26.2.1二次函数yax2的图象与性质课件 2023-2024学年度华东师大版数学九年级下册（27张PPT）

(共27张PPT)
26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质
九年级下
华师版
1. 会用描点法画出二次函数 y = ax 的图象；通过图象了解二次函数
y = ax 的性质；
2. 知道二次函数 y = ax 的系数与图象形状的关系；
3.会根据二次函数 y = ax 的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标.
学习目标
重点
重点
重点
新课引入
画一次函数图象的方法与步骤是什么？
列表--描点--连线.
我们可以按照画一次函数图象的方法来画二次函数的图象吗？
我们在学习了一次函数的定义之后还研究了什么？
一次函数的图象和性质.
学习一次函数时，主要通过什么来了解一次函数的性质呢？
一次函数的图象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
例1 画出二次函数 y = x2 的图象.
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在 y = x 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
一 二次函数 y = ax2(a＞0) 的图象和性质
新知学习
观察表格中的数据，你发现了什么？
横坐标互为相反数时，对应的点的纵坐标相等.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2. 描点：在平面直角坐标系中描点；
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
这样的曲线通常叫做抛物线.
它是轴对称图形，y 轴是它的
对称轴. 抛物线与它的对称轴
的交点叫做抛物线的顶点.
观察二次函数 y = x2 的图象，回答下列问题
思考
问题 1 图象的开口方向？
二次函数 y = x2 的图象开口向上.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
问题 2 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？
x = 0 时，ymin = 0.即(0,0)点是抛物线的顶点
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？
归纳
1. 开口向上；
2. 对称轴是 y 轴；
3. 顶点坐标是 ( 0 , 0 )，是抛物线上的最低点；
4. 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
二次函数 y = x2 的图象性质：
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．观察并比较这三个函数图象，你能发现什么？
由图象可知：当a＞0时，
①抛物线开口向上；
②a的值越大，开口越小；a的值越小，开口越大.
③在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升；
④顶点 ( 0 , 0 )是抛物线上的最低点
归纳
函数 y = ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点坐标是 ( 0 , 0 )
函数 y = ax2(a＞0)具有这样的性质：
图象开口向上；
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x = 0 时，函数 y = ax2取得最小值，最小值 y = 0.
例3 函数 y=3x2 的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
①判断点A(2,12)在该二次函数图象上吗？
②请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C 的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
向上
y轴
(0,0)
减小
增大
解：当x=2时， y=3x2 =12，所以点A(2,12)在该二次函数图象上.
B(2,-12) ，C(-2,12)，D(-2,-12)
③点B、C、D在二次函数y=3x2的图象上吗？
④对于(a,b)和(c,d)这两点，若a＜c＜0，则b和d的大小关系是什么？
⑤当-3点B、D不在y=3x2的图象上，点C在y=3x2的图象上.
方法一：由函数增减性可知：若a＜c＜0，则b＞d；
方法二：画出草图，如图，可知：若a＜c＜0，则b＞d；
y
O
x
如草图，可得 0≤y<27.
例4. 函数 的图象上有三点(－3,a), (－1,b) ,(2,c)，比较a，b，c的大小关系.
解法1 代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=3，b= ，c= ,可得a>c>b.
解法2 对称性：因为 ，所以图象开口向上，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；由函数图象的对称性可知，函数的图象过(2,c)也即过
(－2,c)，∵-3<-2<-1, ∴a>c>b.
解法3 数形结合法：
因为 ，所以图象开口向上，画出草图，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，所以a>c>b.
y
O
x
2
-1
-3
a
b
c
归纳
代数法 对称性 数形结合法
特点
直接计算，
比较数字大小
利用对称性将点都放在函数图象的一侧，再利用增减性来判断
画草图，由点的横坐标明确点与对称轴的距离，再结合开口方向，画出点的大致位置，从而判断大小
二次函数比较纵坐标大小方法
二 二次函数 y = ax2(a<0) 的图象和性质
例5 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．观察并比较这三个函数图象，你能发现什么？
解：列表如下.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　
y= x2 … …
y=-2x2 … …
-9
-4
-1
0　
-1
-9
-4
－2
－0.5
0
－2
－0.5
－4.5
－4.5
－8
－2
0
－2
－8
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
描点、连线，如图所示：
由图象可知：当a<0时，
①抛物线开口向下；
②a的值越小，开口越小；a的值越大，开口越大；
③在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降；
④顶点 ( 0 , 0 )是抛物线上的最高点
函数 y = ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点坐标是 ( 0 , 0 )
函数 y = ax2(a<0)具有这样的性质：
图象开口向下；
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x = 0 时，函数 y = ax2取得最大值，最大值 y = 0.
归纳
y＝ax2(a>0) y＝ax2(a<0)
图象
位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，图象在 x 轴上方
开口向下，图象在 x 轴下方
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x = 0
顶点坐标是原点 ( 0 , 0 )
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x < 0，y 随 x 的增大而增大当 x > 0，y 随 x 的增大而减小.
y
O
x
y
O
x
归纳
|a|越大，开口越小
例6 函数y=-5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧， y随x的增大而 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 .
向下
y轴
(0,0)
减小
增大
三 二次函数 y = ax2(a≠0) 当a互为相反数时的图象和性质
观察并比较二次函数 y = x2 与 y = -x2 的图象，它们有什么共同点？又有什么区别？
二次项系数互为相反数，开口方向相反，开口大小相同，图象关于 x 轴对称.
x
y
O
y = x2
y = -x2
探究
针对训练
1. 两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是 (　　)
A. 顶点坐标均为 ( 0 , 0 )
B. 对称轴均为直线x = 0
C. 开口大小不相同
D. 两图象关于 x 轴对称.
C
1. 函数y=-x2的图象上有三点(－3,a), (－1,b) ,(2,c)，比较a，b，c的大小关系.
随堂练习
解法1 代数法：将－3，－1，2分别代入函数解析式，求出a=-9，b=-1，c=-4,可得a解法2 对称性：因为y=-x2，所以图象开口向下，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；由函数图象的对称性可知，函数的图象过(2,c)也即过
(－2,c)，∵-3<-2<-1, ∴a解法3 数形结合法：
因为y=-x2，所以图象开口向下，画出草图，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，所以ay
O
x
2
c
-2
-1
-3
a
b
2. 如图， 四个二次函数的图象分别对应① y = ax2；② y = bx2；
③ y = cx2；④ y = dx2，且 ① 与 ③，② 与 ④ 分别关于 x 轴对称.
(1) 比较 a，b，c，d 的大小；
(2) 说明 a 与 c，b 与 d 的数量关系.
解：(1) 由抛物线的开口方向，知 a > 0，b > 0，c < 0，d < 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| > |b|，|c| > |d|，
因此 a > b，c < d.
∴ a > b > d > c.
(2)∵① 与 ③，② 与 ④ 分别关于 x 轴对称，
∴① 与 ③，② 与 ④ 的开口大小相同，方向相反.
∴ a + c = 0，b + d = 0.
3.二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B. C. D.
D
课堂小结
y＝ax2(a>0) y＝ax2(a<0)
图象
位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，图象在 x 轴上方
开口向下，图象在 x 轴下方
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x = 0
顶点坐标是原点 ( 0 , 0 )
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x < 0，y 随 x 的增大而增大当 x > 0，y 随 x 的增大而减小.
y
O
x
y
O
x
|a|越大，开口越小