5.1导数的概念及其意义 同步练习（含解析）

5.1导数的概念及其意义同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B．4 C．2 D．
3．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
5．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在处可导，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．8
7．为了响应国家节能减排的号召，甲 乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快
C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D．该月内存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同
8．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．在定义域上单调递增 B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0
C．的图象关于点对称 D．
12．若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2
D．在轴上的截距之积可能为
三、填空题
13．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ．
14．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 .
15．某物体做匀速直线运动，其方程为，则该物体在运动过程中其平均速度与任意时刻的瞬时速度的关系是 .
16．牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，则的2次近似值为 ；设，数列的前项积为．若任意的恒成立，则整数的最小值为 ．
四、解答题
17．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)设，求过点的切线方程．
18．如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为．
(1)当，时，求和；
(2)求函数在处的导数．
19．路灯距地面，一个身高为的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C点处沿直线匀速离开路灯.
(1)求身影的长度y(单位：m)与人距C点的距离x(单位：m)之间的关系式；
(2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.
20．在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
21．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
2．B
【分析】根据导数的定义，分母是自变量的改变量即，所以把所求的式子分母变为即可求解.
【详解】
故选：B
3．D
【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果.
【详解】由，得到，
由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为，
即，
故选：D.
4．C
【分析】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误；
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，
则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误．
故选：C.
5．D
【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果.
【详解】
又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，
所以其斜率，
所以，解得，
所以点P横坐标的取值范围为，
故选：D.
6．A
【分析】利用计算即可.
【详解】
.
故选：A.
7．D
【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同.
【详解】选项A，设，
设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，
结合图像可知：，
所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；
选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知，
直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度，
而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，
从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；

选项C，设为接近的时刻且，
从时刻到时刻，污水排放量平均变化率，
由导数的定义与几何意义可知，
在接近时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.
设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，
结合图象可知，
所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；

选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，
即甲 乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，
所以该月内存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.
故选：D.

8．B
【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可得.
【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示：
根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，
．
故选：B.
9．ACD
【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.
【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，
故曲线是上升的，且越来越陡峭，
所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，
所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项．
故选：ACD．
10．BCD
【分析】利用导数的定义逐个求解.
【详解】，故A错；
，故B对；
，由导数的定义知C对；
，故D对；
故选：BCD
11．BD
【分析】由指数型复合函数单调性即可判断A；求导即可判断B；由题可知，由此即可判断C；由C选项结论即可判断D.
【详解】对A，，，
根据复合函数单调性知在，上单调递增，
当时，，当时，，∴在定义域上不是单调递增，故A错误；
对B，因为，故B正确；
对C，∵，∴，
∴的图象关于点对称，故C错误；
∵，由可得D正确．
故选：BD.
12．AC
【分析】根据及导数的几何意义得，再借助基本不等式即可判断A，B；写出的方程，得到在轴上的截距分别为，由此判断C，D．
【详解】对于A，B：由题意可得，当时，，当时，，
所以的斜率分别为，
因为，所以，得，
因为，所以，
故A正确，B错误．
对于C，D：的方程为，即，
令，得，所以在轴上的截距为，
的方程为，可得在轴上的截距为，
所以在轴上的截距之差为，
在轴上的截距之积为，故C正确，D错误．
故选：AC
13．1
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.
【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，
则处的切线方程为，即；
直线与曲线相切于，，
可得切线方程为，
即，
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即
可得，解得，
故答案为：.
14．或
【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解.
【详解】点不在曲线上．
设所求切线的切点为，
则切线的斜率，
故所求的切线方程为，
将及代入上式，得，
解得或，所以切点为或．
从而所求切线方程为或.
故答案为：或.
15．相等
【分析】先得出平均速度的表达式，发现它刚好等于瞬时速度，由此即可得解.
【详解】设平均速度为，瞬时速度为v.
所以，
故平均速度与任意时刻的瞬时速度相等．
故答案为：相等.
16．
【分析】利用导数求出直线的方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，进而可求得整数的最小值.
【详解】，则，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知点在直线上，
所以，，，则，，
，，
因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数，
因为，，由零点存在定理可知，
由题意可知，，故整数的最小值为2.
故答案为:；2
【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列的递推公式，利用数列的递推公式求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求解参数即可.
（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.
【详解】（1）定义域为，，
而，而已知，可得，
解得，故的值为，
（2），设切点为，设切线斜率为，
而，故切线方程为，
将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，
故切线方程为，
18．(1)，
(2)48
【分析】（1）由平均变化率公式计算即可;
（2）由导数的定义计算即可.
【详解】（1），
故当，时，，．
（2）由（1）得，
故函数在处的导数是48．
19．(1)；
(2)0.35 m/s.
【分析】（1）根据题设，利用相似比，列方程即可得关系式；
（2）根据（1）所得关系，分别求出区间内对应自变量、函数值的增量，即可得平均变化率.
【详解】（1）如题图，设人从C点运动到B点位移为x m，AB为身影长度，为y m，
由于，则，即，所以.
（2）设人离开C点的时间为t s，而，而，所以.
在内自变量的增量为，
函数值的增量为，
所以.
即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为 m/s.
20．(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）总有，即直线与直线的倾斜角互补，即恒有，联立直线与抛物线方程，得到韦达定理代入运算，判断得解.
【详解】（1）由已知，得，因为，所以，斜率，
因此，切线方程为，即．
（2）存在符合题意的点，理由如下：
设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．
联立方程，得，
因为，则，可得，
从而
，
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．
21．答案见解析
【分析】计算从处到处高度的平均变化率，从处到处高度的平均变化率，再比较两值的大小说明吃力的原因.
【详解】山路从A处到B处高度的平均变化率为，
山路从C处到D处高度的平均变化率为，
由知，山路从C处到D处比从A处到B处陡峭.
故从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力.
答案第1页，共2页
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