专题强化 与斜面、曲面相结合的平抛运动
[学习目标]
1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点(重难点)。
2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题(重点)。
一、与斜面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝
已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
例1 如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的质量为m的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，重力加速度为g，空气阻力不计。
(1)若小球以最小位移到达斜面，求小球到达斜面经过的时间t；
(2)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间t′。
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例2 跳台滑雪需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0；
(3)运动员落在斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远。
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二、与曲面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示 利用几何关系求解位移关系 x＝v0t y＝gt2 R2＝(x－R)2＋y2
例3 如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为( )
A.h
B.h
C.h
D．2h
例4 如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R，圆心为O，从P点沿PQ方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，P、B两点的高度差为0.8R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P点抛出时的速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
例5 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A.
B.
C.
D.专题强化 与斜面、曲面相结合的平抛运动
[学习目标]
1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点(重难点)。
2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题(重点)。
一、与斜面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进入斜面轨道，如图所示，已知该点速度沿斜面方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝
已知位移方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
在斜面外水平抛出，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝
例1 如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的质量为m的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，重力加速度为g，空气阻力不计。
(1)若小球以最小位移到达斜面，求小球到达斜面经过的时间t；
(2)若小球垂直击中斜面，求小球到达斜面经过的时间t′。
答案 (1) (2)
解析 (1)小球以最小位移到达斜面时位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，解得t＝。
(2)小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，解得t′＝。
例2 跳台滑雪需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0；
(3)运动员落在斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远。
答案 (1)3 s (2)75 m (3)10 m/s (4)1.5 s
解析 (1)运动员从A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移大小x＝v0t1
竖直方向的位移大小y＝gt12
又有tan 37°＝
代入数据解得t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m。
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小x0＝＝75 m。
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s，
则运动员落在斜面上时的速度大小v＝＝10 m/s。
(4)如图，设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，
tan 37°＝，
即tan 37°＝，
解得t2＝＝1.5 s。
二、与曲面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外水平抛出，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从圆弧面外水平抛出，垂直落在圆弧面上，如图所示，已知速度的方向垂直于圆弧面 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝
从圆弧面上水平抛出又落到圆弧面上，如图所示 利用几何关系求解位移关系 x＝v0t y＝gt2 R2＝(x－R)2＋y2
例3 如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为( )
A.h B.h C.h D．2h
答案 B
解析 小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α。根据平抛运动规律得tan θ＝2tan α＝，解得x＝h，所以A、C、D错误，B正确。
例4 如图，PQ为半圆形容器的水平直径，圆弧半径为R，圆心为O，从P点沿PQ方向水平抛出一个小球，小球恰好落在圆弧面上的B点，P、B两点的高度差为0.8R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P点抛出时的速度大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设小球从P点抛出到落到B点运动的时间为t，根据几何关系可知OB连线与水平方向的夹角的正弦值为，因此小球从P点到B点的水平位移为1.6R，设初速度大小为v0，则0.8R＝gt2,1.6R＝v0t，联立解得v0＝，故B正确，A、C、D错误。
例5 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°，
又vy＝gt，联立解得t＝
小球在水平方向上做匀速直线运动，则有
R＋Rcos 60°＝v0t，
联立解得v0＝，故选B。
