第四章 数列 综合复习训练（含解析）

第四章数列综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若数列是等差数列，且，则（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
2．已知为数列的前n项和，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
4．已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．36 B．54 C．64 D．108
5．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．20 B．28 C．32 D．48
6．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A．244 B．243 C．242 D．241
7．已知数列满足，，且（，且），则（ ）
A． B． C． D．
8．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难：次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走的路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则此人（ ）
A．第二天走的路程占全程的
B．第三天走的路程为24里
C．第一天走的路程比第四天走的路程多144里
D．第五天和第六天共走路程18里
二、多选题
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．数列有最大项，无最小项
C．当时，
D．当或3时，取得最大值
10．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．为递减数列
B．
C．若，，则的取值范围为
D．
11．设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知抛物线的焦点为，点在其准线上运动，过作的两条切线与相切于两点，则以下说法正确的有（ ）
A．三点共线 B．可能是直角三角形
C．构成等比数列 D．一定不是等腰三角形
三、填空题
13．在等差数列中，若和是方程的两个根，则数列的前22项的和等于 ．
14．已知等比数列的公比为q，且，，，则 .
15．已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为 ．
16．已知各项都不为0的数列的前项和满足，且，则的通项公式是 ；设数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
17．在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
问题：已知为等差数列的前n项和，若 .
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．已知数列满足：．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式；
(3)记为数列的前项和，求证：．
19．已知数列的前项和为，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
20．已知数列满足，记数列的前项和为．
(1)求；
(2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
21．已知等差数列的前项和为，满足，且.为等比数列的前项和，.
(1)求实数的值及数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
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参考答案：
1．A
【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可求得，而，代入即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为，
由等差数列的下标和性质可得：，解得：，
而，
故选：A.
2．C
【分析】由直接计算即可.
【详解】由题意.
故选：C.
3．B
【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项.
【详解】数列可以表示为，，，，，…，
则数列的一个通项公式为，
，是这个数列的第9项.
故选：B.
4．B
【分析】由等比数列性质得，结合等差数列求和公式即可得解.
【详解】由题意，解得，
所以.
故选：B.
5．A
【分析】利用邻近两项前项和作差即可.
【详解】易知.
故选：A
6．A
【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】由题意可知，且，
设等比数列的公比为，
则，得，
.
故选：A
7．A
【分析】根据题意分析可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可得结果.
【详解】因为，则，且，
又因为，，即，
可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以.
故选：A.
8．D
【分析】根据条件转化为等比数列基本量问题，根据首项和公比，结合选项，即可判断.
【详解】由题意可知，设每天所走路程为数列，数列为等比数列，其中，
，设首项为，则，得，
则，，故A错误；
第三天走的路程，故B错误；
第四天走的路程，，故C错误；
第五天和第六天共走路程为，故D正确.
故选：D
9．BCD
【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项和公差，再根据数列的函数特性判定选项即可.
【详解】因为，
当时，，
当时，，满足，
故数列的通项公式为，易得，
故数列为首项，公差的等差数列.
对于选项A,B:因为公差，所以数列是递减数列,且数列有最大项，无最小项，故选项A错误，选项B正确；
对于选项C:因为，所以
因为数列是递减数列，故当时，，故选项C正确；
对于选项D: 由，,
结合二次函数知识可知,当或时，取得最大值,故选项D正确.
故选：BCD.
10．BD
【分析】由于为等差数列，设公差为d，求出首项和公差，可得、的表达式，即可判断B；结合，判断A；求出、的表达式，结合数列单调性，即可判断C，D.
【详解】由题意知为等差数列，设公差为d，
由，，得，
解得，，则，，
则，B正确，
由，得不为递减数列，A错误，
因为，由于，故，
由于，，故的取值范围为，C错误，
由于，故，故D正确，
故选：BD
11．BC
【分析】设等比数列的公比为，求出的值，进而可求得数列的通项公式，解不等式，求出的取值范围，即可得解．
【详解】设等比数列的公比为，则，可得，
又，则，解得（负值舍去），
所以，，
令，解得，且当时，，
故当最大时，或5．
故选：BC．
12．AC
【分析】设出抛物线方程，得准线方程、焦点坐标，设出切点坐标、点坐标，由直线与抛物线相切且点在切线上得，对于A，只需验证直线的斜率是否相等；对于B，即可推翻；对于C，只需验证是否相似，即是否垂直，即只需验证是否成立；对于D，取，即可推翻结论.
【详解】不妨设抛物线方程为，
则抛物线焦点为，准线为，设，，

设的方程为，联立抛物线方程，化简并整理得，
，由得，
所以的方程为，
又点在直线上面，且，
即，整理得，同理有，
所以是方程的两个不同的根，
所以，
对于A，，同理，
所以直线的斜率相等，即三点共线，故A正确；
对于B，由，得
，
即，即一定是直角三角形，故B错误；
对于C，由，
所以，即，所以，
设，又，所以，
所以，从而，即，
所以构成等比数列，故C正确；
对于D，因为是方程的两个不同的根，
不妨取，则，即，
又， 即，所以此时，故D错误.
故选：AC
13．880
【分析】直接利用一元二次方程根和系数的关系及等差数列的性质求出结果．
【详解】由于等差数列中，若和是方程的两个根，
所以，，
所以．
故答案为：880．
14．/0.5
【分析】根据等比数列，得，求出的值即可.
【详解】因为等比数列的公比为q，且，，，
所以，即，即，解得或（舍），
故答案为：.
15．
【分析】由题意首先得，利用二倍角公式将方程转换为，进一步通过换元法以及三角函数的对称性即可求解.
【详解】由已知得，
由成等比数列，且成公比为2的等比数列，
得，所以，
所以，
令，得到，恰好有两个根，
而满足的的值有，满足的的值之和为，
故所有满足条件的的和为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先得到，进一步通过换元即可顺利得解.
16．
【分析】根据与之间的关系分析可知，，，结合等差数列通项公式运算求解；设，可知，结合数列单调性分析求解.
【详解】因为，且，
若，则，可得；
若，则，可得，
且，可得，
可知：数列奇数项、偶数项均成等差数列，
当为奇数，则；当为偶数，则；
综上所述：；
因为，可知，
设，
由题意可知：，
因为
，
可知数列为递增数列，则数列的最小项为，
则，所以的取值范围是.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求解①，根据等差数列基本量的计算即可求解②③，
（2）由裂项相消即可求解.
【详解】（1）若选①：在等差数列中，，
当时，，
也符合，∴；
若选②：在等差数列中，
，，解得
；
若选③：在等差数列中，
，解得
；
（2）由（1）得，
所以
18．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由，，可得，；（2）将已知递推式中的换成，两式相减可得数列的通项公式；（3）由裂项相消求出，利用不等式的性质即可证明.
【详解】（1）数列满足：，当时，，当时，得，解得.
（2）由①
当时，②
所以①②可得：，即，当时，也成立，所以
（3）由（2）知，则，由于，所以，故，得证.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为点均在二次函数的图象上，
可得，则有：
当时，；
当时，；
且也符合，所以．
（2）由（1）可得：，
所以
，
所以.
20．(1)
(2)．
【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解.
（2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集.
【详解】（1）①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则
，
所以当时，，
即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
21．(1)，，
(2)
【分析】（1）由等差数列、等比数列前项和基本量的计算即可求解.
（2）由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.
【详解】（1）设的公差为，则，
，
解得，
所以.
因为的前项和为，
所以，，
，
因为是等比数列，所以，即，
解得，
所以，公比，
.
（2）由（1）知，，
所以，
，
所以，
所以
所以.
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