第七章 万有引力与宇宙航行 专题强化　天体运动的分析与计算 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版必修二

专题强化　天体运动的分析与计算
[学习目标]　
1.掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路(重点)。
2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。
3.会分析天体运动中的“最远”和“最近”问题(重难点)。
一、天体运动参量的分析与计算
1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：
G＝m________＝m＝m________r＝mr。
2．根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。
＝
“一定四定”，越高越________(选填“快”或“慢”)。
3．忽略地球自转时，mg＝G，整理可得：GM＝________，当GM未知时，可用________替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。
1．在同一圆轨道上运行的不同卫星，它们的v、ω、T、an有何特点？
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2．同一轨道上的同向绕行的两卫星是否有可能相撞？
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例1　如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是(　　)
A．线速度大小vA>vB>vC
B．周期TA>TB>TC
C．向心加速度大小aA>aB>aC
D．角速度ωA>ωB>ωC
例2　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
例3　2021年4月29日，天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕。若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G。忽略地球自转的影响，地球表面重力加速度为g，求：
(1)空间站受地球引力大小；
(2)空间站环绕地球运行的周期；
(3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小。
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二、卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。
推导第n次两卫星相距最远和最近的条件：
1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走________圈，如图所示。
它们转过的角度之差Δθ＝________，即满足ωaΔt－ωbΔt＝________，
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝________。
故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝t－t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。
2．当两卫星在此之后第一次相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝________，即满足ωaΔt－ωbΔt＝________时，两卫星再次相距最近。
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。
第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝t－t＝2nπ(n＝1,2,3…)。
例4　(2022·苏州市木渎高级中学高一期中)2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。
(1)求飞船离地面的高度h；
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(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
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专题强化　天体运动的分析与计算
[学习目标]　
1.掌握处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路(重点)。
2.掌握星体绕中心天体做圆周运动的物理量与轨道半径的关系(重难点)。
3.会分析天体运动中的“最远”和“最近”问题(重难点)。
一、天体运动参量的分析与计算
1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，其所需向心力与万有引力的关系可写为：
G＝man＝m＝mω2r＝mr。
2．根据1中的关系式推导向心加速度大小an、线速度大小v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系。
＝
“一定四定”，越高越慢(选填“快”或“慢”)。
3．忽略地球自转时，mg＝G，整理可得：GM＝gR2，当GM未知时，可用gR2替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”。
1．在同一圆轨道上运行的不同卫星，它们的v、ω、T、an有何特点？
答案　卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小。
2．同一轨道上的同向绕行的两卫星是否有可能相撞？
答案　不可能。同一轨道上同向绕行的两卫星，线速度大小相等，相对静止，故不可能相撞。
例1　如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是(　　)
A．线速度大小vA>vB>vC
B．周期TA>TB>TC
C．向心加速度大小aA>aB>aC
D．角速度ωA>ωB>ωC
答案　B
解析　由题意可得＝m＝mR＝mω2R＝ma，则a＝，v＝，ω＝，T＝，由题图可知RAvB>vC，aA>aB>aC，ωA>ωB>ωC，故选B。
例2　(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
答案　C
解析　轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，得v＝，则＝＝，故B错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝，则＝＝，故C正确；由＝ma，得a＝，则＝＝，故D错误。
例3　2021年4月29日，天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕。若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G。忽略地球自转的影响，地球表面重力加速度为g，求：
(1)空间站受地球引力大小；
(2)空间站环绕地球运行的周期；
(3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小。
答案　(1)　(2)2π　(3)
解析　(1)设地球质量为M，空间站受地球引力大小为F＝，在地球表面有G＝mg，解得GM＝gR2，所以F＝
(2)由万有引力提供向心力得＝m，解得T＝2π，又GM＝gR2，代入上式得T＝2π
(3)由万有引力提供向心力得＝ma，
解得a＝，又GM＝gR2
代入上式得：a＝。
二、卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。
推导第n次两卫星相距最远和最近的条件：
1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走半圈，如图所示。
它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π，
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝2π＋π。
故第n次两卫星相距最远的条件：ωat－ωbt＝t－t＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)。
2．当两卫星在此之后第一次相距最近时，它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
第二次：ωaΔt－ωbΔt＝4π。
第n次两卫星相距最近的条件：ωat－ωbt＝t－t＝2nπ(n＝1,2,3…)。
例4　(2022·苏州市木渎高级中学高一期中)2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。
(1)求飞船离地面的高度h；
(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
答案　(1)－R　(2)T
解析　(1)飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有G＝m(R＋h)；在地球表面，根据万有引力近似等于重力有G＝m′g，解得飞船离地面的高度为h＝－R。
(2)根据开普勒第三定律有＝，又rA＝2rB，解得TA＝2T，设经过t时间它们再一次相距最近，则有t－t＝2π，解得t＝T。