2023-2024 学年度第二学期高二年级开学考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设全集U 2, 1,0,1,2 ,A 2, 1,0 ,B 0,1,2 则(CuA)∩B= ( )
A. 0 B. 2, 1 C. 1,2 D. 0,1,2
2．设复数 z1 3 4i, z2 t i 且 z1 z2 R,则实数 t等于 （ ）
4 3 4 3
A. B. C. － D. －
3 4 3 4
3．在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 B1C1与平面 AB1D1所成角的正弦值为 ( )
1 2 2 3 6
A.3 B. 3 C. 3 D. 3
4．已知直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若 l1∥l2,则实数 a= ( )
A.-1 或 1 B.0 或 1 C.1 D.-1
2 2
5．直线 3x+y-b=0 与圆(x-2) +(y+4) =10 相切,则实数 b 的值是 ( )
A.-8 或 12 B.8 或-12 C.-8 或-12 D.8 或 12
2
6．已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点,该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 4,
则点 A 的坐标为 ( )
A.(3,2 3) B.(3, 3) C.(1,2) D.(2,2 2)
7．在等比数列{an}中,a4=2,a7=5,则数列{lgan}的前 10 项和等于 ( )
A.2 B.lg 50 C.10 D.5
2 2
8．已知椭圆 2+ 2=1 的左焦点为 F1,右顶点为 A,上顶点为 B.若∠F1BA=90°,则椭圆的离心
率是 ( )
3-1 5-1 3 1
A. 2 B. 2 C. 2 D.2
试卷第 1页，共 4页
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二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
2 2
9．椭圆 + 9 =1 的焦距是 4,则实数 m 的值可能为 ( )
A.5 B.13 C.8 D.21
1
10．已知{an}是首项为3,公比为 q 的等比数列,Sn是其前 n 项和,且 9S3=S6,则 ( )
4
A.q=2 B.q=1 或 2 C.a3=3 D.a2+a3=2
11．已知函数 f(x)=a|x-1|的图象与直线 y=2x+a有两个不同交点,则正实数 a 的取值
可以是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12．已知双曲线 2 - 4 =1(a>0)的离心率为 3,则 a= .
2 2
13．若圆 x +y = 24 与圆 x +y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a= .
14．将石子摆成如图的梯形形状,各梯形里石子的个数为 5,9,14,20,…,即构成一个数列,根
据图形的构成,此数列的第 n项即 an= .
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
已知空间向量 a =(1,2,-1), b =(-2,1,1).
(1)计算 3 a +2 b和 5 a - 3 b ;
(2)求 a与 b夹角 的余弦值.
16．（本小题满分 15 分）
已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn的最大值.
17．（本小题满分 15 分）
2
10.已知抛物线 C:y =2px(p>0)与直线 4x-4y+1=0 相切.
(1)求抛物线 C的方程;
1
(2)已知过点(4,0)且不与 x轴垂直的直线 l 与抛物线 C交于 A,B 两点.若|AB|=4,
求弦 AB 的中点到直线 x+2=0 的距离.
试卷第 3页，共 4页
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18．（本小题满分 17 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,∠ACB=90°.
(1)求证:BC⊥平面 PAC.
5
(2)若平面 DPC 与平面 PCA 的夹角的余弦值为 5 ,求点 A到平面 PBC 的距离.
19．（本小题满分 17 分）
*
对于无穷数列{an}，“若存在 am ak t m,k N ,m k ，必有 am 1 ak 1 t ”，则称数列{an}
具有 P(t)性质.
2n (n 1,2)
（1）若数列{an}满足 an * ，判断数列{an}是否具有 P(1)性质？是否
2n 5 n 3,n N
具有 P(4)性质？
（2）对于无穷数列{an}，设T {x | x a j ai , i j}，求证：若数列{an}具有 P(0)性质，则T
必为有限集；
（3）已知{an}是各项均为正整数的数列，且{an}既具有 P(2)性质，又具有 P(3)性质，是否
存在正整数N，k，使得 aN ，aN 1，aN 2 ，…，aN k ，…成等差数列.若存在，请加以证明；
若不存在，说明理由.
试卷第 4页，共 4页
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数学试卷答案
一、单项选择题： 1.C. 2．D 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B
二、多项选择题： 9.AB 10．ACD 11．BC
三、填空题： 12． 2 13．1 14． (n 1)(n 4) n 2 5n 4
或
2 2
四、解答题：
15.(1)3a+2b=3(1,2,-1)+2(-2,1,1)=(-1,8,-1),5a-3b=5(1,2,-1)-3(-2,1,1)
=(11,7,-8).
(2)|a|= 12 + 22 + ( 1)2= 6,|b|= (-2)2 + 12 + 12= 6,
a·b=(1,2,-1)·(-2,1,1)=-2+2-1=-1,
· -1 1 1
∴cos θ=| || |= =-6,∴a 与 b 夹角θ的余弦值为-6.6× 6
16. = + d = 1(1)设数列{a }的公差为 d,由已知条件知 2 1n = + 4d = 5,解得5 1
a1=3,d=-2,所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5.
( ) ( -1)2 Sn=na1+ 2 d=-n
2+4n=4-(n- )22 ,
所以当 n=2 时,Sn 取得最大值 4.
答案第 1页，共 4页
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2
17.解析:(1)联立 = 2px 2 2 4 -4 + 1 = 0,化简得 y =2py-2,即 y -2py+2=0,
令 ,因为 ,解得 1Δ=0 p>0 p=2,故抛物线 C 的方程为 y
2=x.
( 12)注意到点(4,0)即为抛物线 C 的焦点,设 A 的坐标为(x1,y1),B 的坐标为
( 1x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4,故
7 7
x1+x2=2,则弦 AB 的中点的横坐标是4,
故弦 7 15AB 的中点到直线 x+2=0 的距离是4+2= 4 .
18.解析:(1)∵PA⊥底面 ABCD,BC 平面 ABCD,∴PA⊥BC.
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC.
(2)设 AP=h,取 CD 的中点 E,易得三角形 ADC 是正三角
形,∵AE⊥CD,∴AE⊥AB.
又∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AE.故可建立如图所示的空间直角坐标
系, ( , , ), ( 3 1 3 1 3 1A 0 0 0 P 0,0,h),C( 2 ,2,0),D( 2 ,-2,0),B(0,2,0), =(0,0,h), =( 2 ,2,0)
, 3 1 3 1=( 2 ,2,-h), =( 2 ,-2,-h).
· = 0,
设 平 面 PAC 的 一 个 法 向 量 为 n1=(x,y,z), 则 1
即
· 1 = 0,
答案第 2页，共 4页
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= 0,
3x + 1 y = 0.令 x=h,得 n1=(h,-
3h,0).
2 2
同理得平面 PDC 的一个法向量为 3n2=(h,0, 2 ).
| · | 5
∵|cos|= 1 2| | | |= 5 ,∴h= 3.1 · 2
又可求得平面 PBC 的一个法向量为 n3=(3, 3,2),
| · | 2 3 3
∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d= 3| 3|
= 4 = 2 .
2n (n 1,2)19.（1）因为an
2n 5 n 3,n N*
，
a5 a2 5 4 1，但a6 a3 7 1 6 1，所以数列{an}不具有性质 P(1)，
同理可得数列{an}具有性质 P(4)；
（2）因为数列{an}具有性质 P(0)，
所以一定存在一组最小的且m k，满足am ak 0，即 am ak，
由性质 P(0)的含义可得am 1 ak 1，am 2 ak 2，L ， a2m k 1 am 1 ,a2m k am ，
所以数列{an}中，从第 k项开始的各项呈现周期性规律：
ak ,ak 1, ,am 1为一个周期中的各项，
所以数列{an}中最多有m 1个不同的项，
所以T最多有C 2m 1个元素，即T为有限集；
（3）因为数列{an}具有 P(2)性质，又具有 P(3)性质，
所以存在M ',N '，使得 aM ' P aM ' 2,aN ' q aN ' 3，
其中 p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质 P(2),P(3)的含义可得aM ' p k aM '+k 2,aN ' q k aN ' k 3，
答案第 3页，共 4页
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若M ' N '，则取 k N ' M '，可得 aN ' P aN ' 2，
若M ' N '，则取 k M ' N '，可得 aM ' q aM ' 3，
记M max M ',N ' ，则对于 aM ，
有aM p aM 2,aM q aM 3，显然 p q，
由性质 P(2),P(3)的含义可得： aM p k aM k 2,aN q k aN k 3，
所以aM pq aM (aM pq aM (q 1) p ) (aM (q 1) p aM (q 2) p ) (aM p aM )
2qaM pq aM (aM pq aM ( p 1)q ) (aM ( p 1)q aM ( p 2)q ) (aM q aM ) 3p，
所以2q 3p，
又 p,q满足aM p aM 2,aM q aM 3的最小的正整数，
所以q 3, p 2， aM 2 aM 2,aM 3 aM 3，
所以aM 2 k aM k 2,aM 3 k aM k 3，
所以aM 2k aM 2(k 1) 2 aM 2k ,aM 3k aM 3(k 1) 3 aM 3k，
取N M 3，所以，若 k是偶数，则aN k aN k，
若 k是奇数，
则aN k aN 3 (k 3) aN 3 (k 3) aN 3 (k 3) aN k，
所以，aN k aN k，
所以aN ,aN 1 ,aN 2 , ,aN k , 是公差为 1的等差数列.
答案第 4页，共 4页
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