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(总课时16)§2.1两条直线的位置关系（1）
一.选择题：
1.如图,∠1和∠2是对顶角的是( B )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是 (A)
A．一个锐角的余角是一个锐角 B．任何一个角都有余角
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余 D．一个角的补角一定大于这个角
3．已知∠α＝35°，则∠α的余角的度数是(A)
A．55° B．65° C．145° D．165°
4.若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是 (B)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5.下列判断正确个数是( B )
①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；
③锐角和钝角互补；④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二.填空题：
6.如图1，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC ＝120°，则∠BOD＝120°，∠AOE＝30°．
7.如图2，直线AB、CD相交于点O，若∠1∶∠2＝1∶4，则∠1＝36°，∠3＝72°.
8.如图3，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD＝150°，∠DOE＝80°，则∠AOF＝80°
9.如图4，直线AB，CD相交于点O，∠COE=∠DOE=90°，∠AOF=∠BOF=90°，则图中与∠2相等的角共有3个.
10.已知∠α的余角是其补角的，则∠α的度数为45°.
三.解答题：
11.如图5,AB,CD,EF相交于点O,∠AOC=65°,∠DOF=50°.
(1)求∠BOE的度数;(2)计算∠AOF的度数,你发现射线OA有什么特殊性吗
解(1)因为∠AOC＝65°，所以∠BOD＝∠AOC＝65°．
又因为∠BOE＋∠BOD＋∠DOF＝180°，
所以∠BOE＝180°－65°－50°＝65°．
(2)因为∠AOF＝∠BOE＝65°，且∠AOC＝65°，所以∠AOF＝∠AOC，
所以射线OA是∠COF的平分线．
12.如图6,A,O,B在同一条直线上,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数.(2)图中有哪几对角互为余角
(3)图中有哪几对角互为补角
解:(1)由A,O,B在同一条直线上得∠AOB=180°.
因为∠EOC=90°,所以∠AOE+∠BOC=180°-90°=90°.
又因为∠BOC∶∠AOE=3∶1,所以∠BOC=67.5°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-67.5°=22.5°.
(2)∠AOE与∠DOE,∠AOE与∠BOC,∠DOE与∠DOC,∠DOC与∠BOC互为余角.
(3)∠AOE与∠EOB,∠AOD与∠DOB,∠AOC与∠BOC,∠EOD与∠AOC,∠DOC与∠EOB,∠AOD与∠EOC,∠BOD与∠EOC互为补角.
13.下列各图中的直线都相交于一点.
(1)请观察上图并填下表:
图形编号 ① ② ③ …
对顶角的对数 2 6 12 …
(2)若n条直线相交于一点,则共有多少对对顶角
解：(2)n条直线相交于一点，共有n（n-1）对对顶角．
图4
图3
图1
图2
图5
图6
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(总课时16)§2.1两条直线的位置关系（1）
【学习目标】掌握平面内两直线的位置关系，理解对顶角、补角、余角的定义及性质．
【学习重难点】余角、补角、对顶角的性质及应用.
【导学过程】
一.情境引入
生活中处处可见，在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴涵着无数的相交线和平行线.
我们知道：
①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。
②若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
③在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
二.探究新知
1.对顶角及其性质
（1）画图：画出直线AB和直线CD，交于点O，如图1.
（2）观察所画图形：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？
（3）定义：直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有公共的顶点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
（4）结论：∵∠1+∠3=180°（平角定义）,∠2+∠3=180°（平角定义）
∴∠1=∠2（等量代换）,从而可以得到对顶角的性质：对顶角相等.
练习1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ D ）
2.补角、余角及性质
（1）如图2,点D,O,E在一条直线上,则∠DOA+∠AOE=180°.
如果两个角的和是180°那么称这两个角互为补角.
（2）如图2,∠DON=90°,∠NOE=90°,则∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.
如果两个角的和是90°,那么称两个角互为余角.
（3）如图2,若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∠2与∠3有什么关系相等.
若∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=180°,∠β与∠γ有什么关系相等.
由此得到的结论是：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
注:①互为余角（互为补角）是对两个角而言的；
②互为余角（互为补角）仅仅表示了两个角的数量关系,而没有限制角的位置关系.
练习2.求下列各角的余角和补角：
（1）∠α=5°，余角：85°，补角：175°，（2）∠α=30°，余角：60°，补角：150°，
（3）∠α=95°，没有余角，补角：85°，（4）∠α=120°，没有余角，补角：60°
三.典例与练习
例1.如图3，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠AOC、∠2的度数.
解：∵∠1＝40°，∠BOC＝110°，∴∠BOF=70°
∴∠2=∠BOF=70°
∵∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC＝180°-110°=70°
练习3.如图4，直线a、b相交，∠1=38°，则∠2=142°，∠3=38°，∠4=142°.
例2.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角为x度，则它的补角为：（180-x）度，余角：(90-x)度.
由题意得:180-x=4（90-x），解得：x=60°
练习4.填空：
（1）一个角和它的余角相等，这个角为45度
（2）一个角和它的补角相等，这个角为90度，
(3)已知∠A=400，则∠A的余角是500 ，补角是1350
练习5.下列说法正确的是（ B ）
A.相等的角是对顶角 B.对顶角相等
C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.有公共顶点且又相等的角是对顶角
四.课堂小结
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
3.同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
五.分层过关
1.一个锐角是38度，它的余角的度数是（ B ）A．38° B．52° C．142° D．62°
2.直线与，相交得如图5所示的5个角，其中互为对顶角的是 A
A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4
3.如图6,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为35°.
4.如图7，直线AB和CD交于点O，OE平分∠BOC，∠FPD=90，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOF的度数为54°．
5.如图8，直线、相交于，是直角，∠1=48°，则∠2=42°．
6.如图9，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零
件的圆心角的度数吗？你能说出所量角的度数是多少吗？为什么？
解：扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组成的角是对顶角。
因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。根据图形可得：所量角是40°.
7.如图10，O为直线AB上的一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOC与∠COE互余．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）说明OE是∠BOC的平分线．
解：（1）∵OD平分∠AOC
∴∠AOD＝∠DOC＝∠AOC＝×48°＝24°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣24°＝156°；
（2）∵∠DOC与∠COE互余，∴∠DOC+∠COE＝90°,
∵∠DOC＝24°，∴∠COE＝90°﹣24°＝66°，
∵∠BOD＝156°，∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝156°﹣90°＝66°，
∴∠COE＝∠BOE．∴OE是∠BOC的平分线．
图1
A
D
O
N
B
E
3
1
2
4
图2
图3
图4
图8
图5
图6
图7
图9
图9
图10
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一.选择题：
1.如图,∠1和∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是 ( )
A．一个锐角的余角是一个锐角 B．任何一个角都有余角
C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余 D．一个角的补角一定大于这个角
3．已知∠α＝35°，则∠α的余角的度数是( )
A．55° B．65° C．145° D．165°
4.若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
5.下列判断正确个数是( )
①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；
③锐角和钝角互补；④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二.填空题：
6.如图1，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC ＝120°，则∠BOD＝_____，∠AOE＝_____．
7.如图2，直线AB、CD相交于点O，若∠1∶∠2＝1∶4，则∠1＝_____，∠3＝_____.
8.如图3，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD＝150°，∠DOE＝80°，则∠AOF＝_____
9.如图4，直线AB，CD相交于点O，∠COE=∠DOE=90°，∠AOF=∠BOF=90°，则图中与∠2相等的角共有_____个.
10.已知∠α的余角是其补角的，则∠α的度数为_____.
三.解答题：
11.如图5,AB,CD,EF相交于点O,∠AOC=65°,∠DOF=50°.
(1)求∠BOE的度数;(2)计算∠AOF的度数,你发现射线OA有什么特殊性吗
12.如图6,A,O,B在同一条直线上,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数.(2)图中有哪几对角互为余角
(3)图中有哪几对角互为补角
13.下列各图中的直线都相交于一点.
(1)请观察上图并填下表:
图形编号 ① ② ③ …
对顶角的对数 …
(2)若n条直线相交于一点,则共有多少对对顶角
图4
图3
图1
图2
图5
图6
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(总课时16)§2.1两条直线的位置关系（1）
【学习目标】掌握平面内两直线的位置关系，理解对顶角、补角、余角的定义及性质．
【学习重难点】余角、补角、对顶角的性质及应用.
【导学过程】
一.情境引入
生活中处处可见，在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴涵着无数的相交线和平行线.
我们知道：
①在同一平面内，两条直线的位置关系有_____和_____两种。
②若两条直线_____一个公共点，我们称这两条直线为__________.
③在同一平面内，不相交的两条直线叫__________.
二.探究新知
1.对顶角及其性质
（1）画图：画出直线AB和直线CD，交于点O，如图1.
（2）观察所画图形：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？
（3）定义：直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有公共的顶点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫做__________.
（4）结论：∵∠1+∠3=180°（__________）,∠2+∠3=180°（__________）
∴∠1=∠2（等量代换）,从而可以得到对顶角的性质：_______________.
练习1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
2.补角、余角及性质
（1）如图2,点D,O,E在一条直线上,则∠DOA+∠AOE=_____.
如果两个角的和是_____，那么称这两个角互为_____.
（2）如图2,∠DON=90°,∠NOE=90°,则∠1+∠3=_____,∠2+∠4=_____.
如果两个角的和是_____,那么称两个角互为_____.
（3）如图2,若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,∠2与∠3有什么关系_____.
若∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=180°,∠β与∠γ有什么关系_____.
由此得到的结论是：同角或等角的余角_____,同角或等角的补角_____.
注:①互为余角（互为补角）是对_____角而言的；
②互为余角（互为补角）仅仅表示了两个角的数量关系,而没有限制角的_____关系.
练习2.求下列各角的余角和补角：
（1）∠α=5°，余角：_____，补角：_____，（2）∠α=30°，余角：_____，补角：_____，
（3）∠α=95°，__________，补角：_____，（4）∠α=120°，__________，补角：_____
三.典例与练习
例1.如图3，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠AOC、∠2的度数.
练习3.如图4，直线a、b相交，∠1=38°，则∠2=_____，∠3=_____，∠4=_____.
例2.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
练习4.填空：
（1）一个角和它的余角相等，这个角为_____度
（2）一个角和它的补角相等，这个角为_____度，
(3)已知∠A=400，则∠A的余角是___0 ，补角是_____0
练习5.下列说法正确的是（ ）
A.相等的角是对顶角 B.对顶角相等
C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.有公共顶点且又相等的角是对顶角
四.课堂小结
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：__________.
2.对顶角的性质：__________.
3.同角或等角的补角_____；同角或等角的余角_____.
五.分层过关
1.一个锐角是38度，它的余角的度数是（ ）A．38° B．52° C．142° D．62°
2.直线与，相交得如图5所示的5个角，其中互为对顶角的是
A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4
3.如图6,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为 .
4.如图7，直线AB和CD交于点O，OE平分∠BOC，∠FPD=90，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOF的度数为_____．
5.如图8，直线、相交于，是直角，∠1=48°，则∠2=____．
6.如图9，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零
件的圆心角的度数吗？你能说出所量角的度数是多少吗？为什么？
7.如图10，O为直线AB上的一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOC与∠COE互余．
（1）求出∠BOD的度数；
（2）说明OE是∠BOC的平分线．
图1
A
D
O
N
B
E
3
1
2
4
图2
图3
图4
图8
图5
图6
图7
图9
图9
图10
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