第八章 专题强化　动能定理和机械能守恒定律的综合应用 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版必修二

专题强化　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
[学习目标]　
1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的异同(重难点)。
2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合问题(重难点)。
一、动能定理和机械能守恒定律的比较
规律 比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况
选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节 (2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍
例1　如图所示水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力，求(试用动能定理和机械能守恒定律分别作答)：
(1)过山车在B点时的速度大小；
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(2)过山车在C点时对轨道的压力大小。
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例2　(2022·常州市高一期中)一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员以30 m/s的速度斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m，运动员总质量(包括装备)为60 kg，g取10 m/s2。试分析(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，理论上运动员着陆时的速度多大？
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做功为多少？
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二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用
动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
例3　如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求：
(1)小球在最高点C的速度大小vC；
(2)小球在最低点B的速度大小vB；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能；
(4)小球由B到C克服阻力做的功。
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例4　如图所示，AB面光滑、倾角θ＝30°的斜面体固定在水平桌面上，桌面右侧与光滑半圆形轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径R＝0.1 m。物块甲、乙用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，开始时乙被按在桌面上，甲位于斜面顶端A点，滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与AB平行；现释放乙，当甲滑至AB中点时轻绳断开(乙未运动到滑轮处)，甲恰好能通过圆形轨道的最高点D。已知AB长L＝1 m，桌面BC段长l＝0.5 m，甲质量M＝1.4 kg、乙质量m＝
0.1 kg，甲从斜面滑上桌面时速度大小不变，重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)甲到达斜面底端时重力的瞬时功率；
(2)甲与桌面间的动摩擦因数。
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专题强化　动能定理和机械能守恒定律的综合应用
[学习目标]　
1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的异同(重难点)。
2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合问题(重难点)。
一、动能定理和机械能守恒定律的比较
规律 比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况
选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节 (2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍
例1　如图所示水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力，求(试用动能定理和机械能守恒定律分别作答)：
(1)过山车在B点时的速度大小；
(2)过山车在C点时对轨道的压力大小。
答案　(1)　(2)6mg
解析　方法一　运用动能定理
(1)根据动能定理mgR＝mvB2，
解得vB＝。
(2)过山车在E点时由牛顿第二定律有
mg＝m，
从C点到E点，由动能定理有－mg·2r＝mvE2－mvC2
又FC－mg＝m，
由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小FC′＝FC＝6mg。
方法二　运用机械能守恒定律
(1)选地面为参考平面，由A到B，对过山车由机械能守恒定律得mgR＋0＝0＋mvB2，
解得vB＝。
(2)过山车在E点时有mg＝m，
从C到E，由机械能守恒定律得mg·2r＋mvE2＝0＋mvC2，
过山车过C点时，受到轨道的支持力大小为FC，FC－mg＝m，
由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为FC′＝FC＝6mg。
例2　(2022·常州市高一期中)一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员以
30 m/s的速度斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m，运动员总质量(包括装备)为60 kg，g取10 m/s2。试分析(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，理论上运动员着陆时的速度多大？
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做功为多少？
答案　(1)10 m/s　(2)4 920 J
解析　(1)不考虑空气阻力，以着陆点K点所在水平面为参考平面，运动员从起跳到着陆的过程机械能守恒，则有mv02＋mgh＝mv2，解得v＝10 m/s
(2)运动员飞行过程，根据动能定理有mgh－W克阻＝mv12－mv02，解得W克阻＝4 920 J。
二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用
动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
例3　如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求：
(1)小球在最高点C的速度大小vC；
(2)小球在最低点B的速度大小vB；
(3)释放小球前弹簧的弹性势能；
(4)小球由B到C克服阻力做的功。
答案　(1)　(2)　(3)mgR　(4)mgR
解析　(1)在最高点C时，根据牛顿第二定律有m＝mg，解得vC＝
(2)根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN＝8mg
根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得vB＝
(3)根据机械能守恒定律可得释放小球前弹簧的弹性势能为Ep＝mvB2＝mgR
(4)设小球由B到C克服阻力做的功为W，根据动能定理有－2mgR－W＝mvC2－mvB2
解得W＝mgR。
例4　如图所示，AB面光滑、倾角θ＝30°的斜面体固定在水平桌面上，桌面右侧与光滑半圆形轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径R＝0.1 m。物块甲、乙用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，开始时乙被按在桌面上，甲位于斜面顶端A点，滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与AB平行；现释放乙，当甲滑至AB中点时轻绳断开(乙未运动到滑轮处)，甲恰好能通过圆形轨道的最高点D。已知AB长L＝1 m，桌面BC段长l＝0.5 m，甲质量M＝1.4 kg、乙质量m＝
0.1 kg，甲从斜面滑上桌面时速度大小不变，重力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)甲到达斜面底端时重力的瞬时功率；
(2)甲与桌面间的动摩擦因数。
答案　(1)21 W　(2)0.4
解析　(1)设轻绳断开时甲速度的大小为v1，
根据机械能守恒定律Mgsin θ－mg＝(M＋m)v12
设甲到达斜面底端时的速度大小为v2，从AB中点到底端的过程根据动能定理Mg×sin θ＝
Mv22－Mv12
甲重力的瞬时功率P＝Mgv2sin θ
解得P＝21 W
(2)设甲到达C、D时的速度大小分别为v3、v4，从B到C根据动能定理－μMgl＝Mv32－Mv22
由C到D过程，由动能定理得－Mg×2R＝Mv42－Mv32
甲恰好能通过圆形轨道的最高点D，根据牛顿第二定律Mg＝M
解得μ＝0.4。