2023-2024学年初中数学人教版八年级下册18.2.2.2 菱形的判定 课时练习（含解析）

18.2.2.2 菱形的判定
【练基础】
必备知识1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（ ）
A.∠BAC=∠DCA B.∠BAC=∠DAC C.∠BAC=∠ABD D.∠BAC=∠ADB
2.如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，BE∥CD，CE∥AB.求证：四边形CEBD是菱形.
必备知识2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD C.AC=BD D.AB∥CD，AD=BC
4.如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD边上的点，且∠ADE=∠CBF，连接BD，EF.补充一个条件，可使四边形EBFD是菱形，这个条件是_______.
5.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形.
(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.
必备知识3 四条边都相等的四边形是菱形
6.根据以下尺规作图痕迹，在一个平行四边形内作出的四边形ABCD中，无法确定是菱形的是（ ）
A B C D
7.如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时.求证：四边形ABMD是菱形.
【练能力】
8.如图，A(0，4)，B(8，0)，C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_______.
9.如图，在△ABC中，AD是BC的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC相交于点O，连接CE.
(1)求证：AD=CE.
(2)若∠BAC=90°，求证：四边形ADCE是菱形.
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.
(1)求证：四边形ADCE是菱形.
(2)若AB=AO，OD=1，求菱形ADCE的周长.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.
(1)若∠B=30°，CD=3，求CE的长.
(2)过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由.
【练素养】
12.（核心素养·运算能力）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40 cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是a(0(1)四边形AEFD能够成为菱形吗 如果能，求出相应的a值；如果不能，请说明理由.
(2)当a为何值时，△DEF为直角三角形 请说明理由.
参考答案
【练基础】
1.B
2.【证明】∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形.
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=BD，
∴平行四边形CEBD是菱形.
3.B　4.BD⊥EF
5.【证明】(1)在 ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA.
解法一　∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC.
∵OA=OC，∴DB⊥EF，
∴平行四边形EBFD是菱形.
解法二　∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∴ ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形.
6.C
7.【证明】∵DM∥AB，∴∠BAM=∠AMD.
∵△ADC是由△ABC沿AC翻折得到的，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，∴AD=DM，
∴AD=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形.
【练能力】
8.(5，4)或(4，4)　【解析】①当AB为菱形的对角线时，
如图1，设菱形的边长为m，
∵A(0，4)，B(8，0)，∴OA=4，OB=8.
∵四边形ACBD为菱形，∴CA=AD=BC=m，AD∥BC.
在Rt△AOC中，由勾股定理，得42+(8-m)2=m2，解得m=5，∴D(5，4).
②当AB为菱形的边时，如图2，AB==4.
∵四边形ABCD为菱形，∴BC=AB=AD=4.
∵AD∥BC，
∴D(4，4).
综上所述，点D的坐标为(5，4)或(4，4).
9.【证明】(1)∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD.
∵AD是BC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD.
∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD=CE.
(2)∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD.
由(1)得四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是菱形.
10.【解析】(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD.
∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD，∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，
∴AD=BC=CD，
∴平行四边形ADCE是菱形.
(2)∵四边形ADCE是菱形，
∴AD=AE=CE=CD，AC⊥DE，OA=OC.
∵BD=CD，∴OD是△ABC的中位线，
∴AB=2OD=2，∴AO=AB=2.
∴AD===，
∴菱形ADCE的周长=4AD=4.
11.【解析】(1)∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°.
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF=30°，
∴CE=AE.
∵DE=AE，∴DE=CE，
∴CD=CE+DE=CE+CE，
∴CE=3，∴CE=2.
(2)四边形CEGF是菱形.
理由：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF=∠AGF=90°，CF=GF.
在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF=AF，CF=GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL)，
∴∠AFC=∠AFG.
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，∴∠CEF=∠EFG，
∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，∴CE=FG.
又∵CE∥FG，
∴四边形CEGF是平行四边形.
∵CE=CF，
∴平行四边形CEGF是菱形.
【练素养】
12.【解析】(1)能.
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2a，
∴DF=a.
∵AE=a，∴AE=DF.
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，
即40-2a=a，解得a=，∴当a=时，四边形AEFD为菱形.
(2)当a=16或10时，△DEF为直角三角形.
理由：①当∠DEF=90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=AE=a.
又∵AD=40-2a，∴40-2a=a，解得a=16；
②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中，∠A=60°，则∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即40-2a=2a，解得a=10；
③若∠EFD=90°，则点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在.
综上所述，当a=16或10时，△DEF为直角三角形.
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