28.2. 解直角三角形及其应用 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册（共3课时）

(共72张PPT)
人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形的简单应用
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点)
2. 能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问
题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三
角函数解决问题.(重点、难点)
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
新课引入
美国人体工程学研究人员卡特 · 克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为穿6cm以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳.
若某成年人的脚掌长为15cm，鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适.
你知道专家是怎样计算的吗？
新课引入
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1. 解直角三角形
(1) 三边之间的关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2. 解直角三角形的依据
(2) 两锐角之间的关系：
∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3) 边角之间的关系：
tanA＝
sinA＝
a
c
cosA＝
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
b
c
a
b
新课引入
利用解直角三角形解决简单实际问题
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗
A
B
A
B
D
30°
200m
BD=ABsin30°=100m
合作探究
1
新课讲解
A
B
C
棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，缆车行进速度为1m/s，棋棋需要多长时间才能到达目的地？
A
B
D
C
E
60°
200m
棋棋需要231s才能到达目的地.
新课讲解
2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km， 结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.
最远点
求 的长，要先求∠POQ的度数
新课讲解
例1
O
F
P
Q
解：设∠POQ= α ，∵FQ是☉O
的切线，∴△FOQ是直角三角形.
的长为
新课讲解
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
归纳：
新课讲解
·
O
C
B
A
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
随堂即练
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在
的.
·
O
C
B
A
在Rt△OCB中，∠O
随堂即练
如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
0.5m
3m
60°
新课讲解
例2
0.5m
3m
A
B
C
D
E
60°
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 ：DE=0.5m，
AD=AB=3m，∠DAB
=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.
新课讲解
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，
3m
A
B
D
E
60°
C
∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，
∴ CD=AD－AC=1.5m，
∴ CE=AD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大
距离为2.0m.
新课讲解
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
G
解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
∴
(米).
随堂即练
G
∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，
∴ (米).
随堂即练
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，
那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米
B
随堂即练
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两
棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂
直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同
学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、
AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数
据求得A、B两树距离的有 ( )
A．0组 B.1组
C．2组 D.3组
D
随堂即练
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的
着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平
面AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.
A
C
B
4米
45°
随堂即练
4. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( )
B
D
C
A
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
B
随堂即练
F
E
A
30°
15m
5. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD
=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平
线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
北
A
B
D
C
20m
15m
E
F
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
∴
随堂即练
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米
A
B
20m
m
北
D
C
南
答案：BC至少为
随堂即练
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
课堂小结
人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
学习目标
1. 巩固解直角三角形有关知识. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实
际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、
方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基
本模型及解题思路. (重点、难点)
某探险者某天到达如
图所示的点A 处时，他准
备估算出离他的目的地，
海拔为3 500 m的山峰顶点
B处的水平距离.他能想出
一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.
．
A
B
．
．
新课引入
解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
新课讲解
1
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
新课讲解
例1
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°.Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
新课讲解
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
α
β
新课讲解
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰Rt△BCD中， ∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中 ，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m).
随堂即练
如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高 (结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
新课讲解
例2
解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，
D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设
AB′=x m.
D′
A
B′
B
D
C′
C
新课讲解
如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，
cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）
A
B
37°
45°
400米
P
随堂即练
A
B
O
37°
45°
400米
P
设PO=x米，
在Rt△POB中，∠PBO=45°，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
即
故飞机的高度为1200米.
随堂即练
1. 如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平
面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观
测者之间的水平距离BC=_________米.
2. 如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点
测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则
建筑物CD的高为_____米.
100
图1
B
C
A
图2
B
C
A
D
30°
60°
随堂即练
3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E
处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，
则树高 (精确到0.1米）.
A
D
B
E
C
20.9 米
随堂即练
4. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉
线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一
根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为
m(结果用带根号的数的形式表示).
随堂即练
5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
随堂即练
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
故BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°≈116（米）.
解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ .
随堂即练
45°
30°
O
B
A
200米
6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，
从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，
求飞机的高度PO .
U
D
P
答案：飞机的高度PO为
米.
随堂即练
利用仰俯角解直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
课堂小结
模型一
模型二
模型三
模型四
仰角、俯角问题的常见基本模型：
A
D
B
E
C
课堂小结
人教版数学九年级下册
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的
数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解
决问题的综合能力. (重点、难点)
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
方位角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
复习引入
解与方位角有关的问题
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
新课讲解
1
例1
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130n mile．
65°
34°
P
B
C
A
新课讲解
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的
最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
新课讲解
例1
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴AF=AC · cos30°=6 (海里)，
6 ≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
新课讲解
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区
域内，请问：计划修
筑的这条高速公路会
不会穿越保护区(参考
数据： ≈1.732，
≈1.414)．
200km
随堂即练
200km
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公
路不会穿越保护区．
C
随堂即练
解与坡度有关的问题
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
新课讲解
观察与思考
2
α
l
h
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，
记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
新课讲解
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
α
l
h
i= h : l
坡面
水平面
新课讲解
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
随堂即练
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长
度精确到0.1m）？
i=1:2
新课讲解
例3
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：
用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上
升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此
新课讲解
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
新课讲解
例4
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ，EF=BC=
6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
新课讲解
=69+6+57.5=132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在Rt△DCF中，同理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
i=1:3
新课讲解
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
A
C
B
D
30°
答案：点B和点C的水平
距离为 米.
随堂即练
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是 ( )
A. 9m B. 6m C. m D. m
A
C
B
B
随堂即练
2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方
向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方
向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M
在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯
塔距离最近的位置所需的时间是 ( )
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
B
随堂即练
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的
北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 ．
90°
随堂即练
4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方
向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北
方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南
偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ．
(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，
cos43°=0.73，tan43°=0.93)
33.5海里
随堂即练
解：作DE⊥AB，
CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
　 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， ，
).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F
随堂即练
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
(米).
(米).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
随堂即练
6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，
乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北
偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时
测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变
修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
D
B
A
E
答案：AE= 米.
＞800，
所以古建筑会遭到破坏.
随堂即练
解直角三角形的应用
坡度问题
方位角问题
坡角
坡度(或坡比)
课堂小结
THANK YOU