第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
[学习目标]
1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。
2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。
3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。
一、平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝②
联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。
2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝①
位移偏向角的正切值
tan α＝＝＝②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
例1 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
答案 C
解析 根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β，
由上述关系式结合题图中的几何关系可得
tan(φ＋θ)＝2tan θ，
此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故选C。
例2 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A.d B．2d C.d D.d
答案 C
解析 把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，
－＝d，
解得x＝d，故选C。
二、一般的抛体运动
如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。
1．斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？
答案 采用“化曲为直”的思路，利用运动的分解，用两个直线运动进行等效替代。
2．试根据所学知识分析斜上抛运动的特点。
初速度 受力情况 加速度 运动情况
水平 方向 v0x＝v0cos θ 不受力 ax＝0 匀速直 线运动
竖直 方向 v0y＝v0sin θ 重力 ay＝g 竖直上 抛运动
1．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
2．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移
水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
3．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点
(1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。
(2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
4．由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
1．做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？
答案 做斜上抛运动的物体达到最高点的时间：t＝，所以物体落回同一水平面的时间为T＝，则可知T与竖直分速度有关。
2．做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？
答案 物体达到最大高度时，它的竖直分速度为零(vy＝0)，可得：hm＝，则上升的最大高度与竖直分速度有关。
3．做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？
答案 由x＝v0xT得，做斜上抛运动的物体水平射程为：x＝，可看出物体水平射程由抛射角θ和初速度v0共同决定。在初速度v0大小不变的情况下，随抛射角θ的增大，sin 2θ增大，射程也增大。当θ＝45°时，sin 2θ＝1，射程达到最大值，以后抛射角再增大时，sin 2θ减小，射程也减小。
例3 如图所示，一位初中生将一个质量为m＝2 kg的实心球斜向上抛出，球离手时距地面高度约为h＝1.8 m，离手瞬间初速度约为v0＝8 m/s，球到达最高点O时的速度约为v＝6 m/s，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)O点离地面的高度H；
(2)球落地点与O点的水平距离s。
答案 (1)3.2 m (2)4.8 m
解析 (1)球水平方向做匀速直线运动，当球到达最高点时，其竖直方向的速度为零，此时球的水平速度为v＝6 m/s，
则竖直初速度为vy＝＝2 m/s
球竖直上升的高度为Δh＝＝1.4 m
O点离地面的高度H＝h＋Δh＝3.2 m。
(2)球到达O点后做平抛运动，则由H＝gt2
可知t＝＝0.8 s
则水平距离s＝vt＝4.8 m。
例4 如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的加速度大
B．B的飞行时间比A的飞行时间长
C．B落地时的速度比A落地时的速度大
D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等
答案 C
解析 A和B的加速度均等于重力加速度，即B的加速度等于A的加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，上升和下落的时间相等，而下落过程，根据t＝，知两球下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平分速度小，最高点只有水平分速度，故最高点A的速度比B的速度小，故D错误；落地时根据vy＝，知A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v＝可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确。第2课时 平抛运动的两个重要推论 一般的抛体运动
[学习目标]
1.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题(重点)。
2.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法(重点)。
3.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题(重难点)。
一、平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝＝________①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝____________＝____________②
联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。
2．推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝________①
位移偏向角的正切值
tan α＝＝＝________②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
例1 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
例2 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A.d B．2d
C.d D.d
二、一般的抛体运动
如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。
1．斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？
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2．试根据所学知识分析斜上抛运动的特点。
初速度 受力情况 加速度 运动情况
水平 方向 v0x＝______ ax＝____ ______运动
竖直 方向 v0y＝______ ay＝____ ______运动
1．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的速度
水平速度：vx＝v0x＝________。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝____________。
2．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的位移
水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。
竖直位移：y＝____________。
3．斜抛运动(以斜上抛运动为例)的对称性特点
(1)速度对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小________，水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向。如图所示。
(2)时间对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的曲线上升时间________下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
4．由抛出点到最高点的过程可逆向看作________运动来分析。
1．做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？
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2．做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？
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3．做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？
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例3 如图所示，一位初中生将一个质量为m＝2 kg的实心球斜向上抛出，球离手时距地面高度约为h＝1.8 m，离手瞬间初速度约为v0＝8 m/s，球到达最高点O时的速度约为v＝6 m/s，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)O点离地面的高度H；
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(2)球落地点与O点的水平距离s。
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例4 如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的加速度大
B．B的飞行时间比A的飞行时间长
C．B落地时的速度比A落地时的速度大
D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等
