18.1.2.1 平行四边形的判定(1)
【练基础】
必备知识1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BC B.AC=BD C.∠A=∠C D.∠A=∠B
2.如图,在四边形ABCD中,如果∠A和∠B互补,∠A=∠C,那么四边形ABCD是平行四边形吗 试判断并说明理由.
必备知识2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.【2020河北中考】如图,将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现,旋转后的△CDA与△ABC构成了平行四边形,他的推理如下:
小明为使嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四边形…”之间作补充,下列说法正确的是( )
A.嘉淇推理严谨,不必补充
B.应补充:且AB=CD C.应补充:且AB∥CD
D.应补充:且OA=OC
4.如图,A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形,理由是_____________
___________________.
必备知识3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.在四边形ABCD中,下列给出的∠A,∠B,∠C和∠D的度数之比,其中能够判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶2∶3 C.2∶2∶3∶4 D.1∶2∶2∶1
6.【教材P50T10变式】如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线.求证:四边形AFCE是平行四边形.
必备知识4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.已知△ABC(如图1),按图2和图3所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等的性质就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【练能力】
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,交BD于点E,F.
(1)若∠BCF=65°,求∠ABC的度数.
(2)连接CE,AF,求证:四边形AECF是平行四边形.
9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于O点.
(1)若AC=12,BD=14,求AD的取值范围.
(2)若∠ACB=40°,AC=BC,求∠ADC的度数.
(3)点E在CA的延长线上,点F在AC的延长线上,且AE=CF,点G,H均在线段BD上,且BG=DH,求证:四边形EGFH是平行四边形.
【练素养】
10.如图,四边形ABCD为平行四边形,M,N两点分别从点D到点A,从点B到点C做匀速运动,且速度相同.E,F两点分别从点A到点B,从点C到点D做匀速运动,且速度相同.它们之间用橡皮筋连接.
(1)没有出发时,这两根橡皮筋有何关系 请判断并说明理由.
(2)若同时出发,这两根橡皮筋还存在(1)中的结论吗 为什么
参考答案
【练基础】
1.C
2.【解析】四边形ABCD是平行四边形.
理由:∵∠A+∠B=180°,∴AD∥BC.
∵∠A=∠C,∴∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.B
4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.B
6.【证明】证法一 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠BCD,AD∥BC.
∵AE,CF分别平分∠DAB,∠BCD,
∴∠FAE=∠DAB,∠ECF=∠BCD,
∴∠FAE=∠ECF.
∵AF∥EC,
∴∠AFC+∠ECF=180°,∠FAE+∠AEC=180°,
∴∠AFC=∠AEC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
证法二 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线,
∴∠BCF=∠BCD,∠DAE=∠DAB,
∴∠BCF=∠DAE,
∴∠AEB=∠BCF,
∴AE∥FC.
又∵AF∥EC,
∴四边形AFCE是平行四边形.
7.B
【练能力】
8.【解析】(1)∵CF平分∠BCD,
∴∠BCD=2∠BCF=65°×2=130°.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠DCB,
∴∠ABE=∠CDF.
∵∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB,
∴∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴∠AEB=∠CFD,AE=CF,
∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
9.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC=6,OD=BD=7.
在△AOD中,OD-OA
(2)∵AC=BC,∠ACB=40°,
∴∠CAB=∠ABC=(180°-∠ACB)=70°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC=70°.
(3)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵点E在CA的延长线上,点F在AC的延长线上,且AE=CF,点G,H均有线段BD上,且BG=DH,
∴OE=OF,OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
【练素养】
10.【解析】(1)没有出发时,这两根橡皮筋互相平分.
理由:如图1,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,即EF与MN互相平分.
(2)若同时出发,这根橡皮筋还存在(1)中的结论.
理由:如图2,连接EM,EN,FN,FM.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
∵点M,点N分别从点D到点A,从点B到点C做匀速运动,且速度相同,点E,点F分别从点A到点B,从点C到点D做匀速运动,且速度相同,∴AE=CF,AM=CN.
在△AEM与△CFN中,
∴△AEM≌△CFN(SAS),∴EM=FN.
同理可得EN=MF,∴四边形ENFM为平行四边形,∴EF与MN互相平分.
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