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福建省2024年中考数学复习模拟练习卷（解析版）
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数．
故选：A．
2. ．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从上面看到的图形即可得到答案．
【详解】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，
故选：A．
3. 2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人．
将数据50100用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，确定的值，是解题的关键．
【详解】解：；
故选A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
5 .如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，
若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故选：C
6. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
中位数为，众数为6；
故选B．
7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．63° B．126° C．116° D．117°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=63°，
∴∠A=∠DCE=63°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=126°，
故选：B．
8 .在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，
则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：，，
∴，即：，
∴的值可以为；
故选C．
9. 如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，
点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，AD＝8
∴，，
∵将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处
∴，
在中，
∴
设
∴
在中，
∴，解得
∴，
故选：D．
10. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式：n2﹣100 = ．
【答案】（n-10）（n+10）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）．
故答案为：（n-10）（n+10）．
某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，
画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 ．
【答案】
【分析】利用样本中的优秀率来估计整体中的优秀率，从而得出总体中的中长跑成绩优秀的学生人数．
【详解】解：由图知：样本中优秀学生的比例为：，
该校中长跑成绩优秀的学生人数是：（人）
故答案是：．
13 .如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，
且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留）
【答案】
【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，重物的高度为
（cm）．
故答案为：．
14 . 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，
将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】由正方形，可得，，，
证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
由旋转可得：，，
∴；
故答案为：．
15. 已知，则的值是 _______
【答案】
【分析】根据分式的加减得出，进而即可求解．
【详解】解：∵
即
∴，
故答案为：．
16. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，按照计算顺序计算即可解答．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可．
【详解】
解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集在数轴上表示如图：
所以，不等式组的解集是
19. 如图，已知，，、是上的两点，且．试证明：．
【答案】见解析
【分析】根据题意证明，得出，进而证明，根据全等三角形的性质得出．
【详解】证明：在与中，
，
∴，
∴，即，
在与中，
∴，
∴．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则和混合运算顺序进行化简，再把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
当时，．
为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．
现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，
根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；
（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人），
投中2次的人数为：（人），
扇形统计图中，
故答案为：40，55；
（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，
，
即恰好抽到一男一女的概率是．
如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点E，
过点E作，垂足为点F．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)为的切线，理由见解析．
(2)
【分析】（1）连接，所以，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，所以可以证得，，，即可得到为的切线；
（2）连接，所以，因为，所以可以求得的长度，进而求得，的长度，再利用即可求得的长度．
【详解】（1）证明：连接．
，
，
，为斜边中线，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：连接，
，
，
，
，
∵，
∴
∴，
,
,
,
∵，
∴
∴,
．
23. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，
某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，
沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，
已知山坡的坡度，米，米．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
【答案】(1)点B距水平地面的高度为5米
(2)该公司的广告牌不符合要求，理由见解析
【分析】（1）过点B作于点M，根据坡度得到，设米，米，利用勾股定理求得米，进而解方程即可；
（2）作于点N，则四边形是矩形．分别在和中解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：过点B作于点M，
由题意可知，，
设米，米，
则米
∴，解得，
∴米，米，
即点B距水平地面的高度为5米．
（2）解：作于点N，
∵，，
∴四边形是矩形．
∴米，米．
在中，，
∴米，米，
在中，，米，
∴米
∴米
∵，
∴该公司的广告牌不符合要求．
24 .如图①，抛物线经过点，点和点，
它的对称轴为直线，顶点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图②，点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接、、，
当的面积取得最大值时，求点的坐标；
如图③，点是直线下方该抛物线上的一个动点，过点作直线于，
连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）、、为顶点的三角形与相似时，点坐标
【分析】（1）将点，点，点代入，即可求解；
（2）过点作轴垂线交于点，直线的解析式为，设，则，，当时，有最大值，即可求点坐标；
（3）抛物线的对称轴为，顶点，设，则，求出，，在中求得，当时，，则有，此时不存在；当时，，则有，即可求．
【详解】（1）将点，点，点代入，
得，
∴，
∴；
（2）
如图，过点作轴垂线交于点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
∴；
（3）抛物线的对称轴为，顶点，
设，则，
∴，，
∵点是直线下方该抛物线上的一个动点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得（舍）或（舍）；
当时，，
∴，
∴，
解得（舍）或，
∴；
综上所述：当以、、为顶点的三角形与相似时，点坐标．
如图（1），点为正方形内一动点，连接，，且，
以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，．
(1)求的度数；
(2)如图（2），连接，若．
①求证：=；
②求的值．
【答案】(1)
(2)①见解析，②
【分析】（1）首先根据得到，然后证明，根据全等三角形对应角相等得到，即可求出的度数；
（2）①证法一：如图2中，将边沿着点顺时针旋转得到边，连接，，则，由等腰直角三角形和旋转的性质证得，根据全等的性质得，可得结论；
证法二：如图3中，连接，利用相似三角形的性质证明即可；
②法一：利用①中，证法一的结论解决问题即可；
法二：利用①中，证法二的结论解决问题即可．
【详解】（1）解：在正方形中，，，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
；
（2）①证法1：如图2中，将边沿着点顺时针旋转得到边，连接，，则．
，，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
即，
，，
；
证法2：如图3中，连接．
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
；
②解法1：如图2中，，
，即，
，
，
即；
解法2：如图3中，
，
，
又，
．
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选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2. ．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3. 2023福州马拉松于12月17日上午7：30鸣枪开跑，本次参赛总报名人数为50100人．
将数据50100用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5 . 如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，
若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6. 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
7. 如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．63° B．126° C．116° D．117°
8 . 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，
则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，
点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，
与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 分解因式：n2﹣100 = ．
某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，
画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是 ．
13 .如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，
且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留）
14 . 如图，在正方形中，，E为的中点，连接，
将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
15. 已知，则的值是 _______
16. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19. 如图，已知，，、是上的两点，且．试证明：．
20. 先化简，再求值：，其中．
为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．
现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，
根据图中提供的信息，回答下列问题．
九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2) 扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3) 在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，
请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
如图，中，，为斜边中线，以为直径作交于点E，
过点E作，垂足为点F．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的长．
23. 教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，
某学校组织了一次测量探究活动．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，
沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，
已知山坡的坡度，米，米．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，）
(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
24 .如图①，抛物线经过点，点和点，
它的对称轴为直线，顶点为．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图②，点是直线下方该抛物线上的一个动点，连接、、，
当的面积取得最大值时，求点的坐标；
如图③，点是直线下方该抛物线上的一个动点，过点作直线于，
连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．
如图（1），点为正方形内一动点，连接，，且，
以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，．
求的度数；
如图（2），连接，若．
① 求证：=；
② 求的值．
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