2023-2024学年初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理 单元练习 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理 单元练习 （含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 285.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
(建议用时：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB的长为（ ）
A.5 B.10 C.2 D.28
2.如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A.16 B.25 C.144 D.169
3.下列说法不正确的是（ ）
A.在△ABC中，若∠A-∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
B.在△ABC中，若b2-c2=a2，则△ABC是直角三角形 C.若△ABC的三边之比是5∶12∶13，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
4.如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且BC=DE=8，EF=2AB=2CD，AB=3，则A，F两点间的距离是（ ）
A.16 B.20 C.20 D.24
5.将一副直角三角板按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长是（ ）
A.5 B.5 C.10-5 D.15-5
6.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形的格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（ ）
A.2 B. C. D.2
7.“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段，所构成的三角形中恰好是直角三角形的共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中.当a=24时，b+c的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A.250 B.288 C.300 D.574
10.如图，小明(视为一点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B处.则小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（ ）
A.2米 B.2.2米 C.2.5米 D.2.7米
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分)
11.如图，△ABO为等腰三角形，且OA=AB=5，B(-6，0)，则点A的坐标为_______.
12.如图，佳佳在玩耍时，用四个全等的小直角三角板按如图的方式摆放，恰好放在一个大直角三角形内，大直角三角形的两条直角边分别为6和8，则图中四个小三角板的周长之和为_______.
13.如图，现将一支长为16 cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个底面长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为________cm.
14.观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412；112+602=612；….按照这样的规律，第六个等式是_______.
15.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16，点M在直角三角形ABC的边上，且它到三角形另外两边的距离相等，则MC的长为________.
三、解答题(本大题共8小题，满分55分)
16.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5，求AD的长.
17.(6分)如图，货车高4 m(AC=4 m)，货车卸货时后面的挡板AB落在地面A1处，经过测量，A1C=2 m，求BC的长.
18.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA向A点运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.
(1)当t=2时，求AD的长.
(2)在点D运动过程中，△CBD能否为直角三角形 若不能，说明理由；若能，请求出t的值.
19.(6分)如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=CD=4，BC=9，AD=7.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理.
(1)求这块空地ABCD的面积.
(2)为方便师生出入，学校修建了一条过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长.
20.(6分)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形能拼成一个面积为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.
(1)图2中A，B两点表示的数分别为________，________.
(2)把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个最大的正方形.在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的最大正方形，该正方形的边长a=________.(注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙)
(3)参照图2的画法，在(2)的基础上，在数轴上表示出数a以及a-3分别对应的点M，N.(图中保留必要的作图痕迹)
21.(6分)挖掘机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台挖掘机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150米和200米，且AB=250米，挖掘机周围130米以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗 判断并说明理由.
(2)若挖掘机的行驶速度为每分钟100米，挖掘机噪声影响该学校的时间有多少分钟
22.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒，连接AP.
(1)当t=3时，求AP的长度(结果保留根号).
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值.
23.(10分)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=4，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E.
(1)如图1，连接AE，则AE=________.
(2)如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长.
(3)如图3，延长DE交AB的延长线于点F，P为直线DE上一动点，Q为直线AB上一动点，求BP+PQ的最小值.
参考答案
1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B
10.A
11.(-3，4) 12.24 13.2 14.132+842=852
15.或或6
16.【解析】在Rt△ABC中，AC===12.
∵∠C=90°，∠BDC=45°，BC=5，∴CD=BC=5，
∴AD=AC-CD=12-5=7.
17.【解析】由题意得AB=A1B，∠BCA1=90°.
设BC=x m，则AB=A1B=(4-x)m.
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2=A1B2，
即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5.
答：BC的长为1.5 m.
18.【解析】(1)由勾股定理得AC===25，
当t=2时，CD=2×2=4，所以AD=AC-CD=25-4=21.
(2)△CBD能为直角三角形.
理由：①如图1，当∠BDC=90°时，
S△ABC=BC·AB=AC·BD，∴BD===12.
由勾股定理得CD===9，所以t==4.5.
②如图2，当∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t==12.5.
综上所述，t的值是4.5或12.5.
19.【解析】(1)∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.
∵BC=9，AB=4，
∴AC===.
∵AD=7，CD=4，
∴AD2+CD2=72+42=65，
∴AD2+CD2=AC2，∴∠D=90°，
∴这块空地ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=×4×+×4×7=2+14.
答：这块空地ABCD的面积是(2+14).
(2)S△ABC=AB·AC=BC·AE，
∴4×=9×AE，∴AE=.
答：小路AE的长为.
20.【解析】(1)-；.(2).
如图所示：
(3)如图所示：
21.【解析】(1)学校C会受噪声影响.
理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150米，BC=200米，AB=250米，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=AC×BC=CD×AB，
∴150×200=250×CD，
∴CD==120米.
∵挖掘机周围130米以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响.
(2)如图，以C为圆心，130米长为半径画弧，与公路AB分别交于E，F两点，则当挖掘机行驶到点E时开始影响学校，行驶到点F时结束对学校的影响.
当EC=130米，FC=130米时，正好影响学校C.
∵ED===50米，
∴EF=100米.
∵挖掘机的行驶速度为每分钟100米，
∴100÷100=1分钟，
即挖掘机噪声影响该学校的时间有1分钟.
22.【解析】(1)根据题意，得BP=2t，∴PC=BC-BP=16-2t.
当t=3时，PC=16-2×3=10.
在Rt△APC中，根据勾股定理得AP====2.
即AP的长为2.
(2)∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
∴根据勾股定理得AB===8.
若BA=BP，则2t=8，解得t=4；
若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；
若AP=BP，则(2t)2=(16-2t)2+82，解得t=5.
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为4或16或5.
23.【解析】(1).
提示：∵DE是AC的中垂线，
∴AE=CE.
设AE=CE=x，则BE=BC-CE=4-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得22+(4-x)2=x2，
解得x=，即AE=.
故答案为.
(2)∵DE是AC的中垂线，点F在DE的延长线上，
∴AF=CF.
设AF=CF=y，则BF=y-2，
在Rt△BCF中，由勾股定理得(y-2)2+42=y2，
解得y=5，
即CF的长为5.
(3)如图，连接CF，过点B作BM⊥CF于点M，交直线DE于点P'，过点P'作P'Q'⊥BF于点Q'.
∵DE是AC的中垂线，
∴AF=CF，∴∠AFD=∠CFD.
∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，
∴P'M=P'Q'，
则点M与点Q'关于直线DE对称，此时BM=BP'+P'M=BP'+P'Q'，
即BP+PQ的最小值为BM的长度，
由(2)得AF=CF=5，AB=2，
∴BF=AF-AB=3.
∵∠CBF=180°-∠ABC=90°，
∴△BCF的面积=CF×BM=BF×BC，
∴BM===，
即BP+PQ的最小值为.
2
(建议用时：90分钟 分值：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB的长为（ ）
A.5 B.10 C.2 D.28
2.如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A.16 B.25 C.144 D.169
3.下列说法不正确的是（ ）
A.在△ABC中，若∠A-∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
B.在△ABC中，若b2-c2=a2，则△ABC是直角三角形 C.若△ABC的三边之比是5∶12∶13，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
4.如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且BC=DE=8，EF=2AB=2CD，AB=3，则A，F两点间的距离是（ ）
A.16 B.20 C.20 D.24
5.将一副直角三角板按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长是（ ）
A.5 B.5 C.10-5 D.15-5
6.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形的格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（ ）
A.2 B. C. D.2
7.“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段，所构成的三角形中恰好是直角三角形的共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中.当a=24时，b+c的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A.250 B.288 C.300 D.574
10.如图，小明(视为一点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B处.则小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（ ）
A.2米 B.2.2米 C.2.5米 D.2.7米
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分)
11.如图，△ABO为等腰三角形，且OA=AB=5，B(-6，0)，则点A的坐标为_______.
12.如图，佳佳在玩耍时，用四个全等的小直角三角板按如图的方式摆放，恰好放在一个大直角三角形内，大直角三角形的两条直角边分别为6和8，则图中四个小三角板的周长之和为_______.
13.如图，现将一支长为16 cm的金属筷子(粗细忽略不计)放入一个底面长和宽分别为8 cm，6 cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为________cm.
14.观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412；112+602=612；….按照这样的规律，第六个等式是_______.
15.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16，点M在直角三角形ABC的边上，且它到三角形另外两边的距离相等，则MC的长为________.
三、解答题(本大题共8小题，满分55分)
16.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，∠BDC=45°，AB=13，BC=5，求AD的长.
17.(6分)如图，货车高4 m(AC=4 m)，货车卸货时后面的挡板AB落在地面A1处，经过测量，A1C=2 m，求BC的长.
18.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA向A点运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.
(1)当t=2时，求AD的长.
(2)在点D运动过程中，△CBD能否为直角三角形 若不能，说明理由；若能，请求出t的值.
19.(6分)如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=CD=4，BC=9，AD=7.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理.
(1)求这块空地ABCD的面积.
(2)为方便师生出入，学校修建了一条过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长.
20.(6分)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形能拼成一个面积为2的大正方形.由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.
(1)图2中A，B两点表示的数分别为________，________.
(2)把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个最大的正方形.在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的最大正方形，该正方形的边长a=________.(注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙)
(3)参照图2的画法，在(2)的基础上，在数轴上表示出数a以及a-3分别对应的点M，N.(图中保留必要的作图痕迹)
21.(6分)挖掘机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图，有一台挖掘机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150米和200米，且AB=250米，挖掘机周围130米以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗 判断并说明理由.
(2)若挖掘机的行驶速度为每分钟100米，挖掘机噪声影响该学校的时间有多少分钟
22.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，点P从点B出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒，连接AP.
(1)当t=3时，求AP的长度(结果保留根号).
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值.
23.(10分)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=4，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E.
(1)如图1，连接AE，则AE=________.
(2)如图2，延长DE交AB的延长线于点F，连接CF，请求出CF的长.
(3)如图3，延长DE交AB的延长线于点F，P为直线DE上一动点，Q为直线AB上一动点，求BP+PQ的最小值.
参考答案
1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B
10.A
11.(-3，4) 12.24 13.2 14.132+842=852
15.或或6
16.【解析】在Rt△ABC中，AC===12.
∵∠C=90°，∠BDC=45°，BC=5，∴CD=BC=5，
∴AD=AC-CD=12-5=7.
17.【解析】由题意得AB=A1B，∠BCA1=90°.
设BC=x m，则AB=A1B=(4-x)m.
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2=A1B2，
即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5.
答：BC的长为1.5 m.
18.【解析】(1)由勾股定理得AC===25，
当t=2时，CD=2×2=4，所以AD=AC-CD=25-4=21.
(2)△CBD能为直角三角形.
理由：①如图1，当∠BDC=90°时，
S△ABC=BC·AB=AC·BD，∴BD===12.
由勾股定理得CD===9，所以t==4.5.
②如图2，当∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t==12.5.
综上所述，t的值是4.5或12.5.
19.【解析】(1)∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.
∵BC=9，AB=4，
∴AC===.
∵AD=7，CD=4，
∴AD2+CD2=72+42=65，
∴AD2+CD2=AC2，∴∠D=90°，
∴这块空地ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=×4×+×4×7=2+14.
答：这块空地ABCD的面积是(2+14).
(2)S△ABC=AB·AC=BC·AE，
∴4×=9×AE，∴AE=.
答：小路AE的长为.
20.【解析】(1)-；.(2).
如图所示：
(3)如图所示：
21.【解析】(1)学校C会受噪声影响.
理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=150米，BC=200米，AB=250米，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=AC×BC=CD×AB，
∴150×200=250×CD，
∴CD==120米.
∵挖掘机周围130米以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响.
(2)如图，以C为圆心，130米长为半径画弧，与公路AB分别交于E，F两点，则当挖掘机行驶到点E时开始影响学校，行驶到点F时结束对学校的影响.
当EC=130米，FC=130米时，正好影响学校C.
∵ED===50米，
∴EF=100米.
∵挖掘机的行驶速度为每分钟100米，
∴100÷100=1分钟，
即挖掘机噪声影响该学校的时间有1分钟.
22.【解析】(1)根据题意，得BP=2t，∴PC=BC-BP=16-2t.
当t=3时，PC=16-2×3=10.
在Rt△APC中，根据勾股定理得AP====2.
即AP的长为2.
(2)∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，
∴根据勾股定理得AB===8.
若BA=BP，则2t=8，解得t=4；
若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；
若AP=BP，则(2t)2=(16-2t)2+82，解得t=5.
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为4或16或5.
23.【解析】(1).
提示：∵DE是AC的中垂线，
∴AE=CE.
设AE=CE=x，则BE=BC-CE=4-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得22+(4-x)2=x2，
解得x=，即AE=.
故答案为.
(2)∵DE是AC的中垂线，点F在DE的延长线上，
∴AF=CF.
设AF=CF=y，则BF=y-2，
在Rt△BCF中，由勾股定理得(y-2)2+42=y2，
解得y=5，
即CF的长为5.
(3)如图，连接CF，过点B作BM⊥CF于点M，交直线DE于点P'，过点P'作P'Q'⊥BF于点Q'.
∵DE是AC的中垂线，
∴AF=CF，∴∠AFD=∠CFD.
∵P'M⊥CF，P'Q'⊥BF，
∴P'M=P'Q'，
则点M与点Q'关于直线DE对称，此时BM=BP'+P'M=BP'+P'Q'，
即BP+PQ的最小值为BM的长度，
由(2)得AF=CF=5，AB=2，
∴BF=AF-AB=3.
∵∠CBF=180°-∠ABC=90°，
∴△BCF的面积=CF×BM=BF×BC，
∴BM===，
即BP+PQ的最小值为.
2