2023-2024学年初中数学人教版八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理 课时练习（含解析）

17.2.1 勾股定理的逆定理
【练基础】
必备知识1 互逆命题与互逆定理
1.下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A.全等三角形的对应角相等
B.两直线平行，同位角相等
C.等边三角形三个角相等
D.直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
2.下列选项中，可以用来说明“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是（ ）
A.a=-3 B.a=-1 C.a=1 D.a=3
必备知识2 勾股定理的逆定理
3.【教材P34T1变式】下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A.1.5，2，3 B.2，3，4 C.1，1， D.5，13，14
4.五根小棒，其长度(单位： cm)分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
5.【石家庄期末】三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是_______三角形.
6.【教材P38T5变式】【石家庄期中】若一个三角形三边的长度之比为3∶4∶5，且周长为60 cm，则它的面积是_______ cm2.
7.如图，在锐角三角形ABC中，AB=13，AC=15，点D是BC边上一点，BD=5，AD=12，求BC的长.
8.如图，在四边形ABCD中，CD=AD=2，∠D=90°，AB=5，BC=3.
(1)求∠C的度数.
(2)求四边形ABCD的面积.
必备知识3 勾股数
9.下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.0.6，0.8，1 B.5，13，12 C.，， D.1，2，
10.若8，a，17是一组勾股数，则a的值为_______.
11.若三个连续的正整数是勾股数，则这三个数为_______；若三个连续的偶数是勾股数，则这三个数为_______.
【练能力】
12.【唐山月考】下列命题是假命题的是（ ）
A.在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B.在△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形 C.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若a∶b∶c=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
13.在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
14.【保定期末】如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，DA=5，∠B=90°，则∠BCD的度数为_______.
15.【唐山月考】如图，已知
AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，∠ACB=90°，则阴影部分的面积为_______.
16.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含n(n>1)的代数式表示：a=________；b=________；c=________.
(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形 为什么
【练素养】
17.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗 _______.(填“是”或“不是”)
(2)若某三角形的三边长分别为1，，2，判断该三角形是不是奇异三角形，并说明理由.
(3)在Rt△ABC中，两边长分别为a，c，且a2=50，c2=100，请通过计算说明这个三角形是不是奇异三角形.
(4)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2的值.
参考答案
【练基础】
1.A　2.A　3.C　4.C　5.直角　6.150
7.【解析】在△ABD中，AB=13，BD=5，AD=12，
∴BD2+AD2=52+122=169，AB2=132=169，
∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.
∵D是BC边上一点，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD===9，
∴BC=BD+CD=5+9=14.
8.【解析】(1)如图，连接AC.
∵CD=AD=2，∠D=90°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，AC==
=4.
∵AB=5，BC=3，∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°+45°=135°.
(2)S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×2×2=6+4=10.
9.B　10.15　11.3，4，5；6，8，10
【练能力】
12.C
13.C　【解析】如图，这样的格点C有8个.
14.135°　15.24
16.【解析】(1)n2-1；2n；n2+1.
(2)以a，b，c为边长的三角形是直角三角形.理由如下：
∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1，c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形.
【练素养】
17.【解析】(1)是.
提示：设等边三角形的边长为a.
∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形.
(2)是.理由：∵12+()2=2×22，∴该三角形是奇异三角形.
(3)当c为斜边时，b2=c2-a2=50，Rt△ABC不是奇异三角形；
当b为斜边时，b2=c2+a2=150.
∵50+150=2×100，∴a2+b2=2c2，
∴Rt△ABC是奇异三角形.
(4)在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.
∵c>b>a，∴2c2>b2+a2，2a2∵Rt△ABC是奇异三角形，∴2b2=a2+c2，
∴2b2=a2+a2+b2，
∴b2=2a2，∴c2=3a2，∴a2∶b2∶c2=1∶2∶3.
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