27.3 位似 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
人教版数学九年级下册
第二十七章 相 似
27.3 位似（第1课时）
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，
O
O
O
这些点叫做位似中心．
位似是一种特殊的相似，其相似比也叫位似比。
学 习 新 知
问题思考
【思考】
(1)位似图形一定是相似图形吗 反之成立吗
(位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，位似图形是特殊的相似图形)
(2)如何判断两个图形是位似图形
(首先判断两个图形是相似图形，其次判定每一对对应点所在的直线都经过同一点)
(3)判断下列图形是不是位似图形
位似图形的性质
如图所示的两组多边形是位似图形，观察思考.
(1)在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系
(2)在各图中，对应点到位似中心的距离与两个图形的相似比有什么关系
(3)在各图中，两个图形中的对应线段有什么位置关系
(3)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.
(1)位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的异侧.
(2)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.
2. 分别在线段OA，OB，OC，OD上取点A‘，B’，C’，D' ，使得
3. 顺次连接点A‘，B’，C‘，D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
做法：
1. 在四边形外任选一点O（如图），
将图形放大或缩小
如图所示，将四边形ABCD缩小为原来的 .
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA，OB，OC，OD的反向延长线上取A' ，B' 、C' 、D' ，使得 呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
[知识拓展]
(1)位似是一种具有特殊位置关系的相似.两个图形是位似图形，必定是相似图形，而两个图形是相似图形，不一定是位似图形.
(2)位似中心可以在两个图形内部，两个图形之间，两个图形的同一侧，也可以在一个图形的一条边上或某一顶点上.
(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
(4)平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形位似.
(5)作位似图形时，要弄清相似比.
(6)一般情况下，作已知图形的位似图形的结果不唯一.
1.位似图形的概念.
2.位似图形与相似图形的关系:位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.
3.位似图形的性质:位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比;位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.
4.画位似图形: 确定位似中心;对应点与位似中心的距离比相等.
课堂小结
检测反馈
　　解析:利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，因为它是一种特殊的相似，但是相似图形不一定是位似图形，所以①错误，②正确;两个位似图形若全等，根据对应点一定相交于一点，可得到位似中心在两个图形之间，③正确;④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，则在五边形中连线组成的△ABC与△A'B'C'，画出图形，可得它们也是位似的，④正确.所以②③④正确.故选C.
1.下列说法:①相似图形一定是位似图形；②位似图形一定是相似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，则其中△ABC与△A'B'C'也是位似的，且相似比相等.其中正确的有(　　)
　A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
C
　　解析:由△ABC和△A'B'C'是位似图形，且面积之比为1∶9，得△ABC和△A'B'C'的对应边AB与A'B'的比为1∶3.故选B.
　2.△ABC和△A'B'C'是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC和△A'B'C'的对应边AB和A'B'的比为　　(　　)
A.3:1 B.1:3 C.1:9 D.1:27
B
　解析:由△ABC与△A'B'C'是位似图形，且相似比是1∶2，得△ABC与△A'B'C'的周长比是1∶2，又△ABC的周长是3，所以△A'B'C'的周长为6.故填6.
3.△ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2，已知△ABC的周长是3，则△A'B'C'的周长是　　　　.
6
　4.如图所示，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点　　　　.
解析:因为位似图形的对应点的连线相交于一点，即位似中心，所以位似中心为B点.故填B.
B
5.如图所示，顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形，已知图中的每个小正方形的边长都是1个单位长度，在图中选择适当的位似中心，画一个与格点△DEF位似且相似比不等于1的格点三角形.
　解:本题答案不唯一.如图所示的△DE'F'就是符合题意的一个三角形.
人教版数学九年级下册
第二十七章 相 似
27.3 位似（第2课时）
如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
x
y
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
A
B
A'
B'
A〞
B〞
位似变换后A，B的对应点为A ' （ ， ），B'（ ， ）；A"（ ， ），B" （ ， ）．
2
1
2
0
－ 2
－ 1
－ 2
0
学 习 新 知
x
y
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
9
10
11
12
-9
-10
-12
A
C
A'
C'
A"
C"
如图所示,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
总结
(教材例题)如图所示，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-2，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画一个三角形，使它与△ABO的相似比为 .
分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的顶点坐标.根据前面总结的规律，点A的对应点 的坐标为 ，即（-3,6）.类似地，可以确定其他顶点的坐标。
解：利用位似中心对应点坐标变化的规律，分别取点A′(-3，6)，B′(-3，0),O(0，0).顺次连接A′，B′，O，所得 A′B′O就是要画的一个图形.
就这一个图形吗？
A′
B′
如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(-1，1)，点C的坐标为(-4，2)，求这两个正方形位似中心的坐标.
【分析】
(1)两个位似图形的特征是什么
(每对对应点与位似中心共线;对应线段平行或在同一条直线上)
（2）位似中心的位置有几种 哪几种
(两种，位似中心在位似图形的同侧或异侧)
(3)观察图形，当位似中心在位似图形同侧时，位似中心是不是在特殊直线上
(DG，AO在x轴上，故位似中心在x轴上)
(4)当位似中心在位似图形同侧时，位似中心还在哪条与已知有关的直线上
(过对应点C，F所在的直线上或过对应点B，E所在的直线上)
　(求直线OC与直线DE的交点坐标，直线不唯一)
(5)当位似中心在位似图形同侧时，如何求位似中心的坐标
(求直线CF(或BE)与x轴的交点坐标)
(6)观察图形当位似中心在位似图形异侧时，位似中心在什么位置
(直线不唯一.直线OC，DE的交点)
(7)当位似中心在位似图形异侧时，如何求位似中心的坐标
解:①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF的解析式为y=kx+b，将C(-4，2)，F(-1，1)代入，得
令y=0得x=2，
　∴位似中心的坐标是(2，0).
②当位似中心在两个正方形之间时，
可求直线OC的解析式为y=- x，直线DE的解析式为y= x+1，
平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同
我们已经学移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式，你能在下图所示的图案中找到它们吗 四种变换有什么异同
【四种变换的异同】　图形经过平移、旋转、轴对称后，图形的位置虽然改变了，但是图形的大小和形状没有改变，即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后，图形是相似的.
　(2)在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律:①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离;②轴对称变换，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数;以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形上的对应点的横坐标与纵坐标分别互为相反数;④位似变换中，当以原点为位似中心时，变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比的绝对值等于相似比.
[知识拓展]　
(1)以原点为位似中心的位似变换，其对应点的坐标关系可表示为(新图形与原图形的相似比为k):与P(x，y)位于位似中心同侧的对应点P1(kx，ky); 与P(x，y)位于位似中心异侧的对应点P2(-kx，-ky).当k>1时，是将图形扩大;当0检测反馈
1.如图所示，将△ABC的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是(　　)
　A.(-3，-3)　　B.(-3，-4)
　C.(-4，-4)　　D.(-4，-3)
解析:∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质，对应点的连线相交于一点，连接BB1，CC1，交点即是P点，如图所示，∴P点的坐标为(-4，-3).故选D.
D
2.已知线段AB和CD，依据下列点的坐标，能判断AB和CD是以原点为位似中心的位似图形的是　　(　　)
　A.A(2，3)，B(-1，1)，C(4，3)，D(-2，1)
　B.A(1，-5)，B(-1，-2)，C(1，-10)，D(-1，-4)
　C.A(-4，5)，B(2，-2)，C(4，5)，D(-2，-2)
　D.A(2，0)，B(-1，0)，C(-4，0)，D(2，0)
解析:根据以原点为位似图形的坐标特征，可得C，D点横、纵坐标为A，B点横、纵坐标的同一个倍数的只有D.故选D.
D
　3.如图所示，原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，0)与A1(-2，0)是对应点，△ABC的面积是 ，则△A1B1C1的面积是　　　　.
解析:∵原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，0)与A1(-2，0)是对应点，∴△ABC和△A1B1C1的相似比为 ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得△A1B1C1的面积是 ×4=6.故填6.
6
4.如图所示的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，请完成以下问题.
　(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，则B点的坐标为　　　　;
　(2)以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，画出放大后的△A'B'C'.
解:(1)∵A(2，3)，C(6，2)，
　∴可得如图所示的平面直角坐标系.
　∴点B的坐标为(2，1).
(2)∵以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，∴A' (4，6)，B' (4，2)，C' (12，4)，
　如图所示.
THANK YOU