2023-2024学年初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形 单元练习 （含解析）

第十八章 平行四边形 自我评估
(建议用时：90分钟　分值：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题2分，满分20分)
1.【教材P61T12变式】如图，在矩形ABCD中，A(-3，2)，B(3，2)，C(3，-1)，则点D的坐标为（ ）
A.(-2，-1) B.(4，-1) C.(-3，-2) D.(-3，-1)
2.关于 ABCD的叙述，正确的是（ ）
A.若AC=BD，则 ABCD是菱形
B.若AB=AD，则 ABCD是矩形
C.若AB⊥BC，则 ABCD是正方形
D.若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，E是BC边上的一个动点(点E与点C不重合)，F，G分别是AE，CE的中点，则线段FG的长为（ ）
A. B.3 C.2 D.2
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，且AD=CD，则下列结论中错误的是（ ）
A.∠DCB=∠B B.BC=BD C.AD=BD D.∠ACD=∠BDC
5.【唐山月考】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发，沿AB向点B运动，运动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A.平行四边形 正方形 平行四边形 矩形
B.平行四边形 菱形 平行四边形 矩形
C.平行四边形 正方形 菱形 矩形
D.平行四边形 菱形 正方形 矩形
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.以下是排乱的证明过程：①∵AE=CF，∴BE=FD；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD；③∴DE=BF；④∴四边形EBFD是平行四边形.证明步骤正确的顺序是（ ）
A.①→②→③→④ B.①→④→②→③ C.②→①→④→③ D.②→④→①→③
7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=8，对角线AC，BD交于点O，E是线段OC上一动点，F是射线AD上一动点，若∠BEF=120°，则在点E运动的过程中，EF长度为整数的有（ ）
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
8.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交CD于M点，若DM=2CM，BC=8，则BE的长为（ ）
A.3 B. C. D.2
9.如图，正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE∥CD交BC于点E，PF∥BC交CD于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD=EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF.其中正确结论的序号为（ ）
A.①②④ B.①③④ C.②④ D.②③
10.【邯郸月考】现有一张纸片，∠BAF=∠ABC=∠CDE=∠FED=∠AFE=90°，AB=AF=2，EF=ED=1.有甲、乙两种剪拼方案，如图1，2所示，将它们沿着虚线剪开后，分别要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A.甲、乙都不可以 B.甲不可以，乙可以 C.甲、乙都可以 D.甲可以，乙不可以
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分)
11.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_______，使四边形BEFD为矩形.(填一个即可)
12.【保定期末】如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠C的度数是_______.
13.图1是一种矩形时钟，图2是时钟的示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若AB=30 cm，则BC的长为_______cm.(结果保留根号)
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F.若AB=12，AC=16，则DF的长为________.
15.【唐山期末】如图，在矩形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)，且a，b满足+|b-6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着OCBAO的路线运动.
(1)点B的坐标为_______.
(2)当点P运动2026秒时，点P的坐标为_______.
三、解答题(本大题共8小题，满分65分)
16.(6分)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE=∠CBF.求证：DE=DF.
17.(6分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O交AB于点E，交CD于点F，且OE=OF.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.
(2)若S四边形AEFD=5，则S四边形ABCD=________.
18.(6分)如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，线段AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G.
(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由.
(2)若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长.
19.(8分)定义：若P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD=180°，则称P为四边形ABCD的一个“互补点”.
(1)如图1，若P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，求∠BPC的度数.
(2)如图2，若P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：P为菱形ABCD的一个“互补点”.
20.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1 cm/s向C，A运动.
(1)四边形DEBF是平行四边形吗 判断并说明理由.
(2)若BD=12 cm，AC=16 cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形
21.(9分)在△ABC中，AB=AC，D，O分别是BC，AC边的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，交射线DO于点E，连接CE.
(1)如图1，求证：四边形ADCE是矩形.
(2)如图2，点F在线段CE上，连接AF，DF，在不添加任何字母和辅助线的情况下，请直接写出四个与四边形ABDF面积相等的三角形或四边形.
22.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形.
(2)连接BD交AC于点O，若BD=12，AE=EF-CF，求EG的长.
23.(12分)如图，在 ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F.
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形.
(2)当 ABCD满足_______条件时，四边形GEHF是菱形.
(3)若BD=2AB.
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由.
②当AB=2，∠ABD=120°时，求出四边形GEHF的面积.
参考答案
1.D　2.D
3.A　【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=3.
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=3.
∵F，G分别是AE，CE的中点，∴FG是△ACE的中位线，
∴FG=AC=.
4.B　5.B　6.C　7.B　8.D　9.A
10.C　【解析】如图1，将△AEF移至①处，△DEH移至②处，四边形GCHE移至③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形；
如图2，将△ABG，△AHG，△HGF分别移至①②③处，即可得到一个与原来面积相等的正方形.故甲、乙方案都可以.
11.AB⊥BC　12.115°
13.30　【解析】如图，过点O作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意知∠FOD=2∠DOE，
∵∠FOD+∠DOE=90°，
∴∠DOE=30°，∠FOD=60°.
在矩形ABCD中，∠C=90°，CD=AB=30 cm，易得OE∥BC，
∴∠DBC=∠DOE=30°，∴BD=60 cm，
∴BC=30 cm.
14.　【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD，由题意得AE=EC=AD，∴AE=EC=AD=CD，∴四边形ADCE是菱形.
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=12，AC=16，
∴BC==20.
∵S△ABC=AB·AC=BC·AH，
∴AH===.
∵S菱形ADCE=EC·DF=CD·AH，CD=CE，
∴DF=AH=.
15.(1)(4，6)　(2)(4，4)
【解析】(1)由题意，可知点B的坐标为(a，b).
∵a，b满足+|b-6|=0，
∴a-4=0，b-6=0，解得a=4，b=6，
∴点B的坐标为(4，6).
(2)由点B的坐标为(4，6)，得矩形OABC的周长为2×(4+6)=20，易知点P每隔10秒就会回到起点O，
∵2026÷10=202……6，∴当点P运动2026秒时会循环202次，且又运动6秒，此时点P在AB上，点P的纵坐标为4，∴点P的坐标为(4，4).
16.【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AB=BC，∠A=∠C.
∵∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=CD-CF，
∴DE=DF.
17.【解析】(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，∠ABD=∠CDB.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
同理可证△BEO≌△DFO，
∴BE=DF，
∴AB=CD.
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵S四边形AEFD=5，
∴S四边形ABCD=10.
故答案为10.
18.【解析】(1)四边形DEFG是平行四边形.
理由：∵E，F分别为线段OB，OC的中点，
∴EF=BC，EF∥BC.
同理DG=BC，DG∥BC，∴EF=DG，EF∥DG，
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠BOC=90°.
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
19.【解析】(1)∵如图1，P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，
∴∠BPC=180°-∠APD=180°-63°=117°，即∠BPC=117°.
(2)证明：如图2，连接AP，CP.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP.
在△ADP与△CDP中，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴∠APD=∠CPD.
又∵∠APB+∠APD=180°，
∴∠APB+∠CPD=180°，
即P为菱形ABCD的一个“互补点”.
20.【解析】(1)是.
理由：在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC.
∵E，F两点移动的速度相同，即AE=CF，∴OE=OF.又∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)∵矩形的对角线相等，∴当EF=12 cm时，其为矩形，
即AE=CF=×(16-12)=2，
所以当t=2 s或16-2=14 s时，四边形DEBF是矩形.
21.【解析】(1)证明：∵AE∥BC，∴∠EAO=∠DCO.
∵O是AC的中点，∴OA=OC.
在△OAE和△OCD中，
∴△OAE≌△OCD(ASA)，∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形.
(2)四边形ABDE，四边形ADCE，△ABC，△BCE，理由如下：
由(1)得四边形ADCE是矩形，∴AD∥CE，△ACD的面积=△ACE的面积，
∴△ADE的面积=△ADF的面积，∴四边形ABDE的面积=四边形ABDF的面积.
∵D是BC的中点，AE∥CD，∴△BCE的面积=△ABC的面积=2△ACD的面积=2△ACE的面积，
∴△BCE的面积=△ABC的面积=四边形ADCE的面积=四边形ABDF的面积.
22.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠GAE=∠HCF.
∵G，H分别是AB，CD的中点，∴AG=CH.
在△AGE和△CHF中，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF.
又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.
∵BD=12，∴OB=OD=6.
∵AE=CF，OA=OC，∴OE=OF.
∵AE=EF-CF，∴AE+CF=EF，
∴2AE=EF=2OE，∴AE=OE.
又∵G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，
∴EG=OB=3.
23.【解析】(1)证明：连接AC，如图1所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴AC一定经过点O，∴OA=OC，OB=OD.
∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E，F分别为OB，OD的中点.
∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF=OA.
同理可得EH∥OC，EH=OC，∴EH=GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形.
(2)当 ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形.理由如下：
连接GH，如图2，则AG=BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH.
∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形.
(3)①四边形GEHF是矩形.
理由：由(2)得四边形ABHG是平行四边形，
∴GH=AB.
∵BD=2AB，∴AB=BD=EF，∴GH=EF，
∴四边形GEHF是矩形.
②如图3，作AM⊥BD于点M，GN⊥BD于点N，则AM∥GN.
∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，
∴GN=AM.
∵∠ABD=120°，∴∠ABM=60°，∴∠BAM=30°，
∴BM=AB=1，AM=BM=，∴GN=.
∵BD=2AB=4，∴EF=BD=2，
∴△EFG的面积=EF·GN=×2×=，
∴四边形GEHF的面积=2△EFG的面积=.
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