2023-2024学年初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形 课时练习（含解析）

18.2.3 正方形
【练基础】
必备知识1 正方形的定义
1.如图，在 ABCD中，AB=AD，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是______________.
必备知识2 正方形的性质
2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为边BC上一点，且BP=OB，则∠COP的度数为（ ）
A.15° B.22.5° C.25° D.17.5°
3.如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
4.沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形(如图所示)，则矩形的对角线长为________.
5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OCF=∠OBE.求证：∠AEB=∠BFC.
必备知识3 正方形的判定
6.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等
b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等
d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c.则正确的是（ ）
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
7.在菱形ABCD中，若添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是（ ）
A.AB=AD B.AB⊥BC C.AC⊥BD D.AC平分∠BAD
8.【唐山月考】将图1中两个直角三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论.
甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形.
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形.
下列判断正确的是（ ）
A.甲正确，乙不正确 B.甲不正确，乙正确 C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确
9.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E=90°，ED=EC.求证：四边形DFCE是正方形.
10.如图，在正方形ABCD中，M是对角线AC上的一点，过点M作ME∥CD交AD于点E，作MF∥AD交CD于点F.
(1)判断四边形EMFD的形状，并说明理由.
(2)求证：BM=EF.
【练能力】
11.【教材P62T13变式】如图1，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2.
(1)当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形.
(2)如图2，当点F在正方形ABCD外部时，连接CF，若△FCG的面积等于1，求线段DG的长度.
12.如图，在正方形ABCD中，E为线段BC上一动点(点E不与点B、C重合)，点B关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于点H，连接AF.
(1)求证：AF⊥EH.
(2)连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变.请帮助小王求出∠EAH的度数.
【练素养】
13.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形.
(2)探究：CE+CG的值是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
【练基础】
1.∠ABC=90°(答案不唯一)
2.B　3.C　4.
5.【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即∠AOB=∠BOC=90°，
∴OB=OC.
在△OCF和△OBE中，
∴△OCF≌△OBE(ASA)，∴∠OFC=∠OEB，
∴∠AEB=∠BFC.
6.C　7.B
8.D　【解析】对于甲，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1，∠BAD=90°，
∴AQ=4-1=3，AP=3+1=4，∠PAQ=90°，
∴PQ2=AQ2+AP2=25，∴PQ=5，同理，得MN=5，∴PQ=QM=MN=PN，
∴四边形PQMN是菱形.
在△QMD和△PQA中，
∴△QMD≌△PQA(SSS)，∴∠MQD=∠QPA.
∵∠AQP+∠QPA=90°，∴∠AQP+∠MQD=90°，
∴∠MQP=90°，∴四边形PQMN必是正方形，∴甲正确.
对于乙，若四边形PQMN为正方形，则PQ=PN=MN=MQ=5，∠MQP=∠MNP=90°.
易知∠MQP=∠MQD+∠AQP=90°，∠MQD+∠QMD=90°，∴∠QMD=∠PQA.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠QAP=∠MCN=90°，∴∠PQA+∠QPA=90°，
∴∠MQD=∠QPA.
在△QMD和△PQA中，
∴△QMD≌△PQA(ASA)，∴QD=AP=4，QA=MD=3，
∴AD=QD-QA=1，AB=AP-BP=1，∴AB=AD=1，
∴矩形ABCD必是边长为1的正方形，∴乙正确.
9.【证明】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC=∠DCF=45°.
∵∠E=90°，ED=EC，∴∠EDC=∠ECD=45°，
∴∠FCE=∠FDE=∠E=90°，
∴四边形DFCE是矩形.
∵DE=CE，∴四边形DFCE是正方形.
10.【解析】(1)四边形EMFD是矩形.
理由：∵ME∥CD，MF∥AD，∴四边形EMFD为平行四边形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EMFD为矩形.
(2)证明：如图，连接MD.
∵四边形EMFD为矩形，
∴EF=MD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAM=∠DAM.
∵AM=AM，△BAM≌△DAM(SAS)，
∴BM=DM，∴BM=EF.
【练能力】
11.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.
在Rt△HDG和Rt△EAH中，
∴Rt△HDG≌Rt△EAH(HL)，∴∠DHG=∠AEH.
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH是正方形.
(2)如图，过点F作FM⊥CD，交DC的延长线于点M，连接GE，
易知CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE.
易知GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE.
∴∠AEH=∠FGM.
在△EHA和△GFM中，
∴△EHA≌△GFM，∴MF=AH=2，
设DG=x，则CG=6-x，∴S△FCG=CG·MF=6-x=1，解得x=5，即DG=5.
12.【解析】(1)证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AB=AF，BE=EF.∵AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(SSS)，
∴∠AFE=∠B=90°，
∴AF⊥EH.
(2)如图，连接AH.
由(1)得AB=AF，AF⊥EH，∴AF=AD，∠D=∠AFH=90°，AH=AH，
∴△AFH≌△ADH(HL)，
∴∠FAH=∠DAH.
又∵∠BAE=∠FAE，在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠EAH=45°.
【练素养】
13.【解析】(1)
证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，∴∠MEN=90°.
又∵E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN.
∵四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=90°，
∴∠DEN=∠FEM.
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM，∴FE=DE，
∴矩形DEFG是正方形.
(2)CE+CG的值是定值4.
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴AD=DC，DE=DG.
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDG=∠ADE.在△ADE和△CDG中，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG.
∴CE+CG=CE+AE=AC==4.
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