为生产量的函数；
（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
21. 设，是关于的方程（其中）的两个实数根
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
22. 已知定义域为函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测
数学试题
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由，得，则，函数有意义，得，则，
所以.
故选：C
2. 若，且，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限.
【详解】由，，得，，
因此，所以角是第四象限角.
故选：D
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.
【详解】函数.
又为单调增函数，所以有唯一零点，且在区间内.
故选：C.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.
【详解】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项，
故选：A.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，可以判断的大小；根据作商法可得,可得答案.
【详解】是减函数，
，即，
而，即，
，
故选：B
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
7. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：
A. 2024年 B. 2023年 C. 2026年 D. 2025年
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数模型列不等式求解．
【详解】依题意，第n时投入资金为亿元，
设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
则得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：C．
8. 已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.
【详解】不等式，
令，则，
依题意，，，因此函数在上单调递增，
令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有
令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，
且恒成立，因此；
当时，由在上单调递增，得，解得，
由，，得，解得，因此，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数与的图象关于原点对称
B. 函数，且恒过定点
C. 已知命题，则的否定为：
D. 是的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据与的互相推出情况进行判断.
【详解】对于A：设上任意一点，其关于原点的对称点为，
所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确；
对于B：令，所以，此时，所以过定点，故B错误；
对于C：修改量词否定结论可得，故C正确；
对于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误；
故选：AC.
10. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC
11. 已知函数则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存在，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；
对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；
对于D，若，当时，；
当时，；
当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
12. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 在上单调递增
D. 在上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.
【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，，
所以和均为偶函数，A正确，B错误；
又因为，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，
故C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13. 若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由扇形面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.
【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为，由题意，
解得，所以扇形的周长为.
故答案为：.
14. 函数在上单调递减，则的范围为________ .
【答案】
【解析】
【分析】函数是由指数变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得的单调性，从而解出答案.
【详解】因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减. 因为函数在上单调递减所以.
故答案为：.
15. 已知是偶函数，当时，，且，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据偶函数的性质可知，
【详解】因为是偶函数，所以，解得.
故答案为：2
16. 已知的零点为，若，则整数的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析的零点，，得到，通过判断的范围即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，
当时，恒成立，不存在零点；
当时，单调递增，且，，
所以的零点，，
即，两边同时取对数，即，即，
所以，所以，
记，
显然，单调递减，所以，
所以，所以整数的最大值是0.
故答案为：0
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断的零点的范围，并通过和代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算 求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）17 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.
（2）运用诱导公式直接化简求值即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 已知幂函数在上是增函数
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；
（2）利用的单调性与定义域即可得解.
【小问1详解】
因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是增函数，故，
，则.
【小问2详解】
由（1）知在上是增函数，
又，的定义域为，
，解得，
的取值范围是．
19. 已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域；
（2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解.
【小问1详解】
因为，
由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
可知的开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可知当时，，当时，，
所以可得当时，函数的值域为.
【小问2详解】
当时，可得，令，，
可得，即上有解，
整理可得在上有解，
因为函数在上单调递增，当时，
所以的取值范围是.
20. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.
（1）把商品的利润表示为生产量的函数；
（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】（1）
（2）生产量为千件时，最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；
（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.
【小问1详解】
设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，
则，
所以.
【小问2详解】
当时，
，
当，即时，，
当时，是减函数，时，，
所以当时，，
所以生产量为千件时，最大利润为万元.
21. 设，是关于的方程（其中）的两个实数根
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得.
（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.
（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.
【小问1详解】
，是关于的方程（其中）的两个实数根，
所以，或，
由两边平方得，
，解得（舍）或.
所以.
小问2详解】
.
【小问3详解】
.
22. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，求解即可；
（2）由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，再设，根据二次不等式恒成立问题列式即可.
【小问1详解】
在上为奇函数，故，即，解得，故.
又，；解得
故，.
【小问2详解】
；
增大时，增大，减小，减小；
在上单调递减；
为奇函数，由得，；
又在上单调递减；
，该不等式对于任意恒成立；
对任意恒成立；
设，则对于任意恒成立；
设，△；
应满足：；
解得；
的取值范围为．
