第十章概率 综合复习训练（含解析）

第十章概率综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从一批产品中取出三件产品，设为“三件产品全不是次品”，为“三件产品全是次品”，为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．任何两个均不互斥 B．任何两个均互斥
C．与互斥 D．与互斥
2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是
A． B． C． D．
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨
4．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．我国某城市2019年4月的空气质量状况统计如下表所示:
污染指数 30 60 100 110 130 140
天数 3 5 10 7 4 1
当时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市2019年4月空气质量达到良或优的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为
A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.32
7．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
二、多选题
9．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
10．某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲 乙 丙 丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据,下列结论正确的是
A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
11．一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是
A．任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C．每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
12．(多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是
A．至少有1个红球与都是红球 B．至少有1个红球与至少有1个白球
C．恰有1个红球与恰有2个红球 D．至多有1个红球与恰有2个红球
三、填空题
13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为 .
14．从m个男生和n个女生（10≥m＞n≥6）中任选2个人当班长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同，如果A的概率和B的概率相同，则（m，n）可能为 .
15．某产品分甲、乙、丙三级，其中甲级属正品，乙、丙两级属次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为 .
16．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 .采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 .
四、解答题
17．某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立．
(1)求第1题答完甲得1分的概率；
(2)求第2题答完比赛结束的概率；
(3)假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率．
18．甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
(2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
19．我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰福建舰下水试航，实现了中国航空母舰建造史上的巨大技术跨越，是新时代中国强军建设的重要成果.某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生国防意识，组织了一次国防知识竞赛活动，其中成绩在内的属于优秀.为了解本次竞赛活动的成绩，随机抽取了100位学生的成绩（均在内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求样本的中位数，并估计本次竞赛学生成绩的优秀率；（结果保留两位小数）
(2)从样本成绩在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求这2人中至少有一个来自组的概率.
20．在第19届杭州亚运会上中国乒乓球队勇夺6金．比赛采用“11分制”规则：11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位亚运选手进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.7，乙发球时乙得分的概率为0.5，各球的结果相互独立，在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求且甲获胜；
(2)求．
21．已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况，如图，公司将每连续3个月的销售量做为一个观测组，对该公司这种产品的销售量（单位：万）进行监测和预测.
(1)现从产品的10个观测组中任取一组，求组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率；
(2)若当月的销售量大于上一个月的销售量，则称该月的销售指数增长；若当月的销售量小于上一个月的销售量，则称该月的销售指数下降.（已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量）.现从10个观测组中任取一组，求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率.
(3)假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响，预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大（直接写出结果）.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】首先根据题意得到，，表示的事件，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】由题知：表示“三件产品全是正品”；表示“三件产品全是次品”，
表示“三件产品一件次品，二件正品”，“三件产品两件次品，一件正品”，
“三件产品全是次品”，三种情况.
所以与互斥，与互斥，与不互斥.
故选项A，B, C错误，D正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查互斥事件的判断，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
2．D
【分析】由甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案．
【详解】甲解决这个问题的概率是，
甲解决不了这个问题的概率是，
乙解决这个问题的概率是，
乙解决不了这个问题的概率是
则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为
则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．
3．B
【分析】根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；
13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；
车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；
明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.
4．B
【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可.
【详解】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；
③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．
正确的是①③⑤⑥．
故选：B
【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.
5．A
【分析】由表知，4月空气质量达到良或优的有18天，即可算出概率
【详解】由表知，4月空气质量达到良或优的有
故概率为
故选：A
【点睛】本题考查的是概率中的古典概型，较简单
6．B
【解析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.
【详解】设“第一次投进球”为事件，“第二次投进球”为事件，则得2分的概率为.故选B.
【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.
7．A
【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
8．A
【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，故选A．
考点：排列组合问题．
9．BD
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确
故选：BD
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题
10．BCD
【解析】根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.
【详解】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;
对于B, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,
顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为,故B正确;
对于C, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲 丙 丁,另有200位顾客同时购买了甲 乙 丙,其他顾客最多购买了2种商品,
顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,故C正确;
对于D, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,
顾客仅购买1种商品的概率可以估计为,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11．ACD
【解析】先记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品，用列举法，结合古典概型的概率计算公式，逐项判断即可.
【详解】记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品.
A选项,样本空间,
“恰有一件次品”的样本点为,,,
因此其概率，A正确；
B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间,
因此,B错误；
C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;
D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查古典概型的相关计算，熟记古典概型的概率计算公式，以及列举法确定基本事件个数即可，属于常考题型.
12．CD
【解析】根据互斥不对立事件的定义辨析即可.
【详解】根据互斥事件与对立事件的定义判断.
A中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;
B中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;
C中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,
D符合题意.
故选：CD
【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.
13．
【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.
【详解】由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，
则至少取得一个红球的概率为.
故答案为：.
14．（10，6）
【分析】由题意可得，化简得（m﹣n）2＝m+n，即可得出结果.
【详解】从m个男生和n个女生（10≥m＞n≥6）中任选2个人当班长，
假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同，
A的概率和B的概率相同，
则，
整理，得（m﹣n）2＝m+n，
，则（m，n）可能为（10，6），
故答案为：（10，6）
【点睛】本题考查了古典概型概率知识，考查了运算能力，属于中档题目.
15．0.96
【解析】根据题意，设抽取产品的等级分别为事件、、，且事件，，彼此互斥，根据概率事件加法公式，即可求解.
【详解】记“抽出的产品为正品”为事件，“抽出的产品为乙级产品”为事件，“抽出的产品为丙级产品”为事件，则事件，，彼此互斥，且与是对立事件，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查对立事件概率公式，属于基础题.
16．
【分析】利用相互独立事件得概率公式计算即可求解.
【详解】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1，发送0接收0，发送1接收1的3个事件的积.
3次发送和接收相互独立，所以所求概率为.
采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1这四个事件的和.
所以所求概率为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分甲抢到并答对和乙抢到答错两种情况求解；
（2）甲得了2分，或乙得了2分两种情况求解；
（3）分四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，列方程求解.
【详解】（1）记“答完1题甲得1分”为事件A，则，第1题答完甲得1分的概率为．
（2）第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分．
记“答完1题乙得1分为事件B，”则．
记“第2题答完比赛结束”为事件C，．
（3）记甲最终胜出的概率为．答完2题，
有四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，
其中甲乙各得1分，与初始状态（即比赛前）的情况相同，
从而，
即，解得，即甲最终胜出的概率为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；
（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.
【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 .
（2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”，
““博学队”猜对三个数学名词”，所以，
，则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.
19．(1)中位数为，估计本次竞赛学生成绩的优秀率
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求出x的值，然后判断出中位数所在的区间即可求解；
（2）按分层抽样的定义判断每组各抽取多少同学，然后利用古典概率模型即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知
解得，
样本中数学成绩在内的频率，在内的频率，
在内的频率为，
样本的中位数落在内，
设样本的中位数为，则
解得：
样本的中位数
由样本估计总体，得本次竞赛成绩的优秀率约为；
（2）由频率分布直方图可知，设事件A为这2人中至少有一个来自组，
按分层抽样的方法，抽取5名学生中成绩在内的有3名，分别记为，
在内的有2名，分别记为1，2，
则从5人中抽取2人的所有抽取情况有，共10种，
其中至少有一个来自组的有，共7种，
故所求概率，
所以这2人中至少有一个来自组的概率为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）（2）分析所求概率对应的情况，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式即可得解.
【详解】（1）“且甲获胜”就是平后，两人又打了2个球比赛结束，
则这两个球均是甲得分.
因此，且甲获胜.
（2）就是平后，两人又打了4个球比赛结束，
4个球的得分情况是：前2个球甲、乙各得1分，后2个球均是甲得分或均是乙得分，
设事件“且甲获胜”，事件“且乙获胜”，
则，
，
.
21．(1)
(2)
(3)“销售指数增长”的概率估计值最大
【分析】（1）列举出10个观测组中的数据，求出符合题意的观测组数据个数即可得出概率；
（2）将销售指数增长记为“1”，销售指数下降记为“0”，得出每个月的增长指数情况，求出销售指数增长月份恰有2个的数据组数，即可得出结论；
（3）易知12月份为“销售指数增长”月，求出连续两个月为增长的概率即可得出结论.
【详解】（1）根据题意可知，四个观测组中的数据分别为：
，
；
至少有一个高于50万的数据有8组，
所以从10个观测组中任取一组，组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率；
（2）将销售指数增长记为“1”，销售指数下降记为“0”，
则10个观测组中的销售指数可表示为：
，；
观测组中销售指数增长月份恰有2个的共有6组，
即从10个观测组中任取一组，抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率；
（3）易知12月份为“销售指数增长”月，12个月当中每个月的销售指数可表示为0，1，1，1，0，0，1，1，0，1，1，1，
易得“销售指数增长”的月份共有8个，
上个月增长下个月也增长的月份共5个，即可知2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值分别为和,
因此2024年1月份“销售指数增长”的概率估计值最大.
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