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(总课时17)§2.1两条直线的位置关系（2）
【学习目标】理解两直线互相垂直的定义，认识符号表示，会画垂线，掌握有关性质．
【学习重难点】了解定义，认识符号，掌握性质，会画垂线.
【导学过程】
一.知识回顾
1.同一平面内两条直线的位置关系有平行和相交.
2.如图1，已知：直线AB与CD交于点O,∠EOD=900,回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；补角是∠BOE.
（2）∠AOC的余角是∠AOE,；补角是∠BOC,∠AOD；对顶角是∠BOD.
二.探究新知
知识点一：垂直的概念及表示方法
1.观察下面图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？
2.定义：两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直（perpendicular）,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
3.垂直符号“⊥”：如图2，如果用AB，CD表示互相垂直的直线，可以记作“AB⊥CD”其中O点是垂足；如图3，如果用l,m表示互相垂直的直线，可以记作l⊥m；其中O点是垂足.
知识点二：画垂线及垂线段
1.在一张白纸上画出两条互相垂直的直线
2.用直尺在方格纸上画出两条互相垂直的直线
3.用折纸的方法折出互相垂直的直线
知识点三：垂线的性质：
1.过点A画直线l的垂线.
(1)点A在直线m上 (2)点A在直线m外
2.性质①：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.如图4，假设直线m是一条河流，直线外一点P，有一只小马，想要去喝水，它会走哪条路线最快到达河边？每条路线有什么特征？
4.如图5，点P是直线m外一点，PO⊥m，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
性质②：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
5.点到直线的距离：
如图5，过点P作直线m的垂线，垂足为O，线段PO的长度叫做点P到直线m的距离。
三.典例与练习
例1.如图6，若∠1=57°，∠2=33°，则CD与CE的位置关系是垂直.
练习1.下列语句中，正确的有 ( C )
①一条直线的垂线只有一条．②两直线相交，则交点叫垂足．
③在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例2.如图7：已知∠ACB＝90°若BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm，
求：（1）点B到直线AC的距离等于4cm.（2）点A到直线BC的距离等于3cm.
（3）A、B两点间的距离等于5cm.（4）你能求出点C到AB的距离吗 2.4cm
练习2.已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm则点P到直线MN的距离（ D ）A．等于3cm B．等于2cm C．等于3.5cm D．不大于2cm
例3.如图8，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由.
解：如图所示.理由是：垂线段最短.
四.课堂小结
1.过一点画已知直线的垂线掌握以下要点：
①贴：将三角尺的一条直线紧贴在已知直线上；②过：使三角尺的另一条直角边经过已知点；
③画：沿已知点所在的直角边画出所求的直线.
2.点到直线的距离是数量而不是图形.
五.分层过关
1.如图9，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为C
A．125° B．130° C．135° D．150°
2.如图10，CO⊥AB，EO⊥OD，如果∠1=38°，那么∠2的大小为(C)
A．38° B．42° C．52° D．62°
3.如图11，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是( D ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
4.如图12，∠ACB=90，CD⊥AB
（1）点C到AB的距离是CD；
（2）点B到AC的距离是BC；
（3）点A到BC的距离是AC．
5.如图13，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是垂线段最短．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是两点之间线段最短．
6.如图14，直线AB和直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，FO平分∠BOD．
（1）若∠COE=40°，求∠BOF的度数；
（2）若∠COE=0.5∠DOF，求∠COE的度数．
解（1）∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，
∵∠COE=40°，∴∠BOC=90-40=50°，∴∠BOD=130°，
∵FO平分∠BOD，∴∠BOF=0.5∠BOD=65°；
（2）设∠COE=x，则∠DOF=∠BOF=2x，∴∠BOC=180-4x，
∵∠BOE=90°，∴x+180-4x=90°，∴x=30°，∴∠COE=30°．
7.如图15，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ B ）
图1
图2
图3
图4
m
图5
图6
图7
D
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
·C
A
B
图8
图9
图10
图12
图11
图13
图14
图15
A
B
C
D
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(总课时17)§2.1两条直线的位置关系（2）
【学习目标】理解两直线互相垂直的定义，认识符号表示，会画垂线，掌握有关性质．
【学习重难点】了解定义，认识符号，掌握性质，会画垂线.
【导学过程】
一.知识回顾
1.同一平面内两条直线的位置关系有____和____.
2.如图1，已知：直线AB与CD交于点O,∠EOD=900,回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是________________；补角是________.
（2）∠AOC的余角是________；补角是____________；对顶角是________.
二.探究新知
知识点一：垂直的概念及表示方法
1.观察下面图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？
2.定义：两条直线相交成四个角,如果有一个角是____,那么称这两条直线互相____________________,其中一条直线叫做另一条直线的________,它们的交点叫做________.
3.垂直符号“⊥”：如图2，如果用AB，CD表示互相垂直的直线，可以记作“AB____CD”其中O点是垂足；如图3，如果用l,m表示互相垂直的直线，可以记作l____m；其中O点是垂足.
知识点二：画垂线及垂线段
1.在一张白纸上画出两条互相垂直的直线
2.用直尺在方格纸上画出两条互相垂直的直线
3.用折纸的方法折出互相垂直的直线
知识点三：垂线的性质：
1.过点A画直线l的垂线.
(1)点A在直线m上 (2)点A在直线m外
2.性质①：平面内，过一点有______一条直线与已知直线垂直.
3.如图4，假设直线m是一条河流，直线外一点P，有一只小马，想要去喝水，它会走哪条路线最快到达河边？每条路线有什么特征？
4.如图5，点P是直线m外一点，PO⊥m，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
性质②：_______________________________________________.
5.点到直线的距离：
如图5，过点P作直线m的垂线，垂足为O，线段PO_______叫做点P到直线m的距离。
三.典例与练习
例1.如图6，若∠1=57°，∠2=33°，则CD与CE的位置关系是_______.
练习1.下列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条．②两直线相交，则交点叫垂足．
③在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例2.如图7：已知∠ACB＝90°若BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm，
求：（1）点B到直线AC的距离等于_______.（2）点A到直线BC的距离等于_______.
（3）A、B两点间的距离等于_______.（4）你能求出点C到AB的距离吗 _______
练习2.已知点P在直线MN外，点A、B、C均在直线MN上，PA=3cm，PB=3.5cm，PC=2cm则点P到直线MN的距离（ ）A．等于3cm B．等于2cm C．等于3.5cm D．不大于2cm
例3.如图8，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由.
四.课堂小结
1.过一点画已知直线的垂线掌握以下要点：
①贴：将三角尺的一条直线紧贴在已知直线上；②过：使三角尺的另一条直角边经过已知点；
③画：沿已知点所在的直角边画出所求的直线.
2.点到直线的距离是数量而不是图形.
五.分层过关
1.如图9，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为
A．125° B．130° C．135° D．150°
2.如图10，CO⊥AB，EO⊥OD，如果∠1=38°，那么∠2的大小为( )
A．38° B．42° C．52° D．62°
3.如图11，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是( ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
4.如图12，∠ACB=90，CD⊥AB
（1）点C到AB的距离是_____；
（2）点B到AC的距离是_____；
（3）点A到BC的距离是_____．
5.如图13，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是_______________．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是____________________．
6.如图14，直线AB和直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，FO平分∠BOD．
（1）若∠COE=40°，求∠BOF的度数；
（2）若∠COE=0.5∠DOF，求∠COE的度数．
7.如图15，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
图1
图2
图3
图4
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图5
图6
图7
D
A
C
B
D
A
C
B
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·C
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图9
图10
图12
图11
图13
图14
图15
A
B
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(总课时17)§2.1两条直线的位置关系（2）
一.选择题：
1.如图1，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ C ）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 70°
2.如图2，CD⊥EF，垂足为O，AB是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数为( B )
A. 50°B. 40°C. 60°D. 70°
3.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角;②两条直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确的有( D )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合(即O,M,N三点共线),其理由是(D)
A.过两点只有一条直线；B.两点之间,线段最短；
C.在同一平面内,过两点有且只有一条直线与已知直线垂直；
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( C )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题：
6.如图4，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③∠BOC+∠AOD=180°；④∠AOC﹣∠COD=∠BOC中，正确的有①③④（填序号）．
7.若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画一条直线与l垂直；过点B能画一条直线与l垂直；过C，D两点（填“能画”“不能画”或“不一定能画”）不能画一条直线与已知直线垂直.
8.如图5，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB﹣∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的是①②④.
三.解答题：
9.如图6，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（3）PC的长度是点C到直线OB的距离；
（4）线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．（用“<”号连接）
10.如图7，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD=3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．
解：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
∵∠1=∠2，∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，∴∠NOD=180°-∠NOC=180°-90°=90°；
（2）∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵∠AOD=3∠1，∠AOD=180°-∠AOC，∴3∠1=180°-∠AOC，整理，得∠1+∠AOC+2∠1=180°，
∵∠1+∠AOC=90°，∴∠1=45°∴∠AOC=45°，∠MOD=180°-∠1=135°
11.如图8，读语句作图：
(1)作直线AB；(2)过点P作直线AB的垂线，垂足M；
(3)连结PA；(4)画射线PB．
根据所作图填空：
①点A与点P的距离是图中线段AP的长度．②点P到直线AB的距离是PM的长度．
③若Q为直线AB上任一点，则PQ与PM的关系是PQ≥PM．
其数学原理是直线外一点到直线各点连接的所有线段中，垂线段最短．
12.如图9，直线AB、CD、MN相交与点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：∠FOM，∠MOD，∠CON．
（2）若∠AOC=2.5∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
解：（2）设∠MOD的度数为x，∵OM平分∠FOD，∴∠MOD=∠FOM=x，
∴∠FOD=2x，∠AOC=2.5∠FOM=2.5x，又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，∴∠FOD+∠AOC=90°，
即2x+2.5x=90，解得：x=20．即∠MOD=20°，
由（1）可知∠MOD与∠AON互余，∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．
故∠MOD的度数为20°，∠AON的度数为70°．
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图7
图8
图9
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(总课时17)§2.1两条直线的位置关系（2）
一.选择题：
1.如图1，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 70°
2.如图2，CD⊥EF，垂足为O，AB是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数为( )
A. 50°B. 40°C. 60°D. 70°
3.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角;②两条直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确的有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.如图,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合(即O,M,N三点共线),其理由是( )
A.过两点只有一条直线；B.两点之间,线段最短；
C.在同一平面内,过两点有且只有一条直线与已知直线垂直；
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题：
6.如图4，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③∠BOC+∠AOD=180°；④∠AOC﹣∠COD=∠BOC中，正确的有__________（填序号）．
7.若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画一条直线与l垂直；过点B能画一条直线与l垂直；过C，D两点（填“能画”“不能画”或“不一定能画”）_______一条直线与已知直线垂直.
8.如图5，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB﹣∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°．其中正确结论的是__________.
三.解答题：
9.如图6，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（3）_____的长度是点C到直线OB的距离；
（4）线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是__________．（用“<”号连接）
10.如图7，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠AOD=3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．
11.如图8，读语句作图：
(1)作直线AB；(2)过点P作直线AB的垂线，垂足M；
(3)连结PA；(4)画射线PB．
根据所作图填空：
①点A与点P的距离是图中线段_____的长度．②点P到直线AB的距离是_____的长度．
③若Q为直线AB上任一点，则PQ与PM的关系是__________．
其数学原理是__________________________________________________．
12.如图9，直线AB、CD、MN相交与点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：____________________．
（2）若∠AOC=2.5∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图7
图8
图6
图9
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