2.1 比0小的数（1）
主要内容：
正负数的概念，区分正负数，用正负数表示具有相反意义的量.
教学过程：
1．引入：
①我们知道珠穆朗玛峰海拔8844米，那么吐鲁番盆地的最低处海拔高度比海平面低155米该如何表示呢？
②结合课本P12四幅图片，说出图中所给数字所代表的含义.
2．新授:
正负数概念：____________________________________________________，
正负数表示方法：________________________________________________；
0既不是__________________________，也不是________________________.
3.生活中常会遇到一些具有 ( http: / / www.21cnjy.com )相反意义的量:如增加与 ，收入与 等，对于这些具有相反意义的量，若规定其中一个量为正，则另一个就为负.
4．例题讲解：
例1：指出下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
练一练：请把下列各数填入相应的集合中：
( http: / / www.21cnjy.com )
正数集合 负数集合
例2：填空
（1）如果向北行走8km记作+8km，那么向南行走5km记作 ；
（2）如果运进粮食3t记作+3t，则－4t表示 ；
（3）如果节约了－20千瓦，实际上是 ；
（4）如果负一场得－1分，实际上是 .
练一练:
(1)如果买入大米200kg记作+200kg，则卖出120kg大米记作
(2)如果－50元表示支出50元，那么+40元表示 ；
(3)太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面11034m，它的海拔高度可以表示为 ；
(4)用正数或负数表示下列问题中的量：
①从同一港口出发，甲船向东航行142km，乙船向西航行137km： ；
②拖拉机加油50L，用去30L： ；
课堂练习：
1.任举4个正数： ；任举4个负数： .
2.把下列各数填入相应的集合中：
正数集合：｛ ,…｝
负数集合：｛ ，…｝
3.如果时针顺时针方向旋转900记作－900，那么逆时针方向旋转600记作 ；
4.如果将低于警戒线水位0.27m记作－0.27m，那么+0.42m表示 ____;
5.用正，负数表示下列问题中的量：
①某商场在“五一”期间购进空调390台，销售了295台；
②某日A股上涨1个百分点，B股下跌3个百分点.
6.中午12时，水位低于标准水位0.5米记作－0.5米，下午1时水位上涨了1米，下午5 时水位又上涨了0.5米，则
①下午1时的水位可记录为 ，下午5时的水位可记录为 .
②下午5时的水位比中午12时的水位高 米.
7.小刚在超市买一食品，外包装上印有“总净含量（3005）g”的字样，请问“5g” 表示什么意义？小刚拿去称了一下，发现只有297g,问食品生产厂家有没有欺诈行为？
2.1比0小的数（2）
主要内容：整数，分数，有理数的概念，有理数的分类.
教学过程：
问题情境：
①学校的图书馆馆藏书近20万册,可是图书管理员阿姨总能很快地将你要借的书找出来,你知道这是为什么吗
②我们小学学过哪些数？是怎样分类的？到了初中引入负数后，我们该如何区分各类数呢？
2.新授：
①有理数的概念 ______________________________；
②有理数的分类 ___________________.
3.例题讲解：
例1．把下列各数填在相应集合内：
正数集合：｛ ，…｝
负数集合：｛ ，…｝
整数集合：｛ ，…｝
分数集合：｛ ，…｝
练一练：书P15第5题
例2. 把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
（1） （2）
( http: / / www.21cnjy.com )
负分数集合 非负整数集
（4）
正有理数集 有理数集
例3.下列说法正确的是（ ）
①正整数和负整数统称为整数. ②－0.5既是分数，也是负数.
③0只表示没有. ④正数和负数统称为有理数.
⑤一个数不是正数就是负数. ⑥既不是正数也不是整数的有理数是负分数.
例4．写出所有适合下列条件的数：
（1）不大于3的正整数： ；
（2）大于－5的负整数： ；
（3）大于－3且不大于4的整数： .
课堂练习:
1.已知下列各数：
其中正数是 ，负数是 ，
整数是 ，分数是 .
2.关于0的说法正确的是（ ）
A.不是正数也不是负数 B.是正数 C.是负数 D是正整数
3.既不是正数也不是整数的有理数是（ ）
A.0和负分数 B.负分数 C.负整数和负分数 D.正整数和正分数
4.不小于－2.5而小于2.8的非负整数有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.把下列各数填在表示它所在的数集的圈内：
整数集合 分数集合
非正数集合 非负数集合
课后练习：
1．比0大的数叫做__ ____； 比0小的数叫做___ ____；
2．既不是正数，又不是负数的数是__ ___．
3．数 3，-0.2，1，0，中，负数有 个，正数有 个.
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数
（1）、1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，……
（2）、1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，……
5. 有位同学说“一个数如果不是正数，必定就是负数．” 你认为这句话对吗？为什么？
初一数学教学案3
初一数学教学案42.5有理数的乘法与除法
知识点一：有理数的乘法
基本知识：有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0.
多个有理数相乘符号的确定
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
【典型例题】
例题1、计算：
（1） （- 4）×5；
（2） （- 5） ×（-7）
解：（1） （- 4）×5；
= - （4 ×5） （异号得负，绝对值相乘）
= - 20
（2）（- 5） ×（-7）
= + （5 ×7） （同号得正，绝对值相乘）
= 35
例2 计算：（1）-20×3；（2）（-1）×（-2）；（3）（-2010）×0
例3 计算：（1）3×（-4）；（2）（-6）×（-3.5）；（3）1×（-）；（4）0×（-）×
巩固练习
(1). 6×(－9)； (2) .(－6)×(－9)； (3). (－6)×9； (4) . (－6)×1；
(5). (－6)×(－1)； (6) . 6×(－1)； (7) . (－6)×0； (8) . 0×(－6)；
(9) . (－6)×0.25； (10). (－0.5)×(－8)；
随堂练习
选择题:
一个有理数与它的相反数的积 ( ).
(A) 是正数 (B) 是负数
(C) 一定不大于0 (D) 一定不小于0
(2) 下列说法中正确的是 ( ).
同号两数相乘,符号不变.
异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号.
两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数.
两数相乘,积为负数,那么这两个数异号.
（3）两个有理数，它们的和为正数，积也为正数，那么这两个有理数 （ ）
（A）都是正数 （B）都是负数
（C）一正一负 （D）符号不能确定
（4）如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数 （ ）
（A）符号相反 （B）符号相反且绝对值相等
（C）符号相反且负数的绝对值大 （D）符号相反且正数的绝对值大
2、计算下列各题:
(1) (-4) × （-7） （2）6 × （-8）
（3） （4）（-25）× 16
（5） 3 ×（-5）×（-7）× 4 （6）15 ×（-17）×（-19）×0
（7） （8）
3、初一年级共100名学生，在一次数学测试中以90分为标准，超过的记为正，不足的记为负，成绩如下：
人数 10 20 5 14 12 18 10 4 9 6 2
成绩 -1 +3 -2 +1 +10 +2 0 -7 +7 -9 -12
请你算出这次考试的平均成绩。
知识点二：有理数的乘法运算律
基本知识：有理数的乘法运算律
（1）交换律：a×b=b×a
(2 ) 结合律：（a×b）×c=a×(b×c)
（3）分配律：a×（b+c）=a×b+a×b
【典型例题】
例1 计算：
（1）××（-）×35；（2）（1-+）×（-24）
例2 计算：
（1）30×（-+）；（2）（-10）×（-）×（-0.1）×（-6）
练习
【随堂练习】
选择题:
若a×b<0 ,必有 ( )
(A) a<0 ,b>0 (B)a>0 ,b<0 (C)a,b同号 (D)a,b异号
利用分配律计算时,正确的方案可以是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
2、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
3、（1）计算：
（2）你能直接写出下列各式的结果吗？
（3）再试一试：
一般地，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，请回答积的符号如何由负因数的个数决定。
知识点三：倒数的概念
基本知识：倒数的定义
乘积为1的两个数互为倒数，其中一个称为另一个数的倒数。若a、b互为倒数，则a×b=1；若a×b=1，则a、b互为倒数。
负倒数的定义
乘积为-1的两个数互为负倒数。
【典型例题】
例1 求下列各数的倒数
（1）-2010；（2）；（3）-0.2；（4）4.
例2 -的倒数是（ ）。
A．-3 B.3 C. D.-
知识点四：有理数的除法
基本知识：有理数的除法法则
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a×(b≠0)。
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0.
有理数乘除混合运算
有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
例题
例1：计算
（1） 36÷（-9） （2） （-48）÷（-6） （3） （-32）÷4×（-8）
例2 计算：
（1）（-3）÷2； （2）（-2.25）÷1÷(-).
例3 计算：
（1）（-144）÷（-24）；（2）-÷（+）
【经典真题】
例1 （镇江）（-2）×（-3）= 。
例2 （无锡）
例3 （山东）的倒数是 。
例4 （新疆）3÷÷= 。
【随堂练习】
1.选择题
(1)下列计算正确的是 ( )
(2)如果a÷b=-a(a≠0)，那么b等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.±1
(3)如果a÷b=0，那么 ( )
A.a·b=1 B.a·b=-1 C.a+b=b（b≠0） D.a+b=a
（4）如果(a-1)÷（b+2）=0，那么 ( )
A.a=0 B.a=1 C.a=1且b≠2 D.a=1且b≠-2
（5）一个数的倒数等于它自身，那么这个数等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.1，-1
（6）两个有理数的和除以这两个有理数的积，其商等于0，则这两个有理数 （ ）
A.互为倒数 B.互为相反数
C.有一个数是0 D.互为相反数且都不为0
2、某冷冻厂的一个冷库，现在的室温是 -2℃，现有一批食品，需在 -26℃下冷藏，如果每小时能降温4℃，要降到所需温度，需几小时？
3.填空题
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4.计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）2.3绝对值与相反数
知识点一：正确理解绝对值与相反数的概念
基本知识：相反数
代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，0的相反数是0
几何意义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
表示方法：一般地，数a的相反数为-a，同样，-a的相反数为a.
多重符号的化简
多重符号的化简有如下规律： ( http: / / www.21cnjy.com )“+”的个数不影响化简结果，若一个数字的前面有偶数个“-”，其结果为正；若一个数字的前面有奇数个“-”，其结果为负。
绝对值
（1）定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
（2）几何意义：一般地，数a的绝对值表示在数轴上与a对应的点到原点的距离，记作︱a︱;反过来，︱a︱表示数a到原点的距离。
（3）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
【典型例题】
例1 求下列各数的相反数。
-3，2，0，-1
例2 化简：-（-2），-（+2），+（-2），+（+2）
例3 一个数的绝对值等于6，求这个数。
例4若|x-1|=6，则x = ．
知识点二：有理数大小的比较
基本知识：应用绝对值比较有理数的大小
（1）两个正数，绝对值大的正数大；
（2）两个负数，绝对值大的负数反而小。
有理数的大小比较
（1）数轴上的数，右边的数总大于左边的数。
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
（3）两个负数，绝对值大的反而小。
【典型例题】
例1 比较-7与-9的大小。
若a=-3，b=-3.14，c=-π，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【经典真题】
例1 （福建晋江）-2的相反数是 。
例2 （苏州）-的绝对值等于 。
例3 （无锡）比较-，-，的大小，结果正确的是（ ）
A．-＜-＜ B．-＜＜- C．＜-＜- D．-＜-＜
例4 （泰州）化简-（-2）的结果是
A．-2 B．- C． D．2
2.3绝对值与相反数 练习题
一、选择题：
1、下列各对数中，互为相反数的是 （ ）
A． B． C． D．
2、下列式子化简不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
3、下列判断正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4、甲、乙两位同学在学完绝对值与相反数以后，总结了这样几个结论：①相反数等于它本身的数是0；②绝对值最小的有理数是0；③只有0的绝对值是它本身；④一个数的绝对值总比它的相反数大。你认为正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、若，则 （ ）
A．相等 B．互为相反数 C．都是0 D．相等或互为相反数
6、a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则下列式子成立的是 （ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是 ( )
A．正数的绝对值是负数； B．符号不同的两个数互为相反数；
C．π的相反数是―3． 14； D．任何一个有理数都有相反数．
8、当一个数的绝对值逐渐变大时 （ ）
A．它在数轴上对应的点向左移动 B．它在数轴上对应的点向右移动
C．它在数轴上对应的点越来越靠近原点 D．它在数轴上对应的点离原点越来越远
二、填空题：
1、直接写出下列各题的结果：
⑴ ⑵= ⑶
⑷ （5） （6）=
（7） （8） (9)
2、填“＞”、 “＜”或“＝”
⑴ 0 ⑵- 3 ⑶ 3.14
⑷ (5) 3 (6)
(7) (8)
3、在原点的左边且绝对值是3.6的数是 。
4、有没有绝对值是的数（填“有”或“没有”）。
5、的相反数是 ，它的绝对值是 。
6、两个数互为相反数且它们在数轴上对应的点的距离之和是9，这两个数是 。
7、如果把一个数用字母a表示，那么它的相反数记作 ，它 是负数。（填“一定”或“不一定”）
三、解答题：
1、求出下列各数的相反数和绝对值：；并在数轴上标出这些数，再按从小到大的顺序将它们用“＜”排列起来。
2、如图，数轴上有3个点，它们所表示的数分别用。
⑴在数轴上标出的相反数；
⑵把和它们的相反数用“＜”连接起来；
⑶如果将表示数a的点向左移动3个单位长度，同时将表示数b的点向右移动5个单位长度，表示数c的点保持在原来的位置，则移动后的三个数的大小关系如何？
3、计算：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
4、用一台包装机包装糖果，每袋为500克，检验员随机抽取了6袋进行检查其质量，结果如下：（凡超过500克的，超过克数记作正数；凡不足克数记作负数）
哪袋糖果最接近标准质量？请你用学过的绝对值知识来说明。2.6有理数的乘方
知识点一：有理数的乘方
基本知识：一般地，a·a·a·……· ( http: / / www.21cnjy.com )a（n个a），记作a ,读作“a的n次方”。求相同因数的积的运算叫做乘方。乘方运算的结果叫做幂。在a 中，a叫做底数，n叫做指数。a 看做是a的n次方的结果时，也读作a的n次幂。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．
乘方运算的符号法则
由有理数的乘法运算可知：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何非0次幂都是0。
【典型例题】
例1 填空：
在 中，底数是 ，指数 。
在 中，底数是 ，指数 。
在 中，底数是 ，指数 。
试着说出它们的意义。
例2 计算：
(1) 26 （2）62 （3）73 （4）（-3）4
（5）-34 （6）（-4）3 （7）-43
想一想：（1）与（2）结果一样吗？（4）与（5）结果一样吗？（6）与（7）结果一样吗？为什么？
例3 （1） （2） （3） （4）
想一想：1.（2）与（4）它们相同吗？
例4（1） （2） （3） （4）是正数还是负数？
议一议：负数的幂的符号如何确定？
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．任何一个数的偶次幂都是非负数
练一练
(1)________________的平方等于9
(2)（－4）2底数是______指数是______（－4）2=_______
(3) 34表示___个___ 相乘 (4) （－2）3=______
(5) 12003 －(－ 1)2002=__________ (6) －14+1=______
(7)、一个数的平方为它本身,这个数是什么 一个数的立方为它本身,这个数是什么
【随堂练习】
一、选择题
1．对于式子（-4）3，正确的说法是 （ ）
A.-4是底数，3是冪 B.4是底数，3是冪
C. .4是底数，3是指数 D. -4是底数，3是指数
2．118表示 ( )
A.11个8相乘 B.11乘以8 C.8个11相乘 D.8个11相加
3．一个数的平方一定是 ( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
4．计算（-1）2002+（-1）2003的值等于 （ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
5．如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．任何有理数
二、填空题
1．25读作 _______________，结果是________________
2．—25读作 _______________ ，结果是________________
3．（—2）5读作 _______________ ，结果是________________
4．—（—2）5读作 _______________ ，结果是________________
5． = ，—= ，= ，—= 。
6．平方等于64的数是 ，立方等于64的数是 。
三、计算
(1) (-6)2 (2) (3)
（4） (5)
(6) (7) (8)
知识点二：科学记数法
基本知识：科学记数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成a×10 的形式，其中1≤a＜10，n是正整数。这种记数法称为科学记数法。
【典型例题】
“练一练”
10＝10（ ）
100＝10×10（ ）
1 000 ＝10×10×10＝10（ ）
10 000＝10×10×10×10＝10（ ）
________=________=105
________=________=106
________=________=107
________=________=108
情境
1、光的速度大约是300 000 000米/秒;
2、地球半径约为6400000米。
赤道长约为40000000米。
地球表面积约为:510000000000000平方米。
（1）上面各资料都有出现较大的数，这些数在记录的过程中非常容易出错，你能想办法使得我们记录得又快又准吗？
（2）试将上面这些数输入计算器.
计算器输出结果跟你输入的数一致吗？屏幕上面的数跟输入的数又什么内在的联系？你知道计算器的工作原理吗？
注意:把一个大于10的数可以写成a×10n时，必须遵循
1≤a<10 (2) n是正整数
练习：在69600000000的以下各表示方法中，是科学记数法的为 ( )
（A）696× ( http: / / www.21cnjy.com )108 （B）69.6×109 （C）6.96 ×1011 （D）0.696×1012
例1、1972年3月发射的“先驱者 ( http: / / www.21cnjy.com )10号”,是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器.至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时,它已飞离地球12200000000km.用科学记数法表示这个距离.
例2、用科学记数法表示下列各数
（1）38400；（2）-473.1；（3）0.49×10
例3、 若一个数用科学记数法表示为4.58×10 ，则原数的整数位数有 位。
【经典真题】
例1 （常州）立方等于-64的数是 。
例2（苏州）若x=2,则x 的值是（ ）
例3 2008年北京奥运会圣火在全球传递的里程为137000km，用科学记数法表示为（ ）
A.1.37×1 ( http: / / www.21cnjy.com )0 km B.137×10 km C.1.37×105 D.137×105
例4 如果a的倒数是1，那么a2009等于（ ）。
A.-1 B.1 C.-2009 D.2009
练习：你能把上面的数据用科学记数法表示出来吗
(1)人的大脑约有10,000,000,000个细胞；(2)全世界人口约为61亿；
(3)光的速度为300,000,000米/秒；(4)中国森林面积约为128,630,000公顷；
(5)2002年赴韩国观看世界杯足球赛的中国球迷超过了1.5万人
练一练
1、用科学记数法表示的数3.61× ( http: / / www.21cnjy.com )108，它的原数是（ ）
（A）361 00 000 000 （B）361 0 000 000（C）361 000 000 （D）361 00 000
2、在以下的各数中，最大的数为（ ）
（A）7.2 ×105 （B）2.5×106 （C）9.9 ×105 （D）1×107
3、在下列各数中最小的为（ ）
（A）3.14 ×1010 （B）3.1×1010 （C）3.2×1010 （D）3.142×1010
4、我国是一个水资源严重缺乏的国 ( http: / / www.21cnjy.com )家，我们平时应倍加珍惜水资源，节约用水.据测试，一只拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升.小鹏洗手后，没有把水龙头拧紧，当他离开5小时后水龙头流失了______毫升水（用科学记数法表示）．
5、一个人正常的平均心跳为每分钟70次，一年（按365天计算）大约跳多少次？用科学记数法表示这个结果。
一个正常人的一生心跳次数能达到1亿次吗？
【随堂练习】
1．用科学记数法记出下列各数：
(1) 7 000 000； (2) 92 000； (3) 63 000 000； (4) 304 000；
(5) 8 700 000； (6) 500 900 000； (7)374.2 (8) 7000.5．
2．下列用科学记数法记出的数，写出原数.
(1)2×106＝ (2)9.6×105＝ (3)7.58×107＝ ；
(4)6.03×108＝ (5)5.002×107＝ (6)5.016×102＝
3．用科学记数法记出下列各数：
(1)地球离太阳约有一亿五千万千米；
(2)地球上煤的储量估计为15万亿吨以上；
(3)月球的质量约是7 340 000 000 000 000万吨；
(4)银河系中的恒星数约是160 000 000 000个；
(5)地球绕太阳公转的轨道半径约是149 000 000千米；
(6)1cm3的空气中约有 25 000 000 000 000 000 000个分子．
4．地球绕太阳转动(即地球的公转) ( http: / / www.21cnjy.com )每小时约通过1.1×105千米，声音在空气中传播，每小时约通过1.2×103千米．地球公转的速度与声音的速度哪个大？
5．一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒？(用科学记数法表示)2.2数轴
知识点一：认识数轴
基本知识：数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
数轴的画法：（1）画一条直线（一般画成水平的直线）。
（2）在直线上选取一个点为原点，并用这个点表示零（在原点下标0）。
（3）确定正方向（一般规定向右为正），并用箭头表示出来。
（4）选取适当的单位长度，以原点为界点，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，依次标上-1，-2，-3，…。
【典型例题】
如图中所给的数轴是否正确？如果不正确，请说明原因。
知识点二 ：在数轴上表示有理数
基本知识：所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数。
我们规定：（1）数轴上的原点表示0；
（2）数轴上原点右边的点表示正数；
（3）原点左边的点表示负数。
【典型例题】
在数轴上画出表示下列各数的点：3，-1，0，，-.
知识点三：在数轴上比较有理数
基本知识：利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；
正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数。
【典型例题】
在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来。
4，-3，-2，0，2.5，0.3，-4.5
如图，请在数轴上用“· ”表示比1小2的数。
知识点四：利用数轴处理简单实际问题
【典型例题】
已知A、B是数轴上的点。
（1）若点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B点表示的数是 。
（2）若将点A向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A表示的数是0，那么点A原来表示的数是 。
例2 小明家、学校、书店在同一条笔直的东西 ( http: / / www.21cnjy.com )走向大街。一天下午，小明从学校（记作O点）出发，向西走30m到了家里（记为A点），拿钱后从家向东走80m来到了书店（记作B点）买书，当他从书店出来向家走了65m时（记为C点）遇到了小红。
（1）以学校（O点）为原点，向东为正方向，建立数轴，并在数轴上标出A、B、C、O
点的位置；
（2）C点位于学校的哪个方向，离学校的距离是多少？
知识点五：有理数与表示数的点到原点的距离的关系
【典型例题】
例1 如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则点A、点B各代表什么数？A、B两点间的距离是多少？
【经典真题】
例1 （自贡）写出一个有理数，使它是小于-1的数： 。
例2 （湛江）在-2、0、1、3这四个数中比0小的数是（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 3
例3 (盐城)数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 。
数轴测试题
选择题
1、在数轴上表示的点与表示的点的距离是 （ ）
A．3个单位长度 B．2个单位长度 C．5个单位长度 D．1个单位长度
2、数轴上原点及其左边的点表示的数是 （ ）
A．负整数 B．正整数 C．负数 D．负数和0
3、在数轴上有一点A，它所对应表示的数是3，若将点A在数轴上先向左移动8个单位长度，再向右移动4个单位长度得点B，此时点B所对应表示的数 （ ）
A．3 B． C． D．4
4、数轴上一点A，一只蚂蚁从A 出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（ ）
A．4 B． C． D．
5、下列说法正确的是 （ ）
A．比负数大的是正数 B．若 ，则是正数，是负数
C．数轴上的点离原点越远，数就越大 D．若，则为正数；若，则为负数；
6、所有大于的负整数有 （ ）
A．、－3 B．、－2 C． 、－1 D．、－1
二、填空题：
1、比较大小：（填“＞”“＜”或“＝”）
⑴ 0 ⑵ ⑶ ⑷2
2、比0小1的数是 ；比小2的数是 ；比大的数是 ；比大 。
3、如图，在数轴上有点A、B、C、D分别表示有理数试用“＞”或“＜”号填空：
a 0， b 0， c 0， d 0，
a d， c b， c d， b d，
4、如果数轴上的点M表示，那么在同一数轴上与点M相距5个单位长度的点表示的数是 。
5、在数轴上表示的点与表示的点的距离是 ，表示的点与表示1的点的距离是 ，原点与表示 点的距离是2.5。
6、⑴最大的负整数是 ，最小的正整数是 ；
⑵ 最大的正整数， 最小的负整数。（填“存在”或“不存在”）
解答题
1、画一条数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点，再将它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来。
2、不画数轴，请你指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的那一边和与原点相距多少个单位长度？
3、如图，在数轴上有点A、B、C，请回答下列问题：
⑴将A点向右移动4个单位后，3个点所表示的数谁最小？是多少？
⑵将C点向左移动6个单位后，这时B点所表示的数比C点表示的数大？
⑶怎样移动A、B、C中的2个点，才能使3个点表示的数相同？
4、在一条东西走向的路上，有一个文化宫，文化宫的东边20米和45米处分别有一个体育馆和娱乐场，文化宫的西边40米和48米处分别有一个书城和大型超市。请你将文化宫当作数轴的原点，并设向东方向为正，以1个单位长度代表10米，用数轴上的点表示体育馆、娱乐场、书城、大型超市的相对位置关系。
5、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1㎝，若在数轴上画出一条长2000㎝的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．1998或1999 B．1999或2000
C．2000或2001 D．2001或2002
6、这次台湾国民党党主席大选，组委会为方便选民投票，在一条南北走向的大街上设有工作站O和A、B、C三个投递站，A位于O南面，距O3千米；B位于O北面，距O1千米；C位于O北面，距O2千米处。现组委会派车从O处出发去A、B、C三处取票，那么请你设计一条走的最短路线，画出路线示意图并计算出这辆车走的最短路程是多少？
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
0
-1 -2 0 1 2 3
-2 -1 0 1 22.3绝对值与相反数（1）
主要内容：有理数的绝对值概念及表示方法，有理数绝对值的求法和有关的简单计算，在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法.?
教学过程：
1.情境引入
一天，汽车司机张师傅从车站出发，沿东西 ( http: / / www.21cnjy.com )方向行驶，规定向东为正，若向东行驶3千米，记作_____ ；若向西行驶2千米，记作_____.若每千米耗油10升，则向东行3千米，耗油量是 ______,向西行2千米，耗油量是 ______.
2.新授
假设把汽车行的路想像成数轴，将车站定为原点 ( http: / / www.21cnjy.com )，向东行驶3千米到达A点，向西行驶2千米到达B点.数轴上点A与原点的距离是____个单位长度,点B与原点的距离是_____个单位长度.
B A
定义： 叫做这个数的绝对值.绝对值的符号：“ ”
注意:1.任何有理数的绝对值都是 数
2.绝对值最小的数是
3.例题分析
例1:在数轴上画出表示下列各数的点:,并写出它们的绝对值.
例2： 求下列各组数的绝对值，并分别比较它们绝对值的大小：
（1）－3.5与4 （2）－3与－6
例3：某厂生产闹钟，检验时，比标准时间多的记为正数，比标准时间少的记为负数，请根据下表，选出最准确的闹钟.
1 2 3 4 5
+2s -3.5s 6s +7s -4s
误差不超过5秒的为合格品，否则为次品，问有几台合格？
巩固练习：
1.填空：
|－3|＝ ，||＝ ，|－0.4|＝ ，
|0|＝ __，|9|＝ __，|－2|＝ .
2.用“＜”把|－3|、|－0.4|及|－2|连接起来.
3.填空：（1）绝对值小于3的所有整数是________________，非正整数是 ____
（2）若|x|=6，则x =
（3）在数轴上A表示-，点B表示，则点 离原点的距离近些
4.计算：
（1）|—3|×|—6.2| （2）|—5| + |—2.49|
（3）—|—| （4） |—|÷||
5, 某车间生产一批圆形零件,从中抽取8件进行检验,比规定直径长的毫米数记为正数,比规定直径短的毫米数记为负数,检查记录如下:
1 2 3 4 5 6 7 8
+0.3 -0.2 -0.3 +0.4 0 -0.1 -0.5 +0.3
指出第几个零件最标准？最接近标准的是哪个零件？误差最大的是哪个零件？
★,求的值.
2.3绝对值与相反数（2）
主要内容：有理数的相反数概念及表示方法，有理数相反数的求法和有关的简单计算，在相反数概念学习过程中，理解数形结合等思想方法，培养概括能力.
教学过程：
1.引课:
数轴上到原点的距离是3的点有几个 在数轴上到原点的距离是2.5的点有几个 它们到原点的距离各是多少 它们之间还有什么关系
2.新授
观察下列各对有理数，你发现了什么？请与同学们交流
5与－5 －2.5与2.5
定义:像5与－5 、 ( http: / / www.21cnjy.com )－2.5与2.5 …这样 、 的两个数，叫做互为相反数,其中一个是另一个的________(只有符号不同的两个数).
规定：零的相反数是零
注:正数的相反数是__________;负数的相反数是___________;0的相反数是_________.
例1 求出3、－4.5、0、的相反数(在一个数的前面添一个“－”，就表示这个数的相反数)
例2 化简:.
例3 求6、－6、0、 、 的绝对值,有什么发现
归纳:相反数的性质:__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
思考:一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系？
一个正数的绝对值是______
一个负数的绝对值是______
0的绝对值是______
自我小结：
巩固练习
1.P23 练一练
填空：
＋（＋123）＝_______ ，－（－0.5）＝_______，
－（＋24）＝_______，－[－（－3.2）]＝_______.
2.判断：
(1) 若一个数的绝对值是 2 ，则这个数是 ( http: / / www.21cnjy.com )2 ( )
(2) |5|＝|－5| ( )
(3) 若a＝b，则|a|＝|b| ( )
(4) 若|a|＝|b|，则a＝b ( )
(5)若 |a|＝-a,则 a＜0 ( )
3.拓展
(1) 绝对值不小于3的整数是什么？绝对值小于5的整数是什么？绝对值小于3的整数是否都小于绝对值小于5的整数？
(2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．
(3)已知点A,B分别为数轴上表示互为相反数的两个点,且A,B两点间的距离为5,其中A在B的左边,请你写出这两个点所表示的数.
2.3绝对值与相反数（3）
主要内容：有理数的绝对值相反数概念及表示方法，有理数的大小比较，在相反数概念形成过程中，进一步理解数形结合等思想方法，注意养成概括能力?
教学过程：
一、回顾复习
1、什么叫绝对值？
2、什么叫相反数？
3、一个数的绝对值与这个数的本身或它的相反数有什么关系？
4、填空：
（1）＋|－2|=________
（2）－|＋4|=________
（3）|+3.5|－|－2|=________
（4）－（－2.3）=________
（5） ＋（－5）=________
（6）－|－4|=________
二、问题探究
1、两个有理数如何比较大小 数轴上两数如何比较？
结论： ； ，
， ．
2、绝对值大的那个数数就一定大吗
( http: / / www.21cnjy.com )
思考：
（1）正数的绝对值大于0的绝对值，正数比0大吗？
（2）负数的绝对值大于0的绝对值，负数比0大吗？
（3）正数的绝对值就是它本身，绝对值大的正数大，绝对值小的正数小吗？
（4）负数的绝对值是它的相反数，绝对值大的负数大，绝对值小的负数小吗？
3、两个有理数的大小与这两个数的绝对值的大小有什么关系？
结论： ， ；
， ．
三、例题讲析
例1:(1)比较－9.5与－ 1.75的大小
(2)比较－与－（－2.9）的大小
巩固练习：
三个数－3、－4、0依次从小到大排列的顺序是 （ ）
A、0＜－4＜－3 B、－3＜－4＜0
C、0＜－4＜－3 D、－4＜－3＜0
2、下面四个结论中，正确的是 （ ）
A、＝ B、 －2＞0
C、－2＜ D、 ＞0
3、比较大小：
（1）3 －7 （2）－5.3 －5.4
（3）－ － （4）－|－0.4| －（－0. 4）
4、化简：
（1）－＝ （2）＝
（3）＝ （4）＝
5、飞机上升3000米，记作＋3000米；又下降3000米，记作－3000米，那么飞机还是原来的高度
小明数学竞赛获奖，爸爸奖励50元，记作＋50元；他很高兴，去书店买书，花了50元，记作－50元，那么他的剩余钱恰好为0
（1）＋3000和－3000，＋50和－50有什么关系？
（2）猜想两个数互为相反数，那么它们的和是多少？
（3）用你第（2）步的结论计算 ( http: / / www.21cnjy.com )：字母a、b、c、d表示有理数，且a、b互为相反数，正数c的绝对值是2，d的相反数是－5，求a＋b＋c×d的值
课后练习
1．判断题:
（1）任何一个有理数的绝对值都是正数．（ ）
（2）如果一个数的绝对值是5，则这个数是5． ( )
（3）绝对值小于3的整数有2，1，0． ( )
2．填空题：
（1）+6的符号是_______，绝对值是_______，的符号是_______，绝对值是_______．
（2）在数轴上离原点距离是3的数是________________．
（3）绝对值小于2的整数是__________________，非正整数是 ____．
（4）用“>”、“<”、“=”连接下列两数:
∣∣___∣∣ ∣-3.5∣___-3.5
∣0∣____∣-0.58∣ ∣-5.9∣___∣-6.2∣
3．（1）－2的相反数是 ，3.75与 互为相反数，相反数是其本身的数是 ；
（2） －(＋7)= ， －(－7)= ，
－[＋(－7)]= ， －[－(－7)]= ．
4．判断下列语句，正确的是 ．
① ―5 是相反数；② ―5 与 ＋3 互为相反数；③ ―5 是 5 的相反数；
④ ―5 和 5 互为相反数；⑤ 0 的相反数还是0 ．
5．下列说法正确的是 ( )
A．正数的绝对值是负数； B．符号不同的两个数互为相反数；
C．π的相反数是―3． 14； D．任何一个有理数都有相反数．
6．一个数的相反数是非正数，那么这个数一定是 ( )
A．正数 B．负数 C．零或正数 D．零
7．请在数轴上画出表示3、-2、-3.5及它们相反数的点,并分别用A、B、C、D、E、F来表示．
（1）把这6个数按从小到大的顺序用“<”连接起来；
（2）点C与原点之间的距离是多少 点A与点C之间的距离是多少
8．一个数的绝对值是它本身，这个数是 ．
9．一个数的绝对值是它的相反数，这个数是 ．
10．绝对值是4的数有 个，各是 ．
绝对值是0的数有 个，各是 ．
有没有绝对值是-1的数 (填“有”或者“没有”)．
11．比较下列每组数的大小，用“>”、“=”或“<”填空:
（1）-3_______-0.5 （2）+(-0.5) _______+|-0.5| （3）-8_______-12
（4）- ______- （5）-|-2.7|______-(-3.32)
12．（1）绝对值不大于2的整数 ．
（2）绝对值等于本身的数是 ，绝对值大于本身的数是 ．
（3）绝对值不大于2．5的非负整数是 ．
（4）数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数有___________________．
（5）若|x-1|=6，则x = ．
13．若，求的值．
初一数学教学案7
–3 –2 –1 0 1 2 3
初一数学教学案8
初一数学教学案9
5
0
3
5
0
-3
-5
3
3
52．2 数轴（１）
主要内容：了解数轴的概念，知道数轴的三要素，会画数轴，能将已知数用数轴上的点表示出来，能说出数轴上已知点表示的数。
教学过程：
1.情境引入：
温度计可以用来测量室内温度，你能读出它们的示数吗？你能在温度计上找出表示－5°C，－15°C的刻度吗？
2.探究活动：
数轴的画法：
⑴_____________________________________________________________________________
⑵_____________________________________________________________________________
⑶_____________________________________________________________________________
像__________________________________________________的直线叫做数轴。
数轴的三要素：_____________ 、 _____________ 、_____________
3.例题分析：
例1．如图，指出数轴上点A、B、C表示的数
( http: / / www.21cnjy.com )
例2．在数轴上画出表示下列各数的点
2，－1.5，０，－，１.5，－
注：⑴ _______________________________________________
⑵ 表示正数的点都在原点的_________侧，表示负数的点都在原点的_________侧
例3．判断下列数轴的画法是否正确，若不正确，请指出错误原因
( http: / / www.21cnjy.com )
例４．数轴是一个非常重要的数学工具，它使 ( http: / / www.21cnjy.com )数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题：
⑴ 在数轴上，到原点的距离为5的点有_______个，它们表示的数是______________；
⑵ 在数轴上，从表示2的点出发， ( http: / / www.21cnjy.com )先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度，最后的终点表示的数是_____________________
⑶ 在数轴上，点M表示数2，那么与点M相距4个单位的点表示的数是_____________
巩固练习：
1．课本P17 练一练1-3
2．判断下列说法是否正确
⑴ 数轴上的点表示一个数 （ ）
⑵ 数轴上表示3的点只有一个 （ ）
⑶ 数轴上到原点距离等于2个单位长度的点表示的数是2 （ ）
⑷ －5可以用数轴上原点左边第5个单位长度的点表示 （ ）
3．在数轴上，到原点的距离小于3的点表示的整数是
4．在数轴上的点A表示－3，现在 ( http: / / www.21cnjy.com )把点A先向右移动7个单位，再向左移动4个单位，则到达终点所表示的数是
5．数轴上的点A和点B所表示的数分别是－1，3，若要使点A表示的数是点B表示的数的2倍，保持B点不动，应将点A怎样移动？
6．小明的家（记为A）与 ( http: / / www.21cnjy.com )他上学的学校（记为B），书店（记为C）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西面150米处，书店位于学校东面60米处，小明从学校沿这条向东走了30米，接着又向西走了80米到达D处，以学校为原点，试用数轴表示上述A、B、C、D的位置。
2．2 数轴（2）
主要内容：进一步体会数轴上的点与有理数的对应关系，利用数轴比较有理数的大小，体会“数形结合”的思想方法。
教学过程：
情境引入：
某日，北京，长春，江苏，黑龙江的最高气温分别是0°C，－2°C，5°C，－3°C
你能直观地知道哪个温度高哪个温度低吗？对温度计来说，越是向上温度越大还是越小？
② 在数轴上画出表示这些温度的点，你能得到什么结论？
结论：_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2、例题分析：
例1．比较下列各组数的大小
⑴ 5和0 ⑵ －和0 ⑶ 2和－3 ⑷ －3，1．5和0
例2．比较下列各组数的大小
⑴ －3．5和－0．5 ⑵ －和－0．25
变式：比较下列各组数的大小
1 －1 －4 0 5 －2 －
步骤：⑴
⑵
⑶
例4．观察数轴，能否找出符合下列要求的数：
(1)最大的正整数和最小的正整数； (2)最大的负整数和最小的负整数；
(3)最大的整数和最小的整数； (4)最小的正分数和最大的负分数．
例5．在数轴上表示－2和1，并根据数轴指出大于－2而小于1的整数。
巩固练习：
1．课本P18-19 练一练1-3
2．课本P 19 习题3-6
3．观察数轴，回答下列问题
（1）有没有最大或最小的整数？有没有最小的自然数？有没有最小的正整数和最大的负整数？如果有是什么？
（2）不小于－3的负整数有哪些？
（3）比－2小4的数是什么数？
（4）－3比－9大多少？
（5）比－3小5的数是什么？比－3大5的数是什么？
（6）－2和6的正中间的数是什么？
4．下列说法正确的是（ ）
A、0是最小的有理数
B、若有理数m>n，则数轴上表示m的点一定在表示n的点的左边
C、一个有理数在数轴上表示的点离原点越远，这个有理数就越大
D、既没有最小的正数，也没有最大的负数。
5．大于－2.6而又不大于3的整数有（ ）
A、7个 B、6个 C、5个 D、4个
6．在数轴上与数－2相距2个单位长度的点 ( http: / / www.21cnjy.com )表示的数为＿＿＿＿，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖＿＿个表示整数的点，最多能覆盖＿＿＿个表示整数的点。
课后练习
1．分别指出数轴上点A、B、C、D所表示的数：
2．在数轴上画出表示下列各数的点：
⑴－150，－100，50，200； ⑵－0．01，－0．03，0．02，0．03．
3、在数轴上画出表示下列各数的点 ( http: / / www.21cnjy.com )，并根据这些点的位置，用“＜”号将这些点表示的数按从小到大的顺序连接起来：-3.5，1.5，0，4.5，-0.5，-4，3．
4．数轴上，在原点左边且离原点3个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )长度的点表示的数是_____ _；距离原点4个单位长度的点表示的数是___ ____；点A表示的数是－1，则距离点A 2个单位长度的数是___________．
5．小明从家出发（记为原点0）向东走3m ( http: / / www.21cnjy.com )，他在数轴上+3位置记为点A，他又东走了5m，记为点B，点B表示什么数？接着他又向西走了10m到点C，点C表示什么数？请你在数轴上标出点A、点B的位置，这时如果小明要回家，则小明应如何走？
6．比较下列每组数的大小：
（1）—3和—3.5 （2）－3.5， 和－0.5
7．把数轴上表示的点分别记为A和B，那么哪一个点离原点的距离近？哪一个数较大？
初一数学教学案5
初一数学教学案6
1
2
0
－1
－2有理数复习
一、知识小结：
1． 大于零的数叫 ,在正数前加一个“-”号为 . 既不是负数,也不是正数．
2． 和 统称为有理数． 有理数的分类为：
3． 规定了 、 和 的直线叫数轴．所有的有理数都可以用数轴上的 表示，但并不是所有的点都表示有理数．数轴上的原点表示数________，原点左边的数表示_____，原点及原点右边的数表示 ．
4． 有理数的大小比较：
⑴在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 ．
⑵正数都 0，负数都 0，正数 一切负数；
⑶两个负数比较大小， ．
5． 数a的相反数是 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．数a的倒数是 ． 的相反数大于它本身， 的相反数小于它本身， 的相反数等于它本身． 的倒数等于它本身．
6． 一个数a的绝对值是指数轴上表示数a的点与 距离，记作 .
①一个正数的绝对值是 ； 即：如果a>0，则|a|= ；
②一个负数的绝对值是 ； 如果a<0，则|a|= ；
③0的绝对值是 ． 如果a=0，则|a|= ．
反之：若一个数的绝对值是它本身，则这 ( http: / / www.21cnjy.com )个数是 ；若一个数的绝对值是它相反数，则这个数是 ；即若|a|=a，则a 0；若|a|=－a，则a 0．
7． 有理数的加法法则：
⑴同号两数相加，取 的符号，并把 ；
⑵绝对值不等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用 ；
⑶互为相反数的两数相加得 ；⑷一个数同0相加，仍得 ．
即：⑴若a＞0，b＞0，则a+b 0；⑵若a＜0，b＜0，则a+b 0；⑶若a＞0，b＜0，且＜ 则a+b 0．
二、练习：
1. 把下列各数分别填在相应的集合的大括号内:-11 4.8 73 -2.7 -8.12 -
-π 0
正数集合｛ ｝ 负数集合｛ ｝
正分数集合｛ ｝ 整数集合｛ ｝
非负数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝
2.绝对值最小的有理数是 ，最大的负整数是 ，最小的正整数是 ；
3..如果一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 。
4. 写出所有比－5大的非正整数为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ， 比5小的非负整数 ，到原点的距离不大于3的所有整数有 ．
5.在数轴上距离原点4个单位的数是 ，距离表示－1的点有3个单位的数是 ；
6.数轴上的点A所对应的数是4，点B所对应的数是－2，则A、B两点之间的距离是 ．
7.已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数3，点B与点A相距5个单位长度，那么点B表示的数是 。
8.－1的相反数是 ，2是 的相反数， 的相反数是3，0的相反数是 ，a与 互为相反数。
9.在数－２，５，７，－８，－中，绝对值最大的数是 。
10.绝对值等于3的数有________ __；绝对值小于3的整数有_____ ________；
绝对值不大于2的整数有_____________；相反数大于－1但不大于3的整数有___ ____.
11. 绝对值大于3且小于8的负整数有： 。
12.一种零件的内径尺寸在图纸上是 ( http: / / www.21cnjy.com )10±0.05(mm),表示零件标准尺寸为kmm,加工要求最大不超过_______,最小不超过___________.
13.用“＞”、“＜”或“=”填空:
－ －;︱－3.6︱ －（－3.6）；
－ －3.14；－∣+4︱ +∣－4∣.
14.︱－︳的相反数的倒数是 。
15.若︱x ︳=8,则x= ,若︱-x ︳=5,则x= 。如果a的倒数的绝对值是，那么a= 。
16. 如果a﹤0,那么︳a︱+ a = 。
17.已知|a|=3，|b|=2，则a+b的值为 ．
18.若∣a－3∣＝0，则a＝ ；若∣a∣＝5,则a＝ 。
19.若︱x+5︱+︱y-6︱＝0，则x= ，y= 。
20.已知a、b是有理数，a＜0，b＞0，且︱a ︳﹥︱b ︳,试把a、b及它们的相反数用数轴上的点表示出来。
21.已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6.你能求出m与n这两个未知数？
22． 已知a＞0，b＜0，且＜，试在数轴上表示出a，b，－a，－b，并用“〈”连结．
23．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求的值．
24．计算：．2.2有理数与无理数
【学习目标】
理解有理数的意义
知道无理数是客观存在的，了节无理数的概念
会判断一个数是有理数还是无理数
经历数的扩充，在探索活动中感受数学的逼近思想，体会“无限”的过程，发展数感
【学习重点】
会判断一个数是有理数还是无理数
【学习难点】
无理数的理解
【课前导学】
1.回顾整数与分数的概念、整数可表示为分母为1的分数.如，，.我们把能够写成分数形式__________________ 的数叫有理数．
2．把下列分数化成小数形式：
=____________；=______________；=____________；=__________________.
事实上，分数化成小数后要么是有限小数，要 ( http: / / www.21cnjy.com )么是无限的且________的小数，反过来一个有限小数或一个无限的循环小数都可以化成一个分数，因此有限小数或无限的循环小数都是____________数．
有理数定义：我们把能够写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．有限小数和循环小数都能化成分数是有理数。
3.将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形，设大正方形的边长为a,那么a2 =2,a是有理数吗？
通过计算器运用逼近的方法探求数a：
由1.5×1.5=2.25， 1.4×1.4=1.96得______
由1.41×1.41=1.9881， 1.42×1.42=2.0164得______……
事实上这样的数量a是一个无限的且不循环的小数，它的值是1.414213562373…
无理数定义：我们把无限不循环小数叫做无理数
圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数；
0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1个)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.
4.有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
【演练展示】
5．将下列小数分类：
5.1，-3.14，，0，0.222…，1.696696669，1.696696669…，-0.210
有限小数有__________________________________________________；
无限小数有__________________________________________________；
无限循环小数有______________________________________________；
无限不循环小数有____________________________________________；
有理数有____________________________________________________；
无理数有____________________________________________________；
【当堂检测】
1.判断题.
(1)无理数都是无限小数. （ ）
(2)无限小数都是无理数. （ ）
(3)有理数与无理数的差都是有理数. （ ）
2.把下列各数填在相应的大括号内：，0，，3.14，－，，，－0.55，8，
1.121 221 222 1…(相邻两个１之间依次多一个２)，0.211 1，999
正数集合：｛ …｝；负数集合：｛ …｝；
有理数集合：｛ …｝；无理数集合：｛ …}.2.4有理数的加法与减法
知识点一：有理数的加法
基本知识：有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
（3）一个数与0相加，仍得这个数。
【典型例题】
例1 计算：
（1）（-5）+(-6)；（2）（-10）+（+2）；（3）（-8）+（+8）；（4）0+(-7)
知识点二：有理数加法运算律
基本知识：有理数加法运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
(2)加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
【典型例题】
例1 计算：
（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18）；
（2）4.1+（+）+（-）+（-10.1）+7
知识点三：有理数的减法运算
基本知识：有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
具体步骤：①将减号变成加号，把减数的相反数变成加数；
②按照加法运算的步骤运算。
【典型例题】
例1 计算：
（1）（-1.25）-（+3）；（2）-75-35
例2 计算：
（1）（+9）-（+10）+（-2）-（-8）+3；（2）-5.13+4.62+（-8.47）-（-2.3）
【经典真题】
例1 （南通）-6+9=等于 （ ）
A．-15 B.+15 C.-3 D+3
例2 （重庆）计算：︱-3︱+（2-3）+（-1）
例3 （杭州）如果，那么，两个实数一定是
A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数
2.4有理数的加法（练习题）
一．选择题：
1、下列判断：（1）两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；（2）一个正数与一个负数相加得正数；（3）两个负数的和的绝对值一定等于它们绝对值的和，其中正确的个数有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3 个
2、某一天上午的气温是10℃，下午上升2℃，半夜下降15℃，则半夜的气温是（ ）
A–15℃ B 3℃ C -3℃ D 15℃
3.已知有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图，则下列结论错误的是（ ）
A a+b<0 B b+c<0
C a+b+c<0 D |a+b|=a+b c b 0 a
4、某天股票A开盘价18元，上午11：30跌1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，
则该天股票A的收盘价为（ ）元。
A 0.3 B 16.2 C 16.8 D 18
二．填空题：
1.(1)（ ）+（-3）=-8； （2）（ ）+（-3）=8；
(3)（-3）+（ ）=-1； （4）（-3）+（ ）=0.
2.（－1）＋（－2）= _____ （＋1）＋（－2）= ____ 1＋（－4） =______
3＋（－3）= ______ （－9）＋0 =______ 0 ＋ 3 = ______
判断题：
（1）两数的和大于每一个加数 （ ）
（2）两个数的和为负数，则这两个数都是负数（ ）
（3）两个数的和为0，则两个数都是0 （ ）
（4）两个数互为相反数，则这两个数的和为0 （ ）
4.绝对值小于10的所有整数的和是 _____；
5.存折中原有550元，现取出150元，再取出260元，又存入300元，这时存折中还有__。
三．计算题
（1）(-7)+(-2) （2） （3） （-5.2）+ （4）∣(-1.5)+(-2.5) ∣
四．解答题：
1．一位同学在一条由东向西的跑道上，先向东走了20米，又向西走了30米，能否确定他现在位于原来的哪个方向，与原来位置相距多少米？
存折中原有550元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有多少元钱？
3．仓库内原存某种原料4 500千克，一周内存入和领出情况如下（存入为正，单位：千克）： 1 500，-300，-670，400，-1 700，-200，-250． 请问：第7天末仓库内还存有这种原料多少千克？
4．10袋大豆，以每袋50千克为标准，超 ( http: / / www.21cnjy.com )过的千克数记为正，不足的记为负，记录如下：-3，+1.5，+0.5，0，-2.5，+1.8，+1.2，-1，-0.5，0．
请问：10袋大豆共超过（不足）多少千克？总重量为多少？
5．伊拉克的战争中，某生化小组沿东西方向路进行检查，约定向东为正，某天从A地到B地结束时行走记录为（单位为：千米）
+15，-2，+5，-3，+8，-3，-1，+11，+4，-5，-2，+7，-3，+5。
问：⑴问B地在A地何方，相距多少千米？
⑵这一天该小组这一天共走了多少千米？
6. 求在数轴上-5与+5之间的所有的有理数之和．
7、计算：|1-|+|-|+|-|+…+|-|
2.4有理数的减法（练习题）
一、选择题:
1．a—b＜0的条件是 ( )
A. a、b异号 B. a、b同正 C. a、b同负 D. a小于b
2．下列叙述中，错误个数的有 ( )
①减去一个数等于加上这个数的相反数 ②如果2个数的差是正数,那么被减数是正数
③互为相反数的两个数的差为0 ④0减去一个数,其差是减数的相反数
A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个
二、填空题：
1、位于我国的世界第一高峰珠穆朗玛峰的高度为8848.13米，而远在中东的死海的高度为米，那么珠穆朗玛峰与死海的高度相差 米.
2、已知则 .
3、已知被减数是，差是2，求减数.列式为： .
4、若|a | =8, |b|=3, 且a＞0，b＜0， 则a－b=_________.
5、当有理数a＜0时，则－a－| a |的值为____________.
6、如果且是符号相同的两个数，则分别是____________.
三、计算：
（1）．（－32）－（+5）（2）．7.3－(－6.8)
（3）、(－2.5)－(－1)（4）（3－5）－（6－10）
（5）
(6)
四、解答题:
1. 有两个冰柜，第一个冰柜内的温度为－18℃，第二个冰柜内温度为－24℃，哪个冰柜内温度低？低多少度？
2、⑴阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图⑴，；
当A、B两点都不在原点时，
如图⑵，点A、B都在原点的右边，
；
如图⑶，点A、B都在原点的左边，
；
如图⑷，点A、B都在原点的两边，
；
综上，数轴上A、B两点之间的距离.
⑵回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，数轴上表示—2和—5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和—3的两点之间的距离是 ；
②数轴表示x和—1的两点A和B之间的距离是 ，如果那么x为 .
3．如图，在图圈内填上恰当的数，使每 ( http: / / www.21cnjy.com )条线上的3个数之和为0，如果将中心处的0改为－5，那么怎样填写才能使每条线上的3个数之和为－15？
0
－52.7有理数的混合运算
知识点一：有理数的混合运算
基本知识：有理数的混合运算的顺序
先乘方，再乘除，最后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。
自主学习
1.指出下列各题的运算顺序：
（1）6÷3×2；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ；
（2）6÷；本题含有 种运算，还含有 ，应先算 ，再算 ；
比较（1）（2）的运算顺序，你能得到什么结论？
_________________________________________________________________________
（3）17－8÷＋4×；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ；
（4）32－50÷22×＋1；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ；
然后再算 。
2.下列计算有无错误？若有错，应怎样改正？
（1）74－22÷70＝70÷70＝1； （2）2×32＝2＝62＝36；
（3）6÷＝6÷2×3＝3×3＝9 （4）－× eq \b(－) ＝－ eq \b(－1) ＝＋＝
知识点:对于有理数的混合运算，正确的运算顺序 ( http: / / www.21cnjy.com )是：先 ，再 ，最后 .如果有括号，先算 .对于同一级运算，应按 顺序依次运算
【典型例题】
例1. 计算: 8－23÷× 例2. 计算: 9＋5×－2÷4
例3. 计算：
（1）3×[2－]－300÷5； （2）2×［－＋ eq \b(－)］－2÷4；
（3）－1－［－2－］； （4） eq \b(－－)÷ eq \b(－)＋2×；
（5）－2×－ eq \b(＋3)÷3＋ eq \b(＋22)÷3－2× （6） eq \f(－22―100－12÷ eq \b(－)2,1＋)
练习
（1）－1× eq \b(1－)÷1 （2）[12－4×]÷4 （3）2×3－4×＋15
（4）－14－×[2―2] （5）3＋50÷22× eq \b(－)－1
（6）－8－3×3―4 （7）4－5× eq \b(－)3 （8）－3－[－5＋ eq \b(1－0.2×)÷]
（9）－24÷× eq \b(－)2 （10）2004×＋ eq \b\bc\|(\a(－22－2)) ×2003－ eq \b()2÷ eq \b(－)2
知识点二：有理数的混合运算
基本知识：有理数的混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。运用有关运算律简化有理数的运算.
自主学习
1.计算:
（1）1÷2－2×3 （2）－1－[1－]
2. 试用两种不同的方法计算,并回答问题：
eq \b(－－)÷ eq \b(－)＋ eq \b(－)你认为哪一种方法简便？为什么？从中能得到什么启示？
例1. 计算: eq \b(－)×3÷3× eq \b(－) 例2. eq \b(－)÷ eq \b(－)＋2×
练习. 计算：
（1） eq \b(+－－)÷ eq \b(－)2×3； （2） eq \b(－3.75＋)×－0.252÷ eq \b(－)4；
（3） eq \b(—)2÷ eq \b(－)4×4— eq \b(1+1+1)×24；（4）× eq \b(＋－－)
课外延伸
1.计算：
（1）17－6.25＋8－0.75； (2) 2－ eq \b(－8)＋ eq \b(－2)＋0.25－1.5－2.75；
（3）× eq \b(－＋2)； （4）32× eq \b(－)＋× eq \b(－)－21× eq \b(－)；
（5）÷2×× eq \b(－)； （6）－1× eq \b(1－)÷；
(7)[1－ eq \b(＋－)×]÷； （8）－250－ eq \b(－49)×；
（9）2×― eq \b(―)×3＋ eq \b(－)÷ eq \b(－1)－36× eq \b(－＋－)
（10）已知：12＋22＞2×1×2， 2＋2＞2××，
2＋22＞2××2， 22＋22=2×2×2， 12＋2＞2×1×，…，
由上述式子可以推测：
（1）52+92 2×5×9（2）a2+b2 2×a×b（a、b为有理数，填≥、＞、＝、＜、≤）
知识点三：能应用有理数的运算解决有关应用题
【典型例题】
例1 某地出租车收费标准是：起步价10元，可乘3km；3km到5km，每km价格1.8元；5km后，每千米价格2.7元。
若某人乘坐了5km的路程，请计算出他应支付的费用；
若他支付了19元车费，你能算出他乘坐的路程吗？
例2 某种金属丝，当温度上升 ( http: / / www.21cnjy.com )1℃时伸长0.002mm，当温度下降1℃时缩短0.002mm。现将这种金属丝先从20℃加热到80℃后，再冷却至10℃时，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度伸长多少？
【经典真题】
例1 （苏州）计算：（-3）2+（-2）3+︳-3︳-（-1）
例2 （贵阳）符合“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
f（1）=0，f（2）=1，f（3）2，f(4)=3,…
f()=2,f()=3,f()=4,f()=5…
利用以上规律计算：f()-f(2008)= .
例3 (绍兴)在等式3×□-2× ( http: / / www.21cnjy.com )□=15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立，则第一个方格内的数是 。