2023-2024学年初中数学人教版八年级下册18.2.1.2 矩形的判定 课时练习（含解析）

18.2.1.2 矩形的判定
【练基础】
必备知识1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.∠ABC=90° B.AC=BD C.AD=AB D.∠BAD=∠ADC
2.如图，在 ABCD中，点E，F在AD边上，且BF=CE，AE=DF.
(1)求证：△ABF≌△DCE.
(2)求证：四边形ABCD是矩形.
必备知识2 对角线相等的平行四边形是矩形
3.【邯郸期末】四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A.AC=BD B.∠ABD=∠CBD C.AB=BD D.AB=CD
4.如图，在 ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC，DF.
(1)求证：AD=CF.
(2)嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观点 如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由.
必备知识3 有三个角是直角的四边形是矩形
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BC于点E，AD平分∠FAC，CD⊥AD于点D.求证：四边形AECD是矩形.
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线.
(1)求∠CFD的度数.
(2)求证：四边形FDEC是矩形.
【练能力】
7.【教材P68T9变式】如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，还要添加_______才能使四边形EFGH是矩形.(写出一个条件即可，图中不能再添加别的“点”或“线”)
8.如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
(1)求证：BE=DF.
(2)设=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形 请说明理由.
9.如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E.
(1)求证：四边形ACOB是矩形.
(2)猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论.
10.如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形.
(2)已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长.
【练素养】
11.如图，在矩形ABCD中，AB=3 cm，BC=4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤5.
(1)AE=________ cm，EF=________ cm.(用含t的式子表示)
(2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形.
(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.
参考答案
【练基础】
1.C
2.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.
∵AE=FD，∴AE+EF=FD+EF，即AF=DE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SSS).
(2)由(1)可知△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴ ABCD是矩形.
3.A
4.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE.
∵E为DC的中点，∴ED=EC，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AD=CF.
(2)同意.当DC=AF时，四边形ACFD是矩形.
证明：∵AD∥CF，AD=CF，∴四边形ACFD是平行四边形.
∵DC=AF，∴四边形ACFD是矩形.
5.【证明】∵AB=AC，AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE=∠BAC.
∵AD平分∠FAC，∴∠DAC=∠FAC，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠BAC+∠FAC=(∠BAC+∠FAC)=×180°=90°.
又∵CD⊥AD于点D，∴∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形.
6.【解析】(1)∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=CD=AD.
∵DF是∠ADC的平分线，∴DF⊥AC.
∴∠CFD=90°.
(2)证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AD=CD=BD.
∵DE是∠BDC的平分线，∴DE⊥BC，
∴∠DEC=90°.
∵∠CFD=90°，∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形.
【练能力】
7.AC⊥BD(答案不唯一)
8.【解析】(1)证明：解法一　如图，连接DE，BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=OC.
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO=OA，OF=OC，
∴EO=FO.
∵BO=OD，EO=FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF.
解法二　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，∴∠DCF=∠BAE.
∵E，F分别OA，OC的中点，
∴AE=OA，CF=OC，∴AE=CF.
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE，∴BE=DF.
(2)当k=2时，四边形DEBF是矩形.理由如下：
易知四边形DEBF是平行四边形，
当BD=EF，即OD=OE时，四边形DEBF是矩形，
此时AE=OE，∴AO=2OE，则k====2，
∴当k=2时，四边形DEBF是矩形.
9.【解析】(1)证明：∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，
∴∠AOM=2∠AOB，∠AON=2∠AOC.
∵点M，O，N在同一直线上，∴∠AOM+∠AON=180°，
∴2∠AOB+2∠AOC=180°，∴∠AOB+∠AOC=90°，即∠BOC=90°.
∵AB⊥OB，AC⊥OC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴四边形ACOB是矩形.
(2)BC∥MN.证明：由(1)可得，四边形ACOB是矩形，∴OE=CE，
∴∠AOC=∠BCO.
∵OC是∠AON的平分线，∴∠AOC=∠NOC，
∴∠BCO=∠NOC，∴BC∥MN.
10.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB.
∵CF=AE，∴DF=BE.
又∵DC∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，∴平行四边形BFDE是矩形.
(2)∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB，
∴AE=，DE==.
由(1)可得四边形DFBE是矩形，
∴BF=DE=.
∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=∠DAB=30°，且BF⊥AB，
∴AF=2BF=3，
∴AB==，∴CD=.
【练素养】
11.【解析】(1)t；(5-2t)(0≤t≤2.5)或(2t-5)(2.5提示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，
∴AC===5(cm).
由题意得AE=CF=t cm.
当0≤t≤2.5时，
EF=AC-AE-CF=(5-2t)cm；
当2.5(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GAF=∠HCE.
∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG=CH.
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.
在△AFG与△CEH中，
∴△AFG≌△CEH，∴GF=HE.
在△AGE与△CHF中，
∴△AGE≌△CHF，∴GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形.
(3)如图，连接GH.
由(2)知四边形EGFH是平行四边形.
∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，
∴GH=BC=4 cm，
∴当EF=GH=4 cm时，四边形EGFH是矩形.
分两种情况：
①当0≤t≤2.5时，EF=(5-2t)cm，即5-2t=4，解得t=0.5.
②当2.5即2t-5=4，解得t=4.5.
综上所述，当t=0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.
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