2023-2024学年初中数学人教版八年级下册18.2.1.1 矩形的性质 课时练习 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年初中数学人教版八年级下册18.2.1.1 矩形的性质 课时练习 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-24 12:12:14 | ||
图片预览
文档简介
18.2.1.1 矩形的性质
【练基础】
必备知识1 矩形的定义
1.如图，工人师傅要做一个矩形铝合金窗框，分下面三个步骤进行，请根据步骤补全相应的依据.
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB=CD，EF=GH.
(2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是_______________
___________________________________________.
(3)将直尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是__________________
___________________________________________.
必备知识2 矩形的性质
2.下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
3.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB=40°，则∠ACD的度数为（ ）
A.50° B.55° C.65° D.70°
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E.若△ABE的周长为5，AB=2，则AD的长为（ ）
A.2 B.2.5 C.3 D.4
5.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE=CE，BE=2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.24 B.24 C.12 D.12
6.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N分别为AB，OA的中点.若MN=2，CD=4，则∠ACB的度数为_______.
7.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB=8，AD=4，点E在AB边上.若EO⊥BD于点O，则DE的长是_______.
8.如图，矩形ABCD的长为8，宽为4，现将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C恰好与点A重合，则AF的长为_______.
9.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF.求证：BE=DF.
必备知识3 直角三角形斜边上的中线的性质
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（ ）
A.15° B.25° C.35° D.45°
11.如图，E是△ABC内一点，∠AEB=90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，F是边BC的中点，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为_______.
【练能力】
12.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.
(1)求证：MN⊥DE.
(2)若∠A=60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由.
13.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，DF⊥AE，垂足为F，DF=AB.
(1)求证：AE=BC.
(2)若∠FDC=30°，且AB=4，连接DE，求∠DEF的大小和AD的长.
【练素养】
14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E.
(1)求证：△ADE≌△CB'E.
(2)若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥DC于点H，求PG+PH的值.
参考答案
【练基础】
1.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.C 3.D 4.C 5.C 6.30° 7.5 8.5
9.【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC.
又∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF，而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE=DF(平行四边形对边相等).
10.C 【解析】解法一 在△ABC中，∠ACB=90°.
∵D是斜边AB的中点，
∴CD=BD=AB，∴∠B=∠DCB=55°.
又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-55°=35°.
解法二 ∵∠ACB=90°，∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=35°.
∵D是斜边AB的中点，∴CD=AD=AB，
∴∠ACD=∠A=35°.
11.8
【练能力】
12.【解析】(1)证明：如图，连接DM，EM.
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M是BC的中点，
∴MD=ME=BC.
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE.
(2)△EDM是等边三角形.
理由：∵MD=ME=BM=CM，
∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB).
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，
∴∠DME=60°，∴△EDM是等边三角形.
13.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠DAE=∠AEB.
在△ABE与△DFA中，
∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AE=AD.
∵AD=BC，∴AE=BC.
(2)∵DF⊥AE，∠C=90°，∴∠DFE=∠DCE.
∵AB=DF，AB=DC，∴DF=DC.
在Rt△DEF与Rt△DEC中，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，∴∠FDE=∠CDE.
∵∠FDC=30°，∴∠FDE=∠CDE=30°÷2=15°，
∴∠DEF=180°-90°-15°=75°.
∵△ABE≌△DFA，AB=4，∴DF=4.
∵∠FDC=30°，∴∠ADF=90°-30°=60°，
∴∠DAE=180°-90°-60°=30°.
∵DF=4，∴AD=4×2=8.
因此，∠DEF=75°，AD=8.
【练素养】
14.【解析】(1)证明：∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，
∴CB'=CB，∠EB'C=∠CBA=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=B'C，∠ADE=90°.
在△ADE和△CB'E中，
∴△ADE≌△CB'E(AAS).
(2)如图，连接PE.
由(1)知△ADE≌△CB'E，
∴AE=EC.
∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，
∴CE=CD-DE=AB-DE=8-3=5=AE，
∴AD==4.
∵S△AEP+S△ECP=S△ECA，
∴AE·PG+EC·PH=EC·AD，
∴PG+PH=AD=4.
2
【练基础】
必备知识1 矩形的定义
1.如图，工人师傅要做一个矩形铝合金窗框，分下面三个步骤进行，请根据步骤补全相应的依据.
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB=CD，EF=GH.
(2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是_______________
___________________________________________.
(3)将直尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是__________________
___________________________________________.
必备知识2 矩形的性质
2.下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
3.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB=40°，则∠ACD的度数为（ ）
A.50° B.55° C.65° D.70°
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E.若△ABE的周长为5，AB=2，则AD的长为（ ）
A.2 B.2.5 C.3 D.4
5.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE=CE，BE=2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.24 B.24 C.12 D.12
6.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N分别为AB，OA的中点.若MN=2，CD=4，则∠ACB的度数为_______.
7.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB=8，AD=4，点E在AB边上.若EO⊥BD于点O，则DE的长是_______.
8.如图，矩形ABCD的长为8，宽为4，现将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C恰好与点A重合，则AF的长为_______.
9.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF.求证：BE=DF.
必备知识3 直角三角形斜边上的中线的性质
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（ ）
A.15° B.25° C.35° D.45°
11.如图，E是△ABC内一点，∠AEB=90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，F是边BC的中点，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为_______.
【练能力】
12.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点.
(1)求证：MN⊥DE.
(2)若∠A=60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由.
13.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，DF⊥AE，垂足为F，DF=AB.
(1)求证：AE=BC.
(2)若∠FDC=30°，且AB=4，连接DE，求∠DEF的大小和AD的长.
【练素养】
14.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E.
(1)求证：△ADE≌△CB'E.
(2)若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥DC于点H，求PG+PH的值.
参考答案
【练基础】
1.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.C 3.D 4.C 5.C 6.30° 7.5 8.5
9.【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC.
又∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF，而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE=DF(平行四边形对边相等).
10.C 【解析】解法一 在△ABC中，∠ACB=90°.
∵D是斜边AB的中点，
∴CD=BD=AB，∴∠B=∠DCB=55°.
又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-55°=35°.
解法二 ∵∠ACB=90°，∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=35°.
∵D是斜边AB的中点，∴CD=AD=AB，
∴∠ACD=∠A=35°.
11.8
【练能力】
12.【解析】(1)证明：如图，连接DM，EM.
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M是BC的中点，
∴MD=ME=BC.
∵N是DE的中点，
∴MN⊥DE.
(2)△EDM是等边三角形.
理由：∵MD=ME=BM=CM，
∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB).
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，
∴∠DME=60°，∴△EDM是等边三角形.
13.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠B=∠ADC，
∴∠DAE=∠AEB.
在△ABE与△DFA中，
∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AE=AD.
∵AD=BC，∴AE=BC.
(2)∵DF⊥AE，∠C=90°，∴∠DFE=∠DCE.
∵AB=DF，AB=DC，∴DF=DC.
在Rt△DEF与Rt△DEC中，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，∴∠FDE=∠CDE.
∵∠FDC=30°，∴∠FDE=∠CDE=30°÷2=15°，
∴∠DEF=180°-90°-15°=75°.
∵△ABE≌△DFA，AB=4，∴DF=4.
∵∠FDC=30°，∴∠ADF=90°-30°=60°，
∴∠DAE=180°-90°-60°=30°.
∵DF=4，∴AD=4×2=8.
因此，∠DEF=75°，AD=8.
【练素养】
14.【解析】(1)证明：∵将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，
∴CB'=CB，∠EB'C=∠CBA=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=B'C，∠ADE=90°.
在△ADE和△CB'E中，
∴△ADE≌△CB'E(AAS).
(2)如图，连接PE.
由(1)知△ADE≌△CB'E，
∴AE=EC.
∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，
∴CE=CD-DE=AB-DE=8-3=5=AE，
∴AD==4.
∵S△AEP+S△ECP=S△ECA，
∴AE·PG+EC·PH=EC·AD，
∴PG+PH=AD=4.
2