5.2导数的运算 同步练习（含解析）

5.2导数的运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的导数=（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函数，则函数在处的瞬时变化率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知,是的导函数，即，…，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移，(单位:)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， （ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则 ．
14．曲线在点处的切线的倾斜角为 .
15．设，定义为的导数，即，，若的内角A满足，则
16．设曲线在点处的切线与直线垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 .
四、解答题
17．已知函数在处的切线方程为.
(1)求的值;
(2)若过点的直线与曲线相切，求的方程.
18．已知函数.
(1)分别求出和的导数；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
19．已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)过点作曲线的切线，求的方程.
20．在平面直角坐标系中，过点的直线与曲线交于两点，若曲线在处的切线相交于点．
(1)求证：点的轨迹是一条直线；
(2)求面积的最小值．
21．已知函数的部分图象如图所示，其中，且.

(1)求与的值；
(2)若斜率为的直线与曲线相切，求切点坐标.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】求出时的函数解析式，计算，，从而求出切线方程.
【详解】当时，，所以，
因为是奇函数，所以，
则，，，
所以在处的切线方程为，即.
故选：C
2．A
【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可.
【详解】由，得，
故选：A.
3．B
【分析】先对函数求导，后利用导数的定义转化求值即可.
【详解】由题意得，所以，
所以.
故选：B.
4．A
【分析】利用导数运算求解.
【详解】由，可得.
故选：A.
5．C
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
6．A
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，推出是以4为周期的函数，即可求解．
【详解】，
则，
，
，
，
故是以4为周期的函数，
故选：A
7．B
【分析】根据偶函数的性质可得，求导得，结合的周期性即可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边同时求导得，即，
所以，令，得，
令，得，又因为，所以，
由，所以，所以的周期为6，则，
而，所以，所以．
故选：B
8．C
【分析】利用导数即可求解.
【详解】，
故当时，此时瞬时速度最大，,
所以时，此时瞬时速度首次达到最大，
故选：C
9．ABD
【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.
【详解】由已知得
，故A正确：
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故选：ABD
10．BCD
【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可.
【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误；
对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确；
对于选项C: ,由，
，解得，故选项C正确；
对于选项D:结合题意可得：,，
解得，故选项D正确.
故选：BCD.
11．ABD
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】因为，
令得：，又因为，所以，故A正确；
因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数.
令，可得：①
再用代替可得：
②
①②得：
所以：，
所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确.
因为：，，所以：，
所以：，故C错误；
又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以
令，可得：，
所以.
所以：.故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于可导函数有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数.
若定义在上的函数是可导函数，且周期为，则其导函数也是周期函数，且周期也为.
12．CD
【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.
【详解】对于选项A: ,,故选项A错误；
对于选项B: ,,故选项B错误；
对于选项C: ,,故选项C正确；
对于选项D: ,,故选项D正确；
故选：CD.
13．6
【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程，再与抛物线方程联立，由判别式等于零求解.
【详解】，则在点处的切线的斜率为，
则切线方程为：，
联立，消去得：，
因为切线也是抛物线的切线，
所以，
解得
故答案为：.
14．
【分析】求导得该点切线斜率，由直线斜率和倾斜角的关系即可得解.
【详解】由，则，
即切线斜率为1，倾斜角为.
故答案为：.
15．
【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．
【详解】因为，，
所以，，
，，
，，
所以具有周期性，且周期为，
由，，
得，
因为，
所以
，
所以，因为，所以，可得.
故答案为：.
16． 2 /0.25
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义结合切线与直线垂直，列式计算，可求得a的值；求出切线方程，即可求得切线与坐标轴围成的面积.
【详解】令，则曲线在点处的切线的斜率为，
又切线与直线垂直，所以.
因为，所以，
所以，即；
由题意可知，切线方程为，即，
令得；令得，
故该切线与坐标轴围成的三角形面积为，
故答案为：2；
17．(1)1
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）设直线与曲线相切的切点坐标为，由导数的几何意义列式求出，即可求出切线方程.
【详解】（1）由题可得，
由的斜率为1，得，即.
（2）由(1)知，，
设切点为，则，
又直线过点，
整理得，，
直线的方程为，即.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）应用导数运算律及复合函数求导即可；
（2）先分别求出切线斜率再根据平行线斜率相等求参.
【详解】（1）由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
（2）由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意.
19．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程.
（2）设切点，利用导函数求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再将点代入切线方程，求出，进而求得切线方程.
【详解】（1），
因此，所以在点处的切线方程为：，即.
（2）设切点，则切线的斜率为，
切线为过，
所以整理得，从而斜率，
所以切线的方程为.
20．(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）设点斜式方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，利用导数写出处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标，依据根与系数的关系，求出点的轨迹，即可得证，
（2）利用弦长公式求出的值，到直线的距离，代入三角形面积公式，利用二次函数求出面积的最小值.
【详解】（1）依题意，直线的斜率存在，
设直线交曲线于．
联立直线和曲线方程 ，化简得，
所以，因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得，因为，即，
所以在处切线方程为，
同理，可求曲线在处的切线方程为，
联立 ， 解得，所以交点，
设，则，
因为，，所以，即，
因为，
所以点在直线上，
即点的轨迹是一条直线．
（2）因为，由（1）知，
坐标为，
所以
由题意得，点到直线的距离：，
所以的面积为：
，
化简得，
因为，当且仅当时取得等号，
所以面积的最小值为1．
21．(1)，
(2)或
【分析】（1）在中，由射影定理得长，即个周期，从而待定，再由求解即可；
（2）设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，求解切点坐标.
【详解】（1）如图，过点向轴引垂线交于点，
由正弦曲线的性质知，
由射影定理知，而，∴，
∴，
∴，由，解得.
当时，由，且由已知图象及五点对应法，
得，
由，则当时，；
所以有，；

（2）由（1）知，设切点，
∴
则，∴，则，
∴或，且，
∴故其切点坐标为或 .
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