专题强化 运动的合成与分解应用实例
[学习目标]
1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。
2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。
3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。
4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。
一、小船渡河模型
如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？
答案 (1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。
②船随水漂流的运动。
(2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移大小x＝，位移方向满足tan θ＝。
(3)情况一：v水最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ＝v水，如图所示。渡河所用时间t＝。
情况二：v水>v船
如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝，最短位移为x＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
(4)无关。
例1 南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人员为了营救在对岸落水的儿童，立即驾驶救援艇出发。已知该救援艇在静水中的航行速度大小为12.5 m/s，该段水流速度大小为3.5 m/s，救援人员以最短时间过江用时12 s。则( )
A．河流宽度为150 m
B．河流宽度为192 m
C．船以最短时间过江时，在正对岸靠岸
D．船以最短时间过江时，在正对岸下游50 m处靠岸
答案 A
解析 河流宽度为d＝v船tmin＝12.5×12 m＝150 m，选项A正确，B错误；船以最短时间过江时，沿水流方向的位移为x＝v水tmin＝3.5×12 m＝42 m，即在正对岸下游42 m处靠岸，选项C、D错误。
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
答案 (1)40 s 正对岸下游120 m处 (2)船头指向与河岸的上游成53°角 50 s (3)船头指向与河岸的上游成60°角
解析 (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t′＝＝ s＝50 s
又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。
二、关联速度模型
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
答案 (1)不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2。
(2)不相等，船的速度大于车的速度。
(3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。
(4)由v＝v船cos α得v船＝。
1．分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即合速度。
分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。
2．常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
v物′＝v∥＝v物cos θ
v∥＝v∥′ 即v物cos θ＝v物′cos α
v∥＝v∥′ 即v物cos α＝v物′cos β
例3 如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则( )
A．重物做匀速运动
B．重物做匀变速运动
C．vM＝vcos θ
D．v＝vMcos θ
答案 C
解析 将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，则有vM＝
vcos θ，由于运动过程θ减小，cos θ增大，则重物M的速度vM增大，重物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cos θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。
例4 在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是( )
A．v0sin θ B. C．v0cos θ D.
答案 D
解析 将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝vcos θ，解得v＝，故D正确，A、B、C错误。
例5 如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是( )
A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B．若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
C．vA＝vBtan θ
D．vA＝vBsin θ
答案 C
解析 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，故C正确，D错误。当θ＝45°时，vA＝vB，故A、B错误。专题强化 运动的合成与分解应用实例
[学习目标]
1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。
2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。
3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。
4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。
一、小船渡河模型
如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。
(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？
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例1 南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人员为了营救在对岸落水的儿童，立即驾驶救援艇出发。已知该救援艇在静水中的航行速度大小为12.5 m/s，该段水流速度大小为3.5 m/s，救援人员以最短时间过江用时12 s。则( )
A．河流宽度为150 m
B．河流宽度为192 m
C．船以最短时间过江时，在正对岸靠岸
D．船以最短时间过江时，在正对岸下游50 m处靠岸
例2 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
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(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？
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二、关联速度模型
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
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1．分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即________。
分解方法：将物体的实际速度分解为________________和________的两个分量。
2．常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v∥＝________
v物′＝v∥＝________
v∥＝v∥′ 即____________
v∥＝v∥′ 即____________
例3 如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则( )
A．重物做匀速运动
B．重物做匀变速运动
C．vM＝vcos θ
D．v＝vMcos θ
例4 在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是( )
A．v0sin θ B.
C．v0cos θ D.
例5 如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未画出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是( )
A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B．若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
C．vA＝vBtan θ
D．vA＝vBsin θ
