第八章 专题强化　多物体组成的系统机械能守恒问题 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版必修二

专题强化　多物体组成的系统机械能守恒问题
[学习目标]　
1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式(重点)。
2.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题(重难点)。
3.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法(重难点)。
一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：
2．机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。
3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。
例1　如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A. B. C. D.
例2　如图所示，质量都是m的物体A和B，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，光滑固定斜面，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，
(1)求A物体将要落地时的速度大小；
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
例3　如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
二、非质点类物体的机械能守恒问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
例4　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
例5　如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计管壁对液体的阻力，重力加速度大小为g)(　　)
A.
B.
C.
D.
专题强化　多物体组成的系统机械能守恒问题
[学习目标]　
1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式(重点)。
2.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题(重难点)。
3.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法(重难点)。
一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：
2．机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。
3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。
例1　如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正确。
例2　如图所示，质量都是m的物体A和B，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，光滑固定斜面，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，
(1)求A物体将要落地时的速度大小；
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。
答案　(1)　(2)h(1＋sin θ)
解析　(1)两物体组成的系统机械能守恒，得：
mgh－mghsin θ＝(m＋m)v2
解得：v＝
(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地面的高度为H，根据机械能守恒定律得：
mv2＝mg(H－hsin θ)，
解得H＝h(1＋sin θ)。
例3　如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。
答案　　
解析　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点的位置为零势能位置，则
初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，
末状态(即杆转到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝mvA2＋mvB2，
重力势能为Ep2＝mg，
由机械能守恒定律得2mgL＝mgL＋mvA2＋mvB2，
又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB，
联立解得vA＝，vB＝。
二、非质点类物体的机械能守恒问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
例4　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)
答案　
解析　方法一　取整个铁链为研究对象：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·L
由机械能守恒得：mv2＝mg·L，则v＝。
方法二　将铁链看成两段：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置，如图所示。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒得：mv2＝mg·
则v＝。
例5　如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计管壁对液体的阻力，重力加速度大小为g)(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　当两液面高度相等时，相当于右侧最上方长度的液体移到左侧最上方，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得mg·h＝mv2，解得v＝，选项A正确。