南京市2023—2024学年第二学期五校期初调研测试
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线倾斜角为
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
3．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则
A．8 B．9 C．10 D．11
4．已知数列均为等差数列，， ，则
A．9 B．18 C．16 D．27
5．已知为椭圆的右焦点，为的左顶点，为上的点，且垂直于轴．若直线的斜率为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
6．设，若函数有极值点，则的取值范围为
A． B． C． D．
7．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的
的切线与圆相切于点，则的最小值为
A． B． C． D．
8．已知，，，， 则的大小关系为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．直线是曲线的切线
D．若在区间上的最大值为3，则
10．已知数列和满足，，，．则
A．是等比数列 B．是等差数列
C． D．
11．已知点在圆上，点，，则
A．存在点，使得 B．存在点，使得
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 若函数的图象是连续平滑曲线，且在区间上恒非负，则其图象与直线，
，轴围成的封闭图形的面积称为在区间上的“围面积”．根据牛顿-莱布尼茨公式，计算面积时，若存在函数满足，则为在区间上的围面积．函数在区间上的围面积是____________．
13．在等比数列中，，为该数列的前项和，为数列的前
项和，且，则实数的值是____________．
14．双曲线的左、右焦点分别是，，离心率为，点
是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，
，若上一点满足，则到的两条渐近线距离之和为
____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设，函数的单调增区间是．
（1）求实数a；
（2）求函数的极值．
16．（15分）
已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，且，求．
17．（15分）
已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的前项和．
18．（17分）
在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，，，设直线的斜率分别为．
（i）若，求；
（ii）证明：为定值．
19．（17分）
已知函数 ，．
（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．2023—2024学年第二学期五校期初调研测试
高二数学参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.D 3.C 4.A 5. B 6.A 7.B 8.D
二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABD 10. ABD 11. ACD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.( 13分)
解： ....................................3分
因为函数的单调增区间是，所以，解得.......6分
当时，令，则或
列表如下：
x 1
f'(x) + 0
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
.............10分
当时，有极小值，当时，有极大值0. ............13分
16.（15分）
解：(1)由题意，到的距离和到直线的距离相等.. ................... .................2分
故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， ....................................4分
故曲线的方程为； ....................................5分
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，设，................................7分
则，
因为，则， ................................10分
解方程组，可得，或 ................................13分
所以 .................................15分
17.（15分）
解（1）①，
②，
①-②得， ....................................2分
整理得，
或， ....................................4分
又，得或（舍去），
若，则，得，舍去，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列； ....................................7分
（2）由（1）可得，即， ....................................8分
，
....................................10分
，
令，
则，
两式相减得
，
， ....................................14分
.....................................15分
18.（17分）
解：(1)因为，根据椭圆的定义可知曲线为以为焦点的椭圆， ....... ....... ....... ....... ....... ....... 2分
其中，所以
椭圆方程：． .................................................4分
(2)(i)易知直线的斜率不为零，所以设直线的方程为，，，
，得，
则，
则， .................................................6分
， .................................................11分
． .................................................12分
(ii)因为， .............................................16分
为定值． .................................................17分
19（17分）
解: (1) 在上恒成立， ....... ....... ....... ....... ....... ....... 2分
所以在上恒成立， ....... ....... ....... ....... ....... ....... 3分
因为，所以，经检验，符合题意....... ......... ....... ....... 4分
(2)(i)由题设且，
若，则在上恒成立，即递增，不可能有两个极值点，不符；
.... ....... ....... ....... ....... ....... 6分
故，又有两个极值点，则是的两个不同正根，
所以，可得，即实数的取值范围是.
.... ....... ....... ....... ....... ....... 9分
(2)(ii)由（i）且，，不妨设，
则
，
.... ....... ....... ....... ....... .......13分
要证，需证，即，
只需证，即，令，则证，
.... ....... ....... ....... ....... .......15分
由（1）可知当时，上递增，又，故，即，综上，.
.... ....... ....... ....... ....... .......17分
