封丘县2023-2024学年高一下学期开学考试数数学试卷
一、单选题：
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
3．已知是定义在上的偶函数，且对任意的，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是奇函数，则（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：
9．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在上单调递增
10．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象的所有对称中心都可以表示为（）
C．函数在上的最小值为
D．函数在区间上单调递减
11．在中，D在边上，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．函数（是常数，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．在区间上单调递增
C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知向量，的夹角为，，，则 ．
14．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
15．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 .
16．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 ．
四、解答题
17．计算
(1) (2)．
18．已知，其中是常数，．
(1)若函数为奇函数，求实数的值；
(2)若对任意实数，均有，求实数的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点. (1)求的值；(2)求的值.
20．已知，，.
(1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值.
21．函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
22．已知函数（为常数）是奇函数.
(1)求的值与函数的定义域；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.封丘县2023-2024学年高一下学期开学考试数数学试卷
参考答案：
1．A
【分析】分别求出，，再求解即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以，故A正确.
故选：A.
2．B
【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】，则有，
可得，即4，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4.
故选：B
3．D
【分析】利用函数单调性的定义及利用函数的单调性和奇偶性综合解出该抽象函数不等式即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
且对任意的，恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递减.
易得，
所以由得;由得，
故不等式的解集是.
故选:D.
4．C
【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可.
【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；
当时，易知为幂函数，在单调递增.
故函数,图象如图所示:
要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.
故选：C.
5．B
【分析】根据题意，利用，求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数，
因为是奇函数，所以，
即，
整理得，解得，
所以．
故选：B.
6．B
【分析】根据题意利用换底公式结合对数、指数函数单调性即可得解.
【详解】因为，
且，可得，
所以.
故选：B.
7．C
【分析】由三角函数定义可得、，即可得解.
【详解】由角的终边经过点，故，
，
故.
故选：C.
8．A
【分析】根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
9．AC
【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质.
【详解】函数的图象过原点，则，即，
函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线，
则， ，A选项正确，B选项错误；
函数，定义域为R，
，是偶函数，C选项正确；
时，，所以在上单调递减，D选项错误；
故选：AC
10．ABC
【分析】化简的解析式，根据三角函数的对称性、最值、单调性等知识确定正确答案.
【详解】，
A选项，，所以图象关于直线对称，A选项正确.
B选项，由，解得，
所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B选项正确.
C选项，，
所以当时，取得最小值，C选项正确.
D选项，，
所以函数在区间上单调递增，D选项错误.
故选：ABC
11．BCD
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误;
对于选项B：,故B正确;
对于选项C：,
而，所以，
故C正确;
对于选项D：,故D正确.
故选：BCD.
12．BD
【分析】由图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质验证各选项的结论是否正确.
【详解】由图象可知，，
，函数最小正周期，，
，即，由，得，
所以，
，A选项错误；
，，是正弦函数的单调递增区间，
所以在区间上单调递增，B选项正确；
将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，轴不是函数图象的对称轴，不是偶函数，C选项错误；
，
所以，D选项正确.
故选：BD
13．
【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值.
【详解】由题意，
向量，的夹角为，，，
，
故答案为：.
14．
【分析】根据正切函数的单调性，结合题意，列出满足的条件，求解即可.
【详解】根据题意，，解得，又，则；
当，，
由题可得，解得；
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
15．
【分析】由复合函数的单调性和对数函数定义域，求的取值范围.
【详解】当时，在上是增函数；
当时，由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增且大于0恒成立，
有解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：
16．
【分析】因要求变换之前的函数解析式，故应逆向考虑，将函数进行先横向伸长再向左平移即得所求函数解析式.
【详解】把函数的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
再向左平移个单位，得到函数，即的图象.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用指数运算与对数运算的法则计算.
【详解】（1）.
（2）
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由，得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解；
（2）根据题意，转化为在上恒成立，令，设函数，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数为奇函数，可得，即，解得，
经检验：当时，，满足，
所以当时，函数为奇函数，
所以实数的值为.
（2）解：由对任意实数，均有，即时，恒成立，
即在上恒成立，
令，设函数，
因为，
当时，即时，的最大值为，可得，
所以实数数的取值范围为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案；
（2）由与诱导公式可得，后由可得答案.
【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得，
即，所以；
（2）由诱导公式，结合题意可得：，
又，则，
又，则
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
21．(1)最小正周期为，，．
(2)
【分析】（1）先化简函数解析式，结合周期和单调区间的求解方法可得答案；
（2）根据图象变换求出，结合函数单调性可得值域.
【详解】（1）
，
因为，所以的最小正周期为.
令，，解得，，
所以函数的单调减区间为，．
（2）函数的图象先向左平移个单位得到，
将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
时，，
所以当时，解得，此时函数为增函数；
当时，解得，此时函数为减函数；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的最大值为，又因为，，
所以函数的最小值为，所以的值域为．
22．(1)，函数的定义域为
(2)
【分析】（1）根据求出参数的值，再根据对数函数的性质求出函数的定义域；
（2）由（1）可得，则对任意的恒成立，根据对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数，
所以，则，
即，所以，
即，解得，
当时，则令，解得，
即函数的定义域为，且，
所以为奇函数，符合题意，
当时函数无意义，故舍去；
综上可得，函数的定义域为.
（2）因为，则，
因为恒成立，
所以对任意的恒成立，
又在上单调递增，所以，
所以，即的取值范围是.
