18.2.2.1 菱形的性质
【练基础】
必备知识1 菱形的定义
1.【教材P61T10变式】如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG,FH交于点O,则图中的菱形共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
必备知识2 菱形的性质
2.【2021河南中考】关于菱形的性质,以下说法不正确的是( )
A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
3.【石家庄期末】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在x轴正半轴上,边BC在y轴上,若点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(0,-5),则点D的坐标为( )
A.(10,0) B.(11,0) C.(12,0) D.(13,0)
4.【2022河南中考】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
5.如图,菱形ABCD的边长为4,∠A=45°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,直线MN交AD于点E,连接CE,则CE的长是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
6.【邯郸期末】如图,一块三角板放在一张菱形纸片上,斜边与菱形的一边平行,则∠1的度数是_______.
7.【张家口期末】如图,在周长为20的菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,AE=2,AF=3,P为对角线BD上一动点,连接PE,PF.则PE+PF的最小值为_______.
8.如图,四边形ABCD是菱形,BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F.求证:DE=DF.
必备知识3 菱形的面积
9.如图,木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成的,根据实际需要可调节A,E间的距离.已知菱形ABCD的边长为20 cm,当A,E间的距离调节到60 cm时,这个活动衣帽架所围成的面积为( )
A.600 cm2 B.600 cm2 C.450 cm2 D.900 cm2
10.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积是( )
A.18 B.18 C.36 D.36
11.【教材P61习题18.2T11变式】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH.若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为_______.
【练能力】
12.【合肥期末】数学兴趣小组受到赵爽弦图启发设计了如图所示的图形:其中四边形ABCD为菱形,△ADH,△CBF,△AEB,△CGD均为直角三角形.若AH=,DH=1,CG=2,则EF的长为_______.
13.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC至点E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为________.(结果保留根号)
14.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE≌△CDF;
(2)ME=NF.
【练素养】
15.如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积.
(2)求证:AE=EF.
参考答案
【练基础】
1.B 2.B 3.C
4.C 【解析】解法一 ∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,∴△COD为直角三角形.
∵OE=3,E为线段CD的中点,∴CD=2OE=6,
∴菱形ABCD的周长为4CD=4×6=24.
解法二 ∵四边形ABCD为菱形,∴BO=OD,AB=BC=CD=DA,又∵E是CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,∴BC=2OE=6,
∴菱形ABCD的周长为4BC=4×6=24.
5.C 6.60°
7.5 【解析】如图,∵四边形ABCD是菱形,周长为20,
∴AD=5,∠ADB=∠CDB.
在DC上取点G,使DG=2,连接EG交BD于点P,连接PF.
∵AF=3,∴DF=AD-AF=2,∴DF=DG.
在△DFP和△DGP中,
∴△DFP≌△DGP,∴FP=GP,
∴PE+PF=PE+GP=EG,此时PE+PF的值最小,最小值为EG的长.
∵AE=DG=2,AE∥DG,∴四边形AEGD是平行四边形,∴EG=AD=5,即PE+PF的最小值为5.
8.【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=BC=AD=DC,∠A=∠C.
∵BE⊥AD,BF⊥CD,
∴∠BEA=∠BFC=90°.
在△ABE与△CBF中,
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
∴AD-AE=DC-CF,即DE=DF.
9.B 10.B 11.48
【练能力】
12.1 【解析】由△ADH,△CBF,△AEB,△CGD均为直角三角形,易得四边形EFGH是矩形,∴HG=EF.
∵AH=,DH=1,∴AD==2.
∵四边形ABCD是菱形,∴CD=AD=2,
∴DG==2,∴EF=HG=DG-DH=1.
13.2 【解析】如图,连接AC,交BD于点H,由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°,AB∥CD,AC⊥BD,∴∠DCE=∠ABC=80°,
∠DHC=90°.
又∵∠ECM=30°,
∴∠DCF=50°.
∵DF⊥CM,所以∠CFD=90°,∴∠CDF=40°.
又∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ADC,
∴∠HDC=∠ADC=40°,∴∠HDC=∠FDC.
在△CDH和△CDF中,
∴△CDH≌△CDF,∴DH=DF=,
∴DB=2DH=2.
14.【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB.
∵BE=BF,∴AE=CF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF.
(2)由(1)知△ADE≌△CDF,
∴∠ADM=∠CDN,DE=DF.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠DAM=∠DCN.
∵∠ADM=∠CDN,∴∠DMA=∠DNC,
∴∠DMN=∠DNM,∴DM=DN,
∴DE-DM=DF-DN,∴ME=NF.
【练素养】
15.【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,且AO=CO,BO=DO.
∵∠ABC=60°,
∴∠ABO=30°.
又∵AB=10,∠AOB=90°,
∴CO=AO=AB=5,OD=OB==5,
∴AC=2AO=10,BD=2BO=10,
∴S菱形ABCD=AC·BD=×10×10=50.
(2)证明:如图,连接EC,易知AE=CE.
设∠AEO=α,易知∠CEO=α,∴∠CEF=120°-2α,∠ECF=∠DEC+∠EDC=α+30°,
∴∠F=180°-∠ECF-∠CEF=30°+α,
∴∠F=∠ECF,∴CE=EF,
∴AE=EF.
2