第七章 复数 综合复习训练（含解析）

第七章复数综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数满足：（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
3．设复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
4．大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B． C．i D．
5．已知复数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知是复数，为的共轭复数.若命题：，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
8．已知，其中 是实数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
10．设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则
C．若，则的虚部为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
11．已知复数满足，则（ ）
A．的虚部是 B．
C． D．
12．已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则 ．
14．，若，则 ．
15．如果向量对应复数，绕点按逆时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，那么与对应的复数是 （用代数形式表示）.
16．如图，已知复平面上的平行四边形OACB，O为坐标原点，点A、B分别对应的复数为、，M是OC、AB的交点，则点C，M分别对应的复数为 、 ．
四、解答题
17．设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知复数（，i为虚数单位），且为实数.
（1）求复数z；
（2）设复数（x，）满足，求的最小值.
19．已知复数，，其中a是正实数．
(1)若，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，求a的值．
20．已知复数.
(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
(2)若，试求实数、的值.
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参考答案：
1．D
【分析】根据复数的运算求解复数，得到，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】，
则，在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D．
2．C
【分析】利用复数相等的条件求出z，再求的虚部.
【详解】设（），则，可得，
∵，，解得、，∴，∴.
故选：C.
3．A
【分析】根据复数的运算法则及共轭复数的概念求得复数.
【详解】，∴，
故选：A.
4．D
【分析】先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
5．B
【分析】利用复数除法运算可求得，由共轭复数定义可得结果.
【详解】，.
故选：B.
6．A
【分析】设，则，则，化简命题，再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】设，则，则
命题：等价于，即
命题：等价于，即或，即或，
∴是成立的充分不必要条件，
故选：A.
7．A
【分析】利用特列法可判断①②③都不正确.
【详解】在①中时，不为纯虚数，故①错误；
在②中时，，但，故②错误；
在③中，时，不是纯虚数，故③也是错误的.
故选：A.
8．C
【解析】根据，利用复数相等求得x，y，再利用求模公式求解.
【详解】因为，
所以，，
解得，，
所以，
故选：C.
9．BD
【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.
【详解】设则，
不满足，也不满足，故选项AC错误；
对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，
由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；
对于D，设，则
，
所以，
，故选项D正确；
故选：BD.
10．BD
【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D.
【详解】A中，令，则，故A错误；
B中，若点Z的坐标为，则，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故B正确；
C中，易知的虚部为，故C错误；
D中，记，则
所以，
圆的面积为，圆的面积为，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD
11．BCD
【分析】根据复数的运算法则，求解，逐项判断正误.
【详解】∵，∴，
故，据此可判断
A项，的虚部为-1，故A项错误；
B项，，故，故B项正确；
C项，，故C项正确；
D项，，故D项正确；
故选：BCD.
12．BC
【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且，
则，当时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确，
又由、，∴，∴B选项一定正确；
由，∴C选项一定正确，
由不一定是实数，∴D选项不一定正确.
故选：BC.
13．/
【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.
【详解】解：设复数，则，所以，
又，且的虚部为-2，则，
因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，
故，解得，故.
故答案为：.
14．
【分析】根据共轭复数的定义及性质结合复数模的定义即可求解.
【详解】解：因为，所以，则，故
所以.
故答案为：.
15．
【解析】将复数变形为，根据题意可得出向量对应的复数为，然后利用复数的乘法法则可得出结果.
【详解】.
所求复数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数三角形式的乘法计算，涉及复数旋转的几何意义，考查计算能力，属于基础题.
16．
【分析】平行四边形OACB中，由复数的几何意义，结合向量运算即可求
【详解】由题意，，，
平行四边形OACB中，，故C分别对应的复数为，
M为OC中点，则，故M分别对应的复数为.
故答案为：；.
17．(1)、或、
(2)存在，
【分析】（1）原方程可化为，再设（），代入前者化简后可求的值，从而可求、；
（2）由题设可有，根据其模为结合复数的运算性质可得，从而可求.
【详解】（1）由可得：，代入已知方程得，
即，
令（），∴，即，
∴，解得或，
∴、或、；
（2）由已知得，又，∴，
∴，
∴，
整理得即，
所以，故，∴，
即，∴存在常数，使得等式恒成立.
18．（1）；（2）
【解析】(1)设复数，化简, 由复数的相等求解.
(2) 设（x，）,由得，可得 的关系，从而解出答案.
【详解】解：（1）由（），
得，
为实数，
，.
（2）设（x，），，
，
，即，
，
即复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.
的最小值为.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
19．(1)2
(2)2
【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值；
（2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值；
【详解】（1）解：∵，，，
∴，从而，解得，
所以实数a的值为2．
（2）依题意得：，
因为是纯虚数，所以：，解得：或；
又因为a是正实数，所以a＝2．
20．(1)复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为
(2)
【分析】（1）先化简复数.直接求出实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
（2）将代入方程，利用复数相等的条件即可求解.
【详解】（1）因为.
则复数的实部为，虚部为，模长为，
表示复平面上的点的坐标为.
（2）将代入方程得：，
∴，∴.
答案第1页，共2页
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