27.2.3 相似三角形应用举例 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 27.2.3 相似三角形应用举例 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-24 12:53:51 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
人教版数学九年级下册
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
（第1课时）
学 习 新 知
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.
在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗
问题思考
测量旗杆的高度
【思考】
(1)在同一时刻，物体的高度和影长有什么关系
(2)在操场上竖立一根长1米的标杆，画出同一时刻旗杆和木杆的影长.
(太阳光线看作是平行的)
(3)通过测量影子的长度，你能得到旗杆的高度吗
解:如图所示，测得同一时刻旗杆的影长AB=a，标杆的影长为EF=b.
由题意可得∠B=∠F=90°，AC∥DE，
∴∠A=∠E，∴△ABC∽△EFD，
【归纳】 在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例.
用三角形相似可以求旗杆的高度，常用的方法有:
(1)如图所示，同一时刻物高与影长构成直角三角形.
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
(2)如图所示，利用平面镜构造直角三角形.
A
B
C
D
E
(3)如图所示，观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.
F
H
(教材例4)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图所示，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为
201 m，求金字塔的高度BO.
思考：
(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗
(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF，
又∠AOB=∠DFE=90°，得三角形相似)
(2)如何求OA的长
(金字塔的影子是等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)
解:太阳光线是平行光线，
因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF.
因此金字塔的高度为134 m.
（m）.
(教材例5)如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据求河宽PQ.
(3)能不能用方程思想解出PQ的值
( ，即PQ×90=(PQ+45)×60，可解得PQ的值)
〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形
(由∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P可得△PQR∽△PST)
(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段
解:∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
∴ ， 即 ， ，
PQ×90=(PQ+45)×60. 解得PQ=90(m).
因此，河宽大约为90 m.
[知识拓展] 利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量;④检验并得出答案.
检测反馈
1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米，如图所示，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 ( )
A.10米 B.12米
C.15米 D.22.5米
解析:在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 因此= ，即 ，∴楼高=10(米).故选A.
A
2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=2 米，窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高度AB为 ( )
A. 米 B.3米 C.2米 D.1.5米
解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又∵∠C=90°，BC=1米，∴BN=2米，CN= 米，∴CN∶CM=BC∶AC，∴ ,解得AC=3(米)，∴AB=AC-BC=2米.故选C.
C
3.如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM的长为 米.
解析:根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知 ，即 ，
解得AM=5(米).则小明的影长为5米.故填5.
5
4.如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米，DC=55米，EC=52米，求两岸间的大致距离AB.
解:∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠ABC=∠BCE=90°，
又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△ECD，
∴ ，
解得AB=104.
答:两岸间的大致距离AB为104米.
人教版数学九年级下册
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
（第2课时）
学 习 新 知
问题思考
如图所示，屋顶上有一只猫，院子里有一只小老鼠，若猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，小老鼠在墙的哪部分活动是安全的 试画出小老鼠在墙的左端的安全区.
(教材例6)如图(1)所示，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
思考:(1)在图(1)中，这个人观察的盲区是哪部分
(2)当她自左向右前进中，她的视线与两棵树的顶端恰好在同一条直线上时，如图(2)所示，她观察的盲区是哪部分
(3)如果她再向右走，她还能看到右边较高的树的顶端吗
解:如图(2)所示，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK，
解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不会全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高1.2 m，又测得地面部分的影长2.7 m，求树高是多少.
解法1:如图所示，过D作DE⊥AB于点E，
根据题意，得四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=1.2，DE=BC=2.7，
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，
∴AE=3，∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2(m).
答:树高为4.2 m.
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，墙上的影高CD为1.2 m，
解法2:如图所示，延长AD，BC交于点E.
E
∴CE=1.08(m)，
∴BE=1.08+2.7=3.78(m)，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥DC，
∴△EDC∽△EAB，
解得AB=4.2(m).
答:树高为4.2 m.
解法3:如图所示，过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AE∥CD，EC∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=1.2 m，
又在平行投影中，同一时刻物高与影长成比例，
即BE=2.7× =3(m).
∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m).
答:树高为4.2 m.
【归纳】
(1)求树高常用的方法:①根据相似三角形对应线段成比例，列方程求解即可;②在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可求解.
(2)求树高常用的辅助线:①作垂直，构造相似三角形;②作平行，构造相似三角形;③延长两条直线相交，构造相似三角形.
检测反馈
1.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于 ( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
解析:∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴ .∵BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，∴ .解得AB=40.故选B.
B
2.如图(1)所示，为了测量某建筑物的高AB，在距离B点35 m的D处安置测角仪，测得A点的仰角α为45°，若仪器CD高为1.4 m，则高AB为 .
解析:如图(2)所示，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意，在Rt△ACE中，CE=35 m，∠α=45°，∴AE=35 m.则AB的长为AE+BE=36.4 m.故填36.4 m.
36.4 m
3.如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m.
解析:∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴ ，∵DE=40 cm=0.4 m，EF=20 cm=0.2 m，AC=1.5 m，CD=8 m，∴ ，∴BC=4(m)，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).故填5.5.
5.5
4.如图所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF=2 m，求旗杆AB的高度.
解:∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE.
∴AH=11.9.
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).
答:旗杆AB的高度为13.5 m.
THANK YOU
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第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
（第1课时）
学 习 新 知
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.
在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗
问题思考
测量旗杆的高度
【思考】
(1)在同一时刻，物体的高度和影长有什么关系
(2)在操场上竖立一根长1米的标杆，画出同一时刻旗杆和木杆的影长.
(太阳光线看作是平行的)
(3)通过测量影子的长度，你能得到旗杆的高度吗
解:如图所示，测得同一时刻旗杆的影长AB=a，标杆的影长为EF=b.
由题意可得∠B=∠F=90°，AC∥DE，
∴∠A=∠E，∴△ABC∽△EFD，
【归纳】 在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例.
用三角形相似可以求旗杆的高度，常用的方法有:
(1)如图所示，同一时刻物高与影长构成直角三角形.
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
(2)如图所示，利用平面镜构造直角三角形.
A
B
C
D
E
(3)如图所示，观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.
F
H
(教材例4)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图所示，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为
201 m，求金字塔的高度BO.
思考：
(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗
(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF，
又∠AOB=∠DFE=90°，得三角形相似)
(2)如何求OA的长
(金字塔的影子是等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)
解:太阳光线是平行光线，
因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF.
因此金字塔的高度为134 m.
（m）.
(教材例5)如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据求河宽PQ.
(3)能不能用方程思想解出PQ的值
( ，即PQ×90=(PQ+45)×60，可解得PQ的值)
〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形
(由∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P可得△PQR∽△PST)
(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段
解:∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
∴ ， 即 ， ，
PQ×90=(PQ+45)×60. 解得PQ=90(m).
因此，河宽大约为90 m.
[知识拓展] 利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量;④检验并得出答案.
检测反馈
1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米，如图所示，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 ( )
A.10米 B.12米
C.15米 D.22.5米
解析:在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 因此= ，即 ，∴楼高=10(米).故选A.
A
2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=2 米，窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高度AB为 ( )
A. 米 B.3米 C.2米 D.1.5米
解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又∵∠C=90°，BC=1米，∴BN=2米，CN= 米，∴CN∶CM=BC∶AC，∴ ,解得AC=3(米)，∴AB=AC-BC=2米.故选C.
C
3.如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM的长为 米.
解析:根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知 ，即 ，
解得AM=5(米).则小明的影长为5米.故填5.
5
4.如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米，DC=55米，EC=52米，求两岸间的大致距离AB.
解:∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠ABC=∠BCE=90°，
又∵∠ADB=∠CDE，∴△ABD∽△ECD，
∴ ，
解得AB=104.
答:两岸间的大致距离AB为104米.
人教版数学九年级下册
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
（第2课时）
学 习 新 知
问题思考
如图所示，屋顶上有一只猫，院子里有一只小老鼠，若猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，小老鼠在墙的哪部分活动是安全的 试画出小老鼠在墙的左端的安全区.
(教材例6)如图(1)所示，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
思考:(1)在图(1)中，这个人观察的盲区是哪部分
(2)当她自左向右前进中，她的视线与两棵树的顶端恰好在同一条直线上时，如图(2)所示，她观察的盲区是哪部分
(3)如果她再向右走，她还能看到右边较高的树的顶端吗
解:如图(2)所示，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK，
解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不会全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高1.2 m，又测得地面部分的影长2.7 m，求树高是多少.
解法1:如图所示，过D作DE⊥AB于点E，
根据题意，得四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=1.2，DE=BC=2.7，
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，
∴AE=3，∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2(m).
答:树高为4.2 m.
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，墙上的影高CD为1.2 m，
解法2:如图所示，延长AD，BC交于点E.
E
∴CE=1.08(m)，
∴BE=1.08+2.7=3.78(m)，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥DC，
∴△EDC∽△EAB，
解得AB=4.2(m).
答:树高为4.2 m.
解法3:如图所示，过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AE∥CD，EC∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=1.2 m，
又在平行投影中，同一时刻物高与影长成比例，
即BE=2.7× =3(m).
∴AB=AE+EB=1.2+3=4.2(m).
答:树高为4.2 m.
【归纳】
(1)求树高常用的方法:①根据相似三角形对应线段成比例，列方程求解即可;②在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可求解.
(2)求树高常用的辅助线:①作垂直，构造相似三角形;②作平行，构造相似三角形;③延长两条直线相交，构造相似三角形.
检测反馈
1.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于 ( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
解析:∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴ .∵BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，∴ .解得AB=40.故选B.
B
2.如图(1)所示，为了测量某建筑物的高AB，在距离B点35 m的D处安置测角仪，测得A点的仰角α为45°，若仪器CD高为1.4 m，则高AB为 .
解析:如图(2)所示，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意，在Rt△ACE中，CE=35 m，∠α=45°，∴AE=35 m.则AB的长为AE+BE=36.4 m.故填36.4 m.
36.4 m
3.如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m.
解析:∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴ ，∵DE=40 cm=0.4 m，EF=20 cm=0.2 m，AC=1.5 m，CD=8 m，∴ ，∴BC=4(m)，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).故填5.5.
5.5
4.如图所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF=2 m，求旗杆AB的高度.
解:∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE.
∴AH=11.9.
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).
答:旗杆AB的高度为13.5 m.
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