广东省信宜市名校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省信宜市名校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 438.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-23 18:30:12 | ||
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文档简介
信宜市名校2023-2024学年高二下学期开学考试
数学试题
一、单选题
1．已知向量，若，则实数m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．甲射击命中目标的概率为， 乙射击命中目标的概率为. 现在两人同时射击目标， 则目标被击中的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若点P为抛物线上一点，则F为焦点，，则点P到y轴的距离为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
4．某同学利用寒假进行网络平台勤工俭学，共收入1200元，第一天收入10元，之后由于技术熟练，从第2天起每天的收入都比前一天多10元，该同学共进行的天数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．圆截直线所得的弦长为，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
7．设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过点且与圆相切的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
11．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6
C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形
三、填空题
13．已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 .
14．已知等差数列的前项和为，若，，则 .
15．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为 ．
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数等于 ．
四、解答题
17．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数.
(1)求这个两位数是奇数的概率；
(2)求这个两位数能被3整除的概率.
18.已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
19．已知等差数列的公差为3，若，，成等比数列．
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若等差数列的前n项和为，证明：．
20．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
21．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．
22．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.
信宜市名校2023-2024学年高二下学期开学考试
数学参考答案
1．A
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．D
8．C
9．AC
10．AD
11．ACD
12．ABD
13．-2
14．
15．
16．4
17．(1)
(2)
(1) (2)3
19．（1）因为，，成等比数列，所以
又因为为等差数列，公差为3
所以，解得，
则=；
（2）由（1）得
则
20．(1)；
(2)．
（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得；
（2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.
【详解】（1）在直角梯形ABCD中，，，，
所以，，
∴，
∴，
∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，
∴平面ABD，又∵平面ABD，
∴；
（2）由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得，，，，
∴，，
设平面ACD的法向量，则，，
∴，即，
令，可得平面ACD的一个法向量为），又，
∴点M到平面ACD的距离为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值.
【详解】（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）由，得，
由，得.
设、，则，，
所以点的横坐标，纵坐标，
所以直线的方程为.
令，则点的纵坐标，则，
因为，所以点、点在原点两侧.
因为，所以，所以.
又因为，，
所以，解得，所以.
数学试题
一、单选题
1．已知向量，若，则实数m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．甲射击命中目标的概率为， 乙射击命中目标的概率为. 现在两人同时射击目标， 则目标被击中的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．若点P为抛物线上一点，则F为焦点，，则点P到y轴的距离为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
4．某同学利用寒假进行网络平台勤工俭学，共收入1200元，第一天收入10元，之后由于技术熟练，从第2天起每天的收入都比前一天多10元，该同学共进行的天数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．圆截直线所得的弦长为，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
7．设，为双曲线：的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过点且与圆相切的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
11．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6
C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形
三、填空题
13．已知数列（，）为等比数列，且，则的公比为 .
14．已知等差数列的前项和为，若，，则 .
15．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为 ．
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数等于 ．
四、解答题
17．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数.
(1)求这个两位数是奇数的概率；
(2)求这个两位数能被3整除的概率.
18.已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
19．已知等差数列的公差为3，若，，成等比数列．
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若等差数列的前n项和为，证明：．
20．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
21．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如图（2）．
(1)求证：；
(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．
22．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.
信宜市名校2023-2024学年高二下学期开学考试
数学参考答案
1．A
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．D
8．C
9．AC
10．AD
11．ACD
12．ABD
13．-2
14．
15．
16．4
17．(1)
(2)
(1) (2)3
19．（1）因为，，成等比数列，所以
又因为为等差数列，公差为3
所以，解得，
则=；
（2）由（1）得
则
20．(1)；
(2)．
（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABD，然后利用线面垂直的性质即得；
（2）利用坐标法，求出平面ACD的法向量，然后利用点到平面的距离的向量求法即得.
【详解】（1）在直角梯形ABCD中，，，，
所以，，
∴，
∴，
∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，
∴平面ABD，又∵平面ABD，
∴；
（2）由题知，如图以D为原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得，，，，
∴，，
设平面ACD的法向量，则，，
∴，即，
令，可得平面ACD的一个法向量为），又，
∴点M到平面ACD的距离为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值.
【详解】（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）由，得，
由，得.
设、，则，，
所以点的横坐标，纵坐标，
所以直线的方程为.
令，则点的纵坐标，则，
因为，所以点、点在原点两侧.
因为，所以，所以.
又因为，，
所以，解得，所以.
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