衢州市2024年1月高一年级教学质量检测试卷
数学
考生须知：
1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.
2.试卷共4页，有4大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.
3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.
选择题部分（共60分）
一 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
4. （ ）
A. B. C. 2 D. 4
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（ ）
A. B.
C. D.
7. 根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（ ）
A. B. C. D.
8 已知实数满足，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
二 多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 的值域为 D. 在上单调递增
12. 已知函数，则（ ）
A 若函数有3个零点，则
B 函数有3个零点
C. ，使得函数有6个零点
D. ，函数的零点个数都不为4
非选择题部分（共90分）
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. __________0（填“>”或“<”）.
14. __________.
15. 已知函数的最大值为，最小值为，则__________.
16. 已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，终边上有两点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19. 某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车万台并全部销售完，每万台的销售额为亿元，且
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
20. 函数部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
21 已知函数
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若，关于的方程有四个不同的实数根，满足，求的最小值.衢州市2024年1月高一年级教学质量检测试卷
数学
考生须知：
1.全卷分试卷和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.
2.试卷共4页，有4大题，22小题.满分150分，考试时间120分钟.
3.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.
选择题部分（共60分）
一 选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合并集的概念运算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】，即可判断出结论.
【详解】因为，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数定义求解.
【详解】因为为偶函数，所以.
所以，所以
所以，因为不恒为，
所以，所以.
故选：C
4. （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】运用辅助角公式、二倍角正弦公式进行求解即可.
【详解】.
故选：D
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
因此，
于是有
，
故选：C
6. 函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用特例法进行判断即可.
【详解】，
因，
所以曲线对应的函数分别为，
故选：B
7. 根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立合适的平面直角坐标系，解三角形即可.
【详解】
如图所示建立平面直角坐标系，假设，，
由题意易知，则,
所以该基地受热带风暴中心影响的时长.
故选：B
8. 已知实数满足，则（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解.
【详解】由，可得，则，可得，
因为函数在定义域上为单调递增函数，
又由，所以 ，可得，即
所以.
故选：C.
二 多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】
【分析】通过最小正周期公式判断A，通过求出所有对称轴判断B，通过求出所有单调区间判断C，根据三角函数图像平移公式判断D.
【详解】的最小正周期为，故A正确;
由得的所有对称轴为,
其中不包含直线，故B不正确.
由得的所有单调递减区间为
,当时，，故C正确.
的图象可由的图象向左平移个单位长度得到,故D不正确.
故选：AC
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为，
所以由，
当且仅当取等号，因此本选项正确；
B：当时，
显然成立，但是不成立，因此本选项不正确；
C：因为，
所以由，
当且仅当取等号，因此本选项正确；
D：因为，
所以由，
因此有，
当且仅当时取等号，即，因此本选项正确，
故选：ACD
11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 的值域为 D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用代入法，结合奇函数、单调性的定义逐一判断即可.
【详解】在中，
令，得，或，
在中，令，得，
因为时，，所以，
显然由，因此，因此选项A正确；
因为，所以函数不可能为奇函数，因此选项B不正确；
在中，令，
所以有，
当时，所以时，因此由，
而，所以的值域为，因此选项C正确；
设，显然，即有成立，
因为，
所以由，而，
所以由，
因为的值域为，所以，
因此由，
即在上单调递增，所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用代入法根据函数单调性的定义进行判断函数的单调性.
12. 已知函数，则（ ）
A. 若函数有3个零点，则
B. 函数有3个零点
C. ，使得函数有6个零点
D. ，函数的零点个数都不为4
【答案】BD
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的图象性质，结合函数零点的定义逐一判断即可.
【详解】函数的图象如下图所示：
A：令，
当函数有3个零点时，函数与直线有三个不同的交点，
由图象可知，，因此本选项不正确；
B：由函数的图象可知：，
令，可解，舍去，
当时，由图象可知有三个实数解，因此本选项正确；
C：当函数有6个零点时，此时有，
当时，即，
当时，，
由图象可知，函数与直线最多有三个不同的交点，
因此要想有函数有6个零点，必有，
因此本选项不正确；
D：由，
令，则，
当时，即或，
当时，有两个不同的实根，
当时，有三个不同的实根
所以此时函数有五个零点，
当时，，或，或，
由图象可知此时时函数一共有七个零点，
当时，，或，或，
由图象可知函数此时一共有6个零点，
当时，，或，
由图象可知函数此时一共有3个零点，
当时，，即，此时不等式的解集为空集，
综上所述：，函数的零点个数都不为4，
故选：BD
【点睛】方法点睛：函数零点问题一般都转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合思想进行判断求解.
非选择题部分（共90分）
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. __________0（填“>”或“<”）.
【答案】
【解析】
【分析】根据各象限三角函数的符号确定.
【详解】因为是第二象限角，所以；为第三象限角，所以，
所以
故答案为：
14. __________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指数、对数的运算法则计算即可.
【详解】易知.
故答案为：
15. 已知函数的最大值为，最小值为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】构造函数利用其奇偶性计算即可.
【详解】易知，
令，
易知定义域为R，且，
即是奇函数，
显然，，
由奇函数的对称性质易知.
故答案为：
16. 已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系及已知可求得，由,化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.
【详解】因为为方程的两个实数根，，
所以，解得，或，
若，则即，
因为，故，
若，则，不成立，
若，则，故，
故也不成立，故，
所以，则，
则，
化简可得
，由方程有解，可知：
，即.
解得：，
则的最大值为.
故答案为：.
四 解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】17.
18. .
【解析】
【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合结合集合补集和交集的定义进行求解即可；
（2）根据集合并集的运算性质，结合子集的定义进行求解即可.
【小问1详解】
，
若，则，
所以；
【小问2详解】
由知，
所以，得.
18. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，终边上有两点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：根据正切函数计算公式求解；法二：利用三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式、同角三角函数的平方关系及二倍角公式计算即可.
【小问1详解】
法一：因为，所以，
所以
所以；
法二：由三角函数的定义可知：，
所以，
易知同号，则或，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
所以
.
19. 某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车万台并全部销售完，每万台的销售额为亿元，且
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元.
【解析】
【分析】（1）根据产量不同取值分类讨论进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质和基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
当，
当，
所以
【小问2详解】
当，对称轴为，且开口向下，
当时，最大，最大利润为；
当，
当时，即时， 此时最大为106，
因为，所以当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元.
20. 函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据余弦型函数的图象，结合代入法，余弦型函数的周期公式进行求解即可；
（2）根据正弦二倍角公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【小问1详解】
由，，则，
由，得，
设的周期为，则有，
所以令，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
则，故的值域为.
21. 已知函数
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质与函数值域的定义计算即可；
（2）先利用函数的性质及基本不等式分类讨论时满足的的取值范围，再结合二次函数的性质适当放缩证明在此条件下对恒成立即可.
【小问1详解】
当时，，
若，则，显然不符合题意，
若，则单调递增，
且时，，符合题意，故.
【小问2详解】
先考虑对恒成立.
①若，则当时，，不满足题意；
②若对恒成立，满足题意；
③若对恒成立，
令，则只需，
由于，
所以，解得，
综上得：.
再证当时对恒成立，
由于，故当时，
有，
又由得，
所以.
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数解析式是分段形式，先分段讨论对恒成立，分为三种情况，，结合函数的性质依次讨论得出满足条件的；后检验在时，对恒成立，
根据及与适当放缩得出与即可.
22 已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）若，关于的方程有四个不同的实数根，满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）11
【解析】
【分析】（1）根据复合函数单调性可知需区间上单调递减，然后根据对称轴列不等式求解即可；
（2）设的两根分别为，则为的两个根，为的两个根，结合韦达定理得，再结合韦达定理得，然后利用基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
由复合函数单调性及函数为单调递减函数可知，
要使在区间上单调递增，则需在区间上单调递减，
所以，则.
【小问2详解】
设的两根分别为，不妨设，
则，
所以为的两个根，为的两个根，
由韦达定理得，
所以，
所以，再由韦达定理得，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号.
又因为此时在有两个不同的根，所以符合题意，
因此的最小值为11.
