大理州民族中学2023-2024学年下学期见面考
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要
高二数学 求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分)
2
考试时间：120 分钟 总分：150 分 9.关于曲线 + | | = 1的以下描述，正确的是( ) 4
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项 A. 该曲线的范围为： ∈ ， ≤ 1 B. 该曲线既关于 轴对称，也关于 轴对称
符合题目的要求） C. 该曲线与直线2 + = 0有两个公共点 D. 该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1
1.已知集合 = * | 2 3 10 ≤ 0+， = * || | ≥ 1+，则 ∩ =( ) 10.已知直线 1: + 1 = 0, 2: ( 2) + 3 + 3 = 0，则下列说法正确的是 ( )
A. , 2, 1- B. , 2, 1- ∪ ,1,5- C. ( 2, 1) ∪ (1,5) D. R A. 若 1// 2，则 = 1或 = 3 B. 若 1// 2，则 = 3
2+ 1 1
2.在复平面内，复数 对应的点位于( ) C. 若 1 ⊥ 1 2，则
= D. 若
2 1
⊥ 2，则 = 2
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11.已知等差数列* +的前 项的和为 ，且 6 > 7 > 5，有下面4个结论：其中正确结论的序号为
3.在等差数列* +中，
2
2、 4是方程 3 4 = 0的两根，则 3的值为( ) ( )
3
A. 2 B. 3 C. ±2 D. A. < 0 B. 11 > 0 C. 12 < 0 D. 数列* +中的最大项为 11
2
12.若长方体ABCD 1 1 1 1的底面是边长为2的正方形，高为4， 是 1的中点，则 ( )
4.已知空间向量 = ( 1,2, 3)， = (4,2, )，若( + ) ⊥ ，则 =( )
A. 1 ⊥ 1 B. 平面 1 //平面 1BD
14 13 11 17
A. B. C. D. 8
3 3 3 3 C. 三棱锥 1 1CE的体积为 D. 三棱锥 1 1 1的外接球的表面积为24 3
1
5.已知椭圆的中心在原点，离心率 = ，且它的一个焦点与抛物线 2 = 4 的焦点重合，则此椭圆方
2 三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
程为( ) 413.已知数列* +满足 1 = 2，且 +1 = ， 为数列* +的前 项和，则 2023 = ． 2
2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + 2 = 1 D. + 2 = 1
4 3 8 6 2 4 14.若函数 ( ) = 2 √ 3 2 的图象向左平移 个单位得到函数 ( )的图象．则 ( )在区间8
6.如图，在四面体OABC中， = 2 ， = 且 = , = , = ， 3
, , -上的最小值为______．
8 8
用 , , 表示 ，则 等于( ) 15.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则
1 2 1 2 1 1
A. + + B. + 抽到的2道题小李都会的概率为______．
3 3 2 3 3 2
2
1 2 1 2 1 1 16.已知双曲线
2 = 1， ， 是其两个焦点，点 在双曲线上，若| | = √ 3，则△ 的面
C. + D. + + 1 2 1 22
3 3 2 3 3 2
积为 ．
√ 57.在△ 中， = 1, = 5, cos = ，则 =( )
2 5
A. 4√ 2 B. √30 C. √29 D. 2√ 5
8.已知圆 1：
2 + 2 + 4 + 4 2 4 = 0和圆 ： 2 + 2 2 + 22 1 = 0只有一条公切线，若 a，
1 1
∈ 且 ≠ 0，则 2 + 2的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
1
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四、解答题(本题满分 70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.) 21.(本小题12分)
17．（本小题 10分) 如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， 是直角梯形， ⊥ ， // ， = 2 =
在正项等比数列 a 中， a 4， a4 a3 2an 1 2． 2 = 2 , 是 的中点．
（1）求 an 的通项公式；
（2）若b nn log2 an，证明 bn 是等差数列，并求 bn 的前 项和 Sn ．
18.(本小题 12 分)
已知等差数列* +满足 1 = 1，且 3 + 7 = 18.
(1)求数列* +的通项公式；
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
1 √ 6
(2)设 = ，求数列* +的前 n项和 . (2)若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 3 +1
19.(本小题 12 分) 22.(本小题12分)
2 2
√ 6
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 2cosC. 已知椭圆 : + = 1( > > 0)的离心率为 ，椭圆的长轴长为2√ 5．
cos + cos
2 2 3
(1)求角 ; (1)求椭圆 的方程；
7
4
(2) 是∠ 的角平分线，若 √
3
= ， = 2√ 3，求△ 的面积． (2)若直线 = ( + 1)与椭圆 相交于 、 两点，点 . , 0/，求证：
为定值．
3
3
20.（本小题 12分)
新高考实行“3 + 1 + 2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考,“1”为
首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两
科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科．
(1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某
专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率．
2
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高二年级下学期见面考数学试题参考答案 19.解：(1)由 = 2cos sin sin ，得： = = 1 = 2cos cos + cos sin cos +sin cos sin
一、选择题 1
所以：cos = ，所以 =
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3
答案 B A D A A C A D AD BD AB CD 2 2 + 2 2 2(2)在△ 中，cos = 得：
1 + 12
= ①
2 2 2
二、填空题 又 = + △
1
13. 2020 ； 14. √ 3 ； 15. ； 16. 2 1 1 4√ 3 1 4√ 3 2 得： sin = · · sin + · · sin
2 3 2 3 6 2 3 6
4
三、解答题 化简得： = ( + ) ②
3
17．在正项等比数列 an 中， a1 4， a4 a3 2a2．
由 ① ②得： = 8a （1）求 n 的通项公式；
（2）若b log a 所以： = 2√ 3． n 2 n，证明 bn 是等差数列，并求 bn 的前 n项和 Sn ． △
2
a 2n 1
n 3n
【答案】（1） n ；（2）证明见解析， S n
2
20.【答案】解：(1)q 由题意可知，所有选科组合为： 【解析】（1）设 an 的公比为 （ q 0），
2
由 a a 2a ，得 q q 2 0，解得 q = 2或 q 1（舍去）， 物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，共12种， 4 3 2
a 4 a a qn 1 n 1 n 1因为 1 ，所以 n 1 4 2 2 ． 记事件 =“所选组合符合该大学某专业报考条件”，
（2）由（1）可知，bn log2 an log 2
n 1 n 1，则bn 1 bn n 2 n 1 12 ． 5
则事件 包含的组合为：物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，共5种，所以 ( ) = ；
b 2 b 12因为 1 ，所以 n 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
(2)
n n 1 d 2 记事件 1 =“甲符合该大学某专业报考条件”，事件 2 =“乙符合该大学某专业报考条件”， n(n 1) n 3n
故 Sn nb 1 2n
2 2 2 事件 =“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
5
由(1)可知， ( 1) = ( 2) = ， 12
18.【答案】解：设等差数列* +的公差为 d，
7 7 95
∵ = 1，又 + = 18， 所以 ( ) = 1 ( 1 2) = 1 ( 1) ( 2)= 1 × = ． 1 3 7 12 12 144
∴ 1 +2 + 1 + 6 = 18， 21. (1)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，
解得 = 2， ∴ ⊥ ，
∴ = 1 + ( 1) × 2 = 2 1； ∵ = 2， = = 1，
1 1 1 1
(2)由(1)可得 = = ( )， ∴ = = √ 2， (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 ∴
2 + 2 = 2，
∴ = (1 ) + ( ) + + ( ) 2 3 2 3 5 2 2 1 2 + 1 ∴ ⊥ ，
1 1
= (1 ) = .
2 2 +1 2 +1 又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
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(2)如图，以 为原点，取 中点 ， 所以直线 = ( + 1)与椭圆 必有两个交点，
、 、 分别为 轴、 轴、 轴正向，建立空间直角坐标系， = ( + 1)
由{ 2 2 ( 2) 2+ = 1 消去 并化简得 1+ 3 + 6
2 + 3 2 5 = 0，
5 5
3
2 2
设 ( , ), ( , )，则 6 3 51 1 2 2 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
1+3 1+3
7 7
= ( 1 + , 1) ( 2 + , ) 3 3 2
7 49
= 1 2 + ( 1 + 2)+ + ( 1 + 1) ( 2 + 1) 3 9
7 49
= 1 2 + ( + )+
2
1 2 1 +
2( 2
3 2 1
+ 2)+ + 9
3 2则 (0,0,0)， (1,1,0)， (1, 1,0)． 5 7 6
2 3 2 5 6 2 49
= + × + 2 + 2 × + 2 +
1 + 3 2 3 1 + 3 2 1 + 3 2 1 + 3 2 9
设 (0,0, )( > 0)
1 1
，则 ( , , )，
2 2 2 2
5 15 49 49 4
= 2 + = 5 + = ，为定值．
1 1 1+3 9 9 9
= (1,1,0)， = (0,0, )， = ( , , )，
2 2 2
取 = (1, 1,0)，则 = = 0， 为面 的法向量．
设 = ( , , )为面 的法向量，
则 = = 0，
+ = 0
即{ ，取 = ， = ， = 2，
+ = 0
则 = ( , , 2)，
√ 6
依题意，|cos < ， > | = = =
| ||
，则 = 2．
| √ 2+2 3
于是 = (2, 2, 2)， = (1,1, 2)．
设直线 与平面 所成角为 ，
√ 2
则 = |cos < ， > | = = ，
| | | | 3
即直线 与平面 所成角的正弦值为√ 2．
3
√ 6
=
3
22.解：(1) 依题意{ ，解得
√ 15 √ 30
2 = 2√ 5 = √ 5, = , =
，
3 3
2 = 2 + 2
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 15 5
3
(2)由于直线 = ( + 1)过定点( 1,0)，该点在椭圆 内，
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