第七章 万有引力与宇宙航行 3　万有引力理论的成就 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版必修二

3　万有引力理论的成就
[学习目标]　
1.掌握“称量地球质量”和计算天体质量的基本思路(重难点)。
2.掌握计算天体密度的基本思路(重难点)。
3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力(重点)。
一、天体质量的计算
1．卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的重量”。
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
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2．如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
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计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有________________，解得中心天体质量为M＝________。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2．“卫星”环绕法
已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由________＝mr，可得M＝________。
1．上面两种求中心天体质量的方法：M＝和M＝，“R”与“r”有何区别？
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2．用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的质量吗？
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例1　天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列正确的是(　　)
A．M＝ B．M＝
C．M＝ D．M＝
例2　“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
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(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
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二、天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
(1)将M＝代入上式得ρ＝。
(2)将M＝代入上式得ρ＝。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
例3　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
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(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
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例4　假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得其表面的重力加速度与地球上的相同，行星半径只有地球半径的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
在18世纪，人们发现了天王星后，发现根据万有引力定律计算出来的天王星的运动轨道与实际观测的结果总有一些偏差。天王星的轨道偏差是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
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1．英国的________和法国的________根据天
王星的观测资料，利用万有引力定律计算出________的轨道。
2．使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现了________、阋神星等几个较大的天体。
3．英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为________年，并成功预言了其回归的时间。
4．________的发现和____________的“按时回归”确立了________定律的地位。
3　万有引力理论的成就
[学习目标]　
1.掌握“称量地球质量”和计算天体质量的基本思路(重难点)。
2.掌握计算天体密度的基本思路(重难点)。
3.认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力(重点)。
一、天体质量的计算
1．卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己的实验是“称量地球的重量”。
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
答案　(1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，G值的确定使万有引力定律具有了实际的计算意义。
(2)由mg＝G得，M＝。
2．如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
答案　由＝m地r知m太＝，可以求出太阳的质量。
计算中心天体质量的两种方法
1．重力加速度法
(1)已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，以及引力常量G，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝G，解得中心天体质量为M＝。
(2)说明：g为天体表面的重力加速度。
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度。
2．“卫星”环绕法
已知两天体间距离r，将天体围绕中心天体的运动近似看成匀速圆周运动，周期为T，引力常量为G，其所需的向心力都来自万有引力，由＝mr，可得M＝。
1．上面两种求中心天体质量的方法：M＝和M＝，“R”与“r”有何区别？
答案　在M＝中，R为中心天体半径；在M＝中，r为轨道半径，两种方法中的M若为同一天体，r＝R＋h。当环绕法选择近地卫星时，r＝R。
2．用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的质量吗？
答案　不能。只能测出被环绕的中心天体的质量M，而不能测出卫星质量m。
例1　天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列正确的是(　　)
A．M＝ B．M＝
C．M＝ D．M＝
答案　A
解析　在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有G＝mg，可得月球的质量为M＝，故A正确，B错误；月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得＝Mr，r表示月球绕地球运转的轨道半径，可得地球的质量M地＝，无法求月球质量，故C、D错误。
例2　“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》。2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求：
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)由题意可得v＝
(2)设“天问一号”的质量为m，由万有引力提供向心力有G＝m()2r，得M＝
(3)忽略火星自转，火星表面质量为m′的物体所受引力等于重力，有m′g＝，得g＝。
二、天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
(1)将M＝代入上式得ρ＝。
(2)将M＝代入上式得ρ＝。
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
例3　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转。
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
答案　(1)　(2)
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M。
(1)卫星距天体表面的高度为h时，有G＝m(R＋h)，可得M＝
天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝
(2)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，可得M＝，故ρ＝＝＝。
例4　假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得其表面的重力加速度与地球上的相同，行星半径只有地球半径的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(　　)
A．2∶1 B．1∶2
C．4∶1 D．1∶4
答案　A
解析　设行星的质量为M，行星的半径为R，行星的平均密度为ρ，行星表面的重力加速度为g，根据物体在行星表面受到的重力等于万有引力可得
＝mg，又M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。由于该类地行星表面的重力加速度与地球上的相同，则其平均密度和地球的平均密度之比为＝＝，故选A。
三、发现未知天体　预言哈雷彗星回归
在18世纪，人们发现了天王星后，发现根据万有引力定律计算出来的天王星的运动轨道与实际观测的结果总有一些偏差。天王星的轨道偏差是天文观测数据不准确？是万有引力定律的准确性有问题？还是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
答案　在天王星轨道外还有一颗未发现的新星——海王星。
1．英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出海王星的轨道。
2．使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为76年，并成功预言了其回归的时间。
4．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。