26.1.2 反比例函数的图像和性质 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
人教版数学九年级下册
第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图像和性质
（第1课时）
学 习 新 知
校园内有一块矩形草坪面积为200 m2，它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么 当它的长y(单位:m)增加时，它的宽x(单位:m)将怎样变化
问题思考
一、描点法画反比例函数图象
x … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
… -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1 …
… -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 …
1.列表
2.描点
3.连线
列表时取值不能太少，也不能只取正值
强调
描点时横、纵坐标易混淆
连线时用平滑曲线，不能画成折线，因为自变量x不等于0，所以画函数图象时，不能将左右两个图象连接起来.
x
y
0
1
x
y
0
1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
反比例函数图象画法步骤：
列
表
描
点
连
线
注意
①列表时， x的值不能为零，但仍可以零为基础，左右均匀、对称地取值。
②连线时把y轴右边各点与左边各点分别用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。
③两个分支合起来才是反比例函数图象。
二、反比例函数 (k>0)的性质
观察教材图26.1 - 2的函数图象，思考回答:
(1)你能描述反比例函数图象的形状吗
(2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗 与函数解析式之间有什么关系
(因为自变量x、函数值y不能等于0，所以函数图象与x轴、y轴没有交点)
(3)函数图象在哪个象限内 该图象关于原点O对称吗
(在第一、第三象限，关于原点O对称)
(4)观察函数图象，当x<0时，随着x的增大，y如何变化 当x>0时呢 你能根据函数解析式说明理由吗
　(当x<0时，随着x的增大，y减小;当x>0时，随着x的增大，y也减小)
共同归纳
(1)反比例函数 (k>0)的图象是双曲线;
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;
(3)在每个象限内，y随着x的增大而减小;
(4)两支双曲线向两边无限延伸，与坐标轴没有交点;
(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.
三、反比例函数y= (k<0)的图象与性质
(1)反比例函数y= (k<0)的图象是双曲线;
(2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限;
(3)在每个象限内，y随着x的增大而增大;
(4)双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点;
(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.
四、归纳反比例函数 (k≠0)的图象与性质
　
　
一般地，反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它具有以下性质:
(3)反比例函数图象向两边无限延伸，与两坐标轴没有交点，两支双曲线关于原点成中心对称.
(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;
(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大;
【追加思考】
(1)反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的
(2)反比例函数的性质“在每个象限内，y随x的增大而减小”中，可不可以去掉“在每个象限内” 为什么
反比例函数 的图象大致是 (　　)
(2)已知函数 中，用哪个代数式表示比例系数k (k2+1表示比例系数k，决定函数图象的位置)(3)你能判断k2+1的正负吗 (因为k2≥0，所以k2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗 (由k2+1>0得函数图象在第一、三象限) (5)自变量x的取值范围是什么 (自变量x的取值范围是x≠0)故选D.
〔解析〕(1)反比例函数解析式 (k≠0)中，哪个量决定函数图象的位置 (比例系数k决定函数图象的位置)
D
若点(-2，y1)，(-1，y2)，(1，y3)在反比例函数
的图象上，则下列结论中正确的是　　(　　)
　A.y1>y2>y3　　 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2　 D.y3>y2>y1
〔解析〕　(1)已知三点的横、纵坐标分别是什么 (2)函数值y1，y2，y3与已知点的横坐标有什么关系 (点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值，怎样求出对应的函数值 (把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出y1，y2，y3的值吗 三者的大小关系是什么 (把x1=-2，x2=-1，x3=1分别代入函数解析式求出y1，y2，y3)(5)反比例函数 的图象及增减性是怎样的 (反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断y1，y2，y3的大小关系吗 (第三象限图象上的点的纵坐标小于0，且y随x的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于0)
C
解法1:把三个点的横坐标分别代入y= ，
　得y1=- ，y2=-1，y3=1，∴y3>y1>y2 .故选C.
解法2:可以看出点(-2，y1)，(-1，y2)在同一象限，
　∵k=1>0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
　∵-2<-1<0，∴y2 　又∵1>0，∴y3>0，∴y3>y1>y2 .故选C.
　(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两支，它的两个分支是断开的.
[知识拓展]
(2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限.
(3)反比例函数 (k≠0)的图象的两个分支关于原点成中心对称..
(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.
　(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.
(6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”，当k>0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，但不能笼统地说:当k>0时，y随着x的增大而减小.同样，当k<0时，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，也不能笼统地说:当k<0时，y随着x的增大而增大.
课堂小结
函数 正比例函数
反比例函数
关系式
图象
自变量的 取值范围
图象位置
性质
当k>0时，图象经过第一、第三象限
当k<0时，图象经过第二、第四象限
当k>0时，图象位于第一、第三象限
当k<0时，图象位于第二、第四象限
当k>0时，y随x的增大而增大
当k<0时，y随x的增大而减小
当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小
当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大
y=kx(k≠0)
(k≠0)
过原点的直线
与坐标轴没有交点的双曲线
全体实数
x≠0的全体实数
检测反馈
1.当x>0时，函数 图象在(　　)
　A.第四象限　　B.第三象限
　C.第二象限　　D.第一象限
解析:∵反比例函数 中，k=-5<0，∴此函数的图象位于第二、四象限，当x>0时，函数的图象位于第四象限.故选A.
A
2.对于反比例函数 ，下列说法正确的是(　　)
　A.图象经过点(1，-3)
　B.图象在第二、四象限
　C.x>0时，y随x的增大而增大
　D.x<0时，y随x的增大而减小
解析:∵反比例函数 ，∴xy=3，故图象经过点(1，3)，故A错误;∵k>0，∴图象在第一、三象限，故B错误;∵k>0，∴x>0时，y随x的增大而减小，故C错误;∵k>0，∴x<0时，y随x的增大而减小，故D正确.故选D.
D
3.反比例函数 的图象如图所示，以下结论:
　① 常数m <-1;
　②在每个象限内，y随x的增大而增大;
　③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h　④若P(x，y)在图象上，则P'(-x，-y)也在图象上.
　其中正确的是　　(　　)
　A.①②　　B.②③　　C.③④　　D.①④
解析:由图象在第一、三象限可得m>0，所以①错误;观察图象可得，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以②错误;当x=-1时，y=h<0，当x=2时，y=k>0，所以hC
4.设有反比例函数 ，(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上两点，若x1<0y2，则k的取值范围是　　　　.
解析:因为x1<0y2，所以双曲线在第二、四象限，则k+2<0，解得k<-2.故填k<-2.
-2
5.已知反比例函数
　(1)求m的值;
　(2)它的图象位于哪些象限
　(3)当 ≤x≤2时，求函数值y的取值范围.
解:(1)依题意可得m2-5=-1，且m-2≠0，
　解得m=-2.
　∴当m=-2时，函数 是反比例函数.
　(2)当m=-2时，代入函数解析式可得 .
　∵k=-4<0，∴它的图象位于第二、第四象限.
　(3)∵反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，且 ≤x≤2，
　∴-8≤y≤-2.
人教版数学九年级下册
第二十六章 反比例函数
26.1.2反比例函数的图像和性质
（第2课时）
学 习 新 知
思考并回答下列问题.
　1.判断点(1，2)是否在正比例函数y=2x的图象上，你是如何判定的
　
问题思考
(点在函数y=2x的图象上，将点的坐标代入函数解析式，满足函数解析式)
2.判断点(3，2)，(2，3)是否在反比例函数 的图象上，点(-2，-3)，(-3，-2)呢 如何判定
（四个点都在反比例函数 的图象上 ）
(教材例3)已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
　(1)这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化
　(2)点B(3，4)，C ，D(2，5)是否在这个函数的图象上
解:(1)∵点A(2，6)在第一象限，
　∴这个函数的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为 ，
∵点A(2，6)在其图象上，
∴点A的坐标满足 ，
即6= ，
解得k=12.
∴这个反比例函数的解析式为y= .
∵点B，C的坐标满足y= ，而点D的坐标不满足y= ，
∴点B，C在函数y= 的图象上，点D不在这个函数图象上.
(教材例4)如图所示，它是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题.
　(1)图象的另一支位于哪个象限 常数m的取值范围是什么
　(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系
思考下列问题.
　(1)反比例函数图象的两支有什么对称性
(反比例函数图象的两支关于原点成中心对称)
(2)函数图象的一支位于哪个象限
(函数图象的一支在第一象限)
(3)函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关
(函数图象所在象限和解析式中的比例系数有关)
(4)函数解析式中的比例系数用哪个式子表示
(比例系数k用式子m-5 表示)
(5)在比例系数范围确定的情况下，在图象的另一支上，y随x的变化如何变化
(在图象的另一支上，y随x的增大而减小)
解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限，因为这个函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
　∵这个函数图象位于第一、第三象限，
　∴m-5>0，解得m>5.
(2)∵m-5>0，∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，
　∴当x1>x2时，y1【追加思考】　(1)点A(x1，y1)和点B(x2，y2)一定在同一象限吗 有几种可能
　(2)能否分情况画出示意图，并确定y1与y2的大小关系
探究比例系数k的几何意义
如图所示，点A在反比例函数 (x>0)的图象上，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，你能求出矩形OBAC的面积吗
思考下列问题.
(1)如何求图中矩形的面积
(2)矩形的两个邻边长与点A的坐标之间有什么关系
(3)点A在反比例函数图象上，它的横、纵坐标与比例系数3之间是否有等量关系
(4)你能求出矩形OBAC的面积吗
(5)求出的矩形面积与比例系数3之间有什么关系
【拓展思考】
(1)若点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，矩形的面积又是多少 它与比例系数之间有什么关系
(2)如图所示，若点A是反比例函数y= (k≠0)图象上任意一点呢
(3)若连接OA，则△AOB与△AOC的面积又是多少
【结论】　反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:S矩形ABOC=|x||y|=|k|，S△ABO=S△ACO= |k|.
[知识拓展]
(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.
(2)过双曲线 (k≠0)上的任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线，这一点与两个垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|;这一点与其中一垂足、原点所构成的三角形的面积为S△= |k|.
检测反馈
1.如图所示，点B在反比例函数 (x>0)的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为　　(　　)
　A.1 　　 B.2
　C.3 　　 D.4
解析:由反比例函数 (k≠0)中比例系数k的几何意义可得矩形OABC的面积为|k|=2.故选B.
B
2.如图所示，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数 的图象相交于点E(-1，2)，若y1>y2>0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
解析:∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2= 的图象相交于点E(-1，2)，∴根据图象可知当y1>y2>0时，x的取值范围是x<-1.故选A.
A
3.已知反比例函数 ，若它的图象在每个象限内，y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是　　　　，若图象经过点(-2，3)，则k=　　　　.
解析:∵函数图象在每个象限内，y随自变量x的增大而减小，∴1-2k>0，解得k< .∵图象经过点(-2，3)，∴1-2k=(-2)×3，解得k= .
k<
　4.如图所示，直线y=kx与双曲线 (x>0)交于点A(1，a)，则k=　　　　.
解析:把点A坐标(1，a)代入 ，得a= =2，∴点A的坐标为(1，2)，再把点A(1，2)代入y=kx中，得k= 2.故填2.
2
5.如图所示，函数y1=-x+4的图象与函数 (x>0)的图象交于A(a，1)，B(1，b)两点.
　(1)求函数 的表达式;
　(2)观察图象，比较当x>0时，y1与y2的大小.
解:(1)把点A坐标代入y1=-x+4，得a=3，即点A的坐标为(3，1)，∴k2=3，∴ .
(2)把点B的坐标代入 ，得b=3，
　∴点B的坐标为(1，3)，
　∴由图象可知，当03时，y1　当x=1或x=3时，y1=y2;当1y2.
THANK YOU