第五章一元函数的导数及其应用 同步练习（含解析）

第五章一元函数的导数及其应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，下面说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在单调递减
C．函数的图像关于y轴对称
D．函数的最小值是
2．曲线（其中e是自然对数的底数）在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象经过点，则函数在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在上的函数的导函数是，函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若为函数（其中）的极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A． B． C．3 D．
8．函数的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有两个零点
C．直线是的切线
D．点是的对称中心
10．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为，则（ ）
A．函数是奇函数
B．函数是减函数
C．对于实数，当时，函数有两个零点
D．曲线存在与直线垂直的切线
11．已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5 B．的最大值为4
C．的最大值为 D．的最大值为
12．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若函数的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空题
13．若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数（其中为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则的取值范围为 ．
15．已知直线与曲线有且只有两个公共点，其中，则 .
16．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．请你参考这些信息，推知函数的极值点是 ；函数的值域是 ．

四、解答题
17．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的零点个数，
18．设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
19．已知函数，．
(1)若恒成立，求a的取值集合；
(2)证明：．
20．已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
21．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若存在实数，满足，求的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据函数周期性定义推理易得A项错误；通过对函数求导，判断导函数在的符号易判断B项；通过函数奇偶性定义易判断C项；对于D项，需判断函数的最小正周期，在一个周期上讨论导函数的符号，确定函数在不同区间上的单调性，得到一个周期上的最值，从而得解.
【详解】对于A项，由可得：，故不是函数的最小正周期，故A项错误；
对于B项，由可得：,当时，，故此时，
即函数单调递增，故B项错误；
对于C项，因函数定义域为R，且，
故函数为奇函数，故C项错误；
对于D项，由知函数的最小正周期为，
故只需考虑时函数的性质.
由可得：或.
因，则，故当时，，则，为增函数；
当时，，则，为减函数；
当时，，则，为增函数.
而，，
即时，，故当时，有，故D项正确.
故选：D.
2．B
【分析】先求出切点，再利用导数求出斜率，得到切线方程即可.
【详解】由题可知，，则，
∴，又，
∴函数的图象在点处的切线方程为.
故选：B.
3．C
【分析】利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
又，则.
故选：C.
4．B
【分析】点代入函数解析式，求出的值，利用导数求斜率，点斜式求切线方程.
【详解】将点的坐标代入，得，解得，故，
由，所以点处切线的斜率为，
故所求的切线方程为，即．
故选：B．
5．A
【分析】根据题意可构造函数，判断其单调性，结合题意可得，从而将转化为，利用函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知，
设，则，
仅当时，等号成立，所以单调递减．
又因为函数为奇函数，所以，即，
故由可得，
所以不等式的解集为，
故选：A
6．C
【分析】时为单调函数，无极值点不符合题意；令有两根为或，分、讨论，根据为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
由于，且，故有两根为或
①当时，若为极小值点，则需满足：，故有，
可得；
②当时，若为极小值点，则需满足：，故有：，
可得.
故A，B选项错误，综合①②有：.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据为极小值点得到的关系再结合不等式的性质解题.
7．A
【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解.
【详解】由求导得：，
有，即有两个不等实根，
显然是的变号零点，即函数的两个极值点，
依题意，，在等差数列中，，
所以.
故选：A
8．C
【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.
【详解】易得，而，故，故是奇函数，排除A,D，而，排除B，故C正确.
故选：C
9．BD
【分析】对于A，极值点不是点，由此即可判断；对于B，令即可判断；对于C，由即可判断；对于D，由即可判断.
【详解】
对于A，令，解得，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以有两个极值点，故A错误；
对于B，令，得或，
所以有两个零点，故B正确；
对于C，因为，所以直线不可能是的切线，故C错误；
对于D，因为，
所以点是的对称中心，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：A选项的关键是明确极值点不是“点”，由此即可顺利得解.
10．AC
【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，用导数判断B，转化为交点问题判断C，排除法判断D即可.
【详解】定义域为，
所以为奇函数，正确；
恒成立，所以函数是增函数，故B错误；
当时，恒成立，所以在上单调递减，
在上单调递增，且，
故当时，与直线有两个交点，故函数有两个零点.
C正确；
，且，
所以，故曲线不存在与直线垂直的切线.错误.
故选：AC.
11．BD
【分析】作出的图象，利用的几何意义是过原点的直线与相交点的斜率，结合图象进行求解即可.
【详解】的几何意义为过点，的直线的斜率.如图所示，
易知直线与的图象最多只有4个交点，
故的最大值为4，故A错误，B正确.
当直线与曲线相切时，取得最大值，
设切点为，则该直线的斜率为，
又，则，
所以，解得，得，
所以故C错误，D正确.
故选：BD.
12．BCD
【分析】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案.
【详解】依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，
即：，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又在处的切线方程为，如图，
由图可知，要使方程有两个根，则或．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有2个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
13．
【分析】将不等式化为，即得，讨论的取值范围，当时，构造函数，利用函数单调性可得，化为，继而再构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
所以，即,
①若，则，而，符合题意；
②若，令，则在恒成立，
∴在单调递增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，则可化为，
令，，
当时，；当时，，
在单调递减，单调递增，
∴，即有．综上：，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合的结构特点，合理变形为，即而化为，从而可采用构造函数的方法，利用导数即可求解问题.
14．
【分析】先利用导数求极大值，再利用极大值不小于1列不等式组即可求解.
【详解】由已知可得，函数的定义域为．
①当时，在内恒成立，
所以在内单调递增，此时函数无极值．
②当时，，由可得．
当时，，所以在内单调递增；
当时，，所以在内单调递减，
于是函数在处取得极大值．
由已知，，即，，
因为函数在内单调递增，所以，即，又，
所以，于是的取值范围为．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
15．0
【分析】根据题目信息得到与曲线相切于点，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，代入，式子变形后得到，得到答案.
【详解】由题意知，要使得直线与曲线有且只有两个公共点，
则直线与曲线相切于点，
由得，所以切线方程为，
即，又也在切线上，
所以，
即，
整理得
，
因为，所以，故
故答案为：0
【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：
（1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：；
（2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
16．
【分析】结合图形分析可知当点为线段的中点时，三点共线，此时函数取得最小值，再结合函数的图象的对称轴为，当在点或点时，取得最大值，可得函数的值域.
【详解】显然当点为线段的中点时，三点共线，
此时，且函数取得最小值，
函数的图象的对称轴为，当在点或点时，取得最大值，
当时，函数单调递减，
，所以值域为；
当时，函数单调递增，，所以值域为，
所以函数的值域为．
故答案为：；.
17．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求切点处切线的斜率，点斜式得切线方程；
（2）分类讨论，利用导数研究函数单调性，通过极值判断零点个数.
【详解】（1）当时，，其定义域为，，
，，函数在处的切点坐标为，切线斜率为，
因此，函数在处的切线方程为，即．
（2）令，
则．
因为，则，则．
当时，则，故，从而在上单调递减；
而，故当时，，
故在区间上无零点；
当时，令，则，
因为，则，
从而，即在上单调递减；
而，因此存在唯一的，使得，
并且当时，；当时，．
即当时，，当时，．
故当时，单调递增，当时，单调递减．
而，故；
取，，
所以存在唯一的，使得，即在区间上有唯一零点．
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上没有零点．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
18．(1)无最小值，最大值为
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解.
（2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明.
【详解】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数的最小值，转化恒成立条件列不等式可求的取值集合；
（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.
【详解】（1）由题可知函数的定义域为，
，令，得，
由x，，列表如下
x a
0
递减 极小值 递增
，
因为恒成立，
所以，．
令，则，
由x，，列表如下
x 1
0
递增 极大值 递减
．
又，，
，，
，故a的取值集合为．
（2）由（1）可知，当时，，
即，，
（当时，“”成立），
令，
，则，，
由累加法可知
累加可得，
即，
令，，
恒成立，
在区间上单调递减，
，
，
，
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程；
（2）求导，然后分和讨论求的单调区间；
（3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可.
【详解】（1）当时，，
得，则，，
所以切线方程为，即；
（2），
当时，恒成立，在上单调递增，无减区间，
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（3），
则，
因为是函数的两个极值点，
即是方程的两不等正根，
所以，得，
令，则，
得，
则，
所以
，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
即.
【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等.
21．(1)的极小值为1，无极大值；
(2).
【分析】（1）利用导数研究函数单调性，从而求极值；
（2）利用函数的导数可知，且，从而，再求范围即可.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取极小值为，无极大值；
（2）由，则，
若，则恒成立，函数单调递增，
若，则，解得或，与题意不符，所以，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取极小值为，
又，则，
所以，而
所以，
设，则，
所以为增函数，则，
所以，
下面证明当时，符合题意：
由可得，
化简得，设，
则，设，
则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
又，当时，，
所以一定存在使得，满足题意，所以；
所以，
令，
则可知，所以为增函数，
且
则，即.
【点睛】思路点睛：第（2）问中，根据条件，利用导数可分析出，从而先确定的取值范围，再求的取值范围．
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