2023-2024学年黑龙江省牡丹江重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省牡丹江重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A. 任意买张电影票，座位号是奇数
B. 掷枚骰子，点数小于等于
C. 有张彩票，其中张是中奖彩票，从中随机买张是中奖彩票
D. 一袋中装有个红球，个白球，从中随机摸出个球是红球
2.已知等比数列的前项和，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知事件与事件相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
4.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要最少移动的次数，数列满足，且，则解下个环所需要最少移动的次数为
( )
A. B. C. D.
5.我国传统文化中有天干地支之说，天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”其中甲、乙五行属木，归东方，丙、丁五行属火，归南方，戊、己五行属土，归中央，庚、辛五行属金，归西方，壬、癸五行属水，归北方在天干十个字中随机取两个，则它们五行属性相同的概率是( )
A. B. C. D.
6.高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前项和公式，已知等差数列的前项和为，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.是等差数列的前项和，且，则时，的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列满足，其前项和则( )
A. 数列的公比为 B. 数列为递减数列
C. D. 当取最小值时，
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列中，公差为，且则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
10.甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，记事件“甲独立译出密码”，事件“乙独立译出密码”，则( )
A. 与为相互独立事件 B. 与为对立事件
C. 两人都译出密码的概率为 D. 恰有一人译出密码的概率为
11.设数列的前项和为，若，则下列说法中正确的有( )
A. 存在，，使得是等差数列
B. 存在，，使得是等比数列
C. 对任意，，都有一定是等差数列或等比数列
D. 存在，，使得既不是等差数列也不是等比数列
12.在数列中，如果对任意，都有为常数，则称数列为比等差数列，称为比公差则下列说法错误的是( )
A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差
B. 等差数列一定不是比等差数列
C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列
D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数
频率
视频率为概率，如果这名运动员只射击一次，则他命中的环数小于环的概率为______．
14.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是______．
15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将到这个数中，能被除余且被整除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有______项
16.在数列中，，且前项和满足，则数列的通项公式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列中，且，
求；
求数列的前项和的最大值
18.本小题分
在某地区进行流行病调查，随机调查了名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
估计该地区这种疾病患者的平均年龄同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
估计该地区一人患这种疾病年龄在区间的概率；
19.本小题分
已知在递增的等差数列中，，．
求和；
求的通项公式．
20.本小题分
在，且，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设数列为等差数列，其前项和为，___数列为等比数列，，，求数列的前项和．
21.本小题分
甲、乙两人玩一个游戏，规则如下：一个袋子中有个大小和质地完全相同的小球，其中个红球，个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出个球，然后让乙猜，若乙地猜测与摸出的球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮每轮游戏都由甲摸球，乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种．
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．
请回答
如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止，若乙按照中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
22.本小题分
已知数列的前项和满足：
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
若数列满足，为数列的前项和，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对，由对称性可知任意买张电影票，座位号是奇数的概率为；
对，掷枚骰子，点数小于等于的概率为；
对，有张彩票，其中张是中奖彩票，从中随机买张是中奖彩票的概率为；
对，一袋中装有个红球，个白球，从中随机摸出个球是红球的概率为，
发生的可能性最大的为对应的事件，
故选：．
根据古典概型的概率公式即可求解．
本题考查古典概型的概率公式的应用，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：等比数列中，当时，，
因为等比数列的前项和，
所以．
故选：．
由已知结合等比数列的求和公式的特点即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意事件与事件相互独立，，，
所以，
故选：．
由题意两个相互独立事件的和事件的概率应该为两事件概率之和减去这两事件同时发生的概率，可得答案．
本题考查了相互独立事件及其概率的计算公式，和事件的概率计算公式，解题的关键是熟知相互独立事件和和事件的概率计算公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：数列的递推公式求数列的项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用数列的递推公式的应用求出结果．
【解答】
解：数列满足，且，
则：
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：从天干十个字中随机取两个，所有取的种类为，
共有金木水火土五行，所以随机取的两个五行相同的概率为．
故选：．
根据古典概型概率公式，结合排列数求法，即可得解．
本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列公式及性质的应用，属于中档题．
由题意得，从而可得，再代入前项和公式即可．
【解答】
解：，，，
，
，
又，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：是等差数列，，
，即，
，则数列满足：当时，；当时，，
，故，，
时，的最大值为．
故选：．
根据，分析可得数列满足：当时，；当时，，从而易知时，的最大值．
本题考查等差数列的性质，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：等比数列满足，其前项和，
由已知，当时，，则，即，
当时，，所以，由等比数列知：公比为，
所以，即，所以，、选项错误；
又，，则公比，所以数列为递增数列，选项错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时公比为，
所以数列的通项公式为，选项正确．
故选：．
利用退一相减法可得数列的递推公式，进而可得公比为，，进而可判断数列的单调性，再根据基本不等式可得当且仅当时，取最小值，进而可得公比与通项公式．
本题考查等比数列的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，且，必有，
依次分析选项：
对于，，A正确；
对于，，即，B错误；
对于，，C正确；
对于，，D正确．
故选：．
根据题意，分析可得且，结合等差数列的性质和前项和公式分析选项，即可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为事件是否发生对事件发生的概率没有影响，故A与为相互独立事件，故A正确，B错误；
记事件两人都译出密码，则，故C正确；
记事件“恰有一人译出密码”，
则，故D正确．
故选：．
根据相互独立事件的概念判断、，再根据独立事件与互斥事件的概率公式计算即可判断、．
本题主要考查相互独立事件，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列与等比数列的判断，属于中档题．
把换成写出新的等式，原等式与新等式作差，分别举特例逐一判断即可．
【解答】
解：，
当时，，即，
当时，，
两式作差得：，
当，时，，满足此式，故A正确；
当，时，，数列是等比数列，故B正确；
当且，时，，可得：，
，
数列既不是等差也不是等比数列，故C错误，D正确．
故答案选：．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，若为等比数列，公比，则，，
所以，
故选项A错误；
对于选项B，若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；
对于选项C，令，，
则，
此时无意义，
故选项C错误；
对于选项D，因为数列满足，，
所以，，
故，
所以不是比等差数列，
故选项D正确．
故选：．
根据比等差数列定义直接验证可判断选项A；令，依定义验证可判断选项B；令，，然后依定义验证可判断选项C；根据递推公式求出前项，然后依定义验证可判断选项D．
本题考查了等差数列及等比数列的性质，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，小于环的概率为．
故答案为：．
由概率的加法公式即可求得答案．
本题考查概率的求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为等比数列中，
若，是方程的两根，
则，，
所以，，
则，
又，
则．
故答案为：．
由已知结合方程的根与系数关系及等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了方程的根与系数关系及等比数列的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，既是的倍数，又是的倍数，所以是的倍数，
即，所以，
当时，，
当时，，
故，，，，，数列共有项．
故答案为：．
既是的倍数，又是的倍数，即，从而，由此能求出结果．
本题考查了数列知识的应用，主要考查了数列通项公式的求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减得，
整理得，
因为，所以，即，
又，故数列是首项为，公差为的等差数列，
所以
故答案为：．
先用与的关系求出数列的递推公式，可以判断出数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式．
本题考查数列的递推关系式的应用．通项公式的求法．考查计算能力．
17.【答案】解：由，可知，，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，
由可知，数列单调递减，且，，
当时，的前项和取得最大值
【解析】由已知可知，，结合等差数列的定义及通项公式可求；
由可知，数列单调递减，且，，结合等差数列的性质可求．
本题主要考查了等差数列的定义，通项公式及求和公式的应用，等差数列的和的最值的求解关键是确定单调性．
18.【答案】解：根据频率分布直方图，患者的平均年龄为：
．
年龄在区间的概率为：．
【解析】根据频率分布直方图的均值公式求解即可；
将年龄在区间的概率相加即可．
本题主要考查利用频率分布直方图求数据的均值和概率，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意，因为，所以，
解得，或，，
又因为数列递增数列，所以，．
根据题意，设数列的公差为，
由，，可得，解得，，
所以数列的通项公式为．
【解析】由，结合题意得到方程组，即可求解；
设数列的公差为，由列出方程组，求得，的值，即可求解．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
20.【答案】解：方案一：选条件
依题意，当时，，解得，
当时，由数列为等差数列，可知，
则，
化简整理，可得，
当时，也满足上式，
，，
，
，
又，，
设等比数列的公比为，则，
故，，
，
．
方案二：选条件
依题意，设等差数列的公差为，则
，
化简整理，得
，
解得，
，，
，
，
又，，
设等比数列的公比为，则，
故，，
，
．
方案三：选条件
依题意，设等差数列的公差为，则
，，
，
化简整理，得
，
解得，
，，
，
，
又，，
设等比数列的公比为，则，
故，，
，
．
【解析】本题三个条件均根据等差数列的通项公式及前项和公式代入进行计算，列出关于首项与公差的方程，解出与的值，即可得到数列的通项公式，进一步即可计算出的表达式，以及通过等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式，然后运用分组求和法即可计算出前项和．
本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用分组求和法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
21.【答案】解：用，表示两个红球，，表示两个白球，
甲不放回取两球的所有结果：，，，，，，，，，，，共个不同结果，他们等可能，
记事件为“第二次取出的球是红球”，其所含结果有，，，，，，共个不同结果，
记事件为“两次取出球的颜色不同”，其所含结果有，，，，，，，，共个不同结果，
，，即，
所以选择猜法二．
每一轮乙获胜的概率为，游戏结束时，乙获胜的事件是乙在第一、二轮胜的事件，第一轮负另外两轮胜的事件，第二轮负另外两轮胜的事件的和，他们互斥，
所以．
【解析】列举法求出事件的所有可能结果，根据古典概型求解即可；
根据互斥事件的性质求解即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
22.【答案】证明：当时，，
当时，
由两式相减得：，即，
，，
当时，，则，
是以为首项，为公比的等比数列，
，．
，
，
则
由得：
，
．
当时，，；
当时，，，
综上得：．
【解析】由，得当时，，两式相减得，由此能推导出是以为首项，为公比的等比数列，进而能求出数列的通项公式．
，从而，进而，由此利用错位相减法能求出，从而能证明．
本题考查等比数列的证明，考查数列的前项和不小于的证明，考查等比数列、错位相减法、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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