2.2比例的应用（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版（含解析）

2.2比例的应用（讲义）
2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）
1．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项
（2）求未知内项
2．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
一．选择题（共9小题）
1．如图是一辆自行车上的前、后齿轮，前齿轮有48齿，后齿轮有16齿。当前齿轮转15圈时，后齿轮转（　　）圈。
A．5 B．15 C．30 D．45
2．在中，a的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．一个比例的两个内项分别是8和6，两个比的比值都是，这个比例可能是（　　）
A．16：8＝6：3 B．4：8＝3：6 C．4：8＝6：12
4．在一个比例里，两个内项的积是最小的奇数。一个外项是5，另一个外项是（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1
5．一个长方体相交于同一个顶点的三条棱，长度的比是3：2：1，这三条棱长的和是12厘米，这个长方体的体积是（　　）立方厘米。
A．48 B．96 C．24 D．384
6．在一个水池中有两根直立的木棍，木棍的一端紧贴着池底，另一端都露在水面上．两个木棍露出水面部分的长度之比是7：3．如果现在水池中的水面向上涨70厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是7：2．那么原来这两根木棍露出水面部分的长度和是（　　）厘米？
A．500 B．490 C．420 D．370
7．下面4个情景中的比可以用1：4表示的是（　　）
A．学校采购了400本科技书和童话书，其中为科技书，科技书和童话书的比。
B．一杯糖水中有糖10克，水40克，糖和糖水的比。
C．一袋大米，已经吃了，吃了的大米和剩下的大米的比。
D．一个直角三角形，其中一个锐角为30°，这个三角形两锐角的度数比。
8．小芳身高1.5米，在与妹妹的合影中她的高度是5厘米。妹妹在这张照片中的高度是3厘米。在求“妹妹实际身高是多少米”时用比例的知识解决，设妹妹身高x米后可列式（　　）
A．x：1.5＝5：3 B．x：3＝1.5：5 C．3x＝1.5×5 D．x：3＝150：5
9．下面各数中，2，3、4和（　　）可以组成比例。
A．1 B．12 C．6 D．8
二．填空题（共8小题）
10．如果在比例尺是1：5000的图纸上，画一个边长为4厘米的正方形草坪图，这个草坪图的实际面积是　 　平方米．
11．用4、8、12、6四个数字组成的比例是 　 　。
12．一个长方形周长是90cm，宽和长的比是1：2，这个长方形的长是 　 　厘米。
13．笑笑用蜂蜜和水为家人调制了四杯蜂蜜水（如表），蜂蜜与水的配比情况如表：弟弟想要喝最甜的，应该把第 　 　杯给弟弟；同样甜的两杯给爸爸和妈妈，这两组数据组成一个比例是 　 　。
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜/g 12 12 15 18
水/g 48 60 50 90
14．如果（x，y，n均不为0），x、y互为倒数，那么n＝　 　。
15．一辆自行车的前齿轮齿数是36，当前齿轮转数是5时，后齿轮转数是15，后齿轮齿数是　 　。
16．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是 　 　。
17．如表所示，如果x和y成正比例，空格处应填 　 　；如果x和y成反比例，空格处应填 　 　。
x 4 5
y 18
三．判断题（共8小题）
18．在一幅比例尺是1：200000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是b厘米，甲、乙两地的实际距离是2b千米．　 　
19．把一个长为3米、宽为2米的长方形零件按1：20缩小后画在纸上，画出的零件的长是15厘米，面积是150平方厘米。 　 　
20．解比例要根据比例的基本性质来解．　 　．
21．把一个正方形按2：1的比放大后，它的周长和面积都扩大到原来的4倍。 　 　
22．甲乙两地相距120千米，画在地图上是6厘米，这幅图的比例尺是．　 　．
23．比例2：a＝b：3，那么a与b的积是6．　 　
24．0.8：4＝8：x中，x＝0.4，　
25．作业量一定，已完成的和未完成的不成比例．　 　
四．计算题（共1小题）
26．解方程或解比例。
五．应用题（共8小题）
27．一辆汽车从顺平开往北京，每小时行驶68千米，2.5小时到达，原路返回时计划2个小时到达顺平，每小时要行驶多少千米？（用比例解答）
28．夏令营组织学生行军训练。去时每小时行3.6千米，2小时到达目的地。返程速度减慢一些，每小时行3.2千米，几小时可回到出发地？（用比例知识解答）
29．小张出资4万元，小刘出资5万元合开了一家商店，年终盈利共4.5万元。两人按出资的比例来分配盈利，小张和小刘各得多少万元？
30．用一批纸装订同样大小的练习本，每本20页，可以装订180本，如果每本16页，可以装订多少本？（用比例解）
31．一个果园，种桃树的面积占果园总面积的，种李子树的面积是2.5公顷，余下的地种樱桃树。已知种桃树和李子树的总面积与种樱桃树的面积的比是7：5。种樱桃树的面积是多少公顷？
32．学校图书馆科技书本数与故事书本数的比是3：2，故事书有180本，科技书有多少本？（用比例方法解）
33．六年级二班开展阅读活动，想购买56本图书，每本图书16元，正赶上搞活动打折，每本图书的单价是14元，这些钱一共可以买多少本图书？（用比例解）
34．一棵树高12米，它的影长是15米，如果同一时间地点测得小明的身高是1.6米，他的影子长多少米？（用比例解答）
2.1比例的应用（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【答案】D
【分析】前轮与后轮走过的路程是一定的，齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，根据乘积一定，设出未知数，列出比例式；解答即可。
【解答】解：设后齿轮转动x圈，
16x＝48×15
16x＝720
x＝45
答：后齿轮转动45圈。
故选：D。
【点评】解答这类问题，关键是先判断出题目中的两个相关的量是成正比例还是成反比例，然后列式解答。
2．【答案】B
【分析】利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”由此可求得a，进而选择正确答案．
【解答】解：
根据比例的基本性质可解得：a＝4，
故选：B．
【点评】紧扣比例的基本性质即可解决此类问题．
3．【答案】C
【分析】根据两个内项分别是8和6，即可排除B，根据两个比的比值都是，可排除A，据此选择即可。
【解答】解：一个比例的两个内项分别是8和6，两个比的比值都是，这个比例可能是4：8＝6：12。
故选：C。
【点评】本题主要是灵活利用比例的意义与基本性质解决问题。
4．【答案】A
【分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，先确定出两个外项的积也是最小的奇数，最小的奇数是1，进而根据一个外项是5，即可求得另一个外项的数值。
【解答】解：在比例中，两个内项的积是最小的奇数，根据比例的性质，可知两个外项的积也是最小的质数，最小的奇数是1，其中一个外项是5，那么另一个外项为1÷5＝0.2。
故选：A。
【点评】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积；也考查了最小的奇数是1。
5．【答案】A
【分析】相交于一个顶点的三条棱长的和是12厘米，就是这个长方体的一条长宽高的和是12。三条棱长的比是3：2：1，根据比与分数的关系知：长就占三条棱长和的，宽就占三条棱长和的，高就占三条棱长和的，求出这个长方体的长宽高，再根据长方体的体积公式进行计算。据此解答。
【解答】解：126（厘米）
124（厘米）
122（厘米）
6×4×2＝48（立方厘米）
答：这个长方体的体积是48立方厘米。
故选：A。
【点评】本题的关键是根据按比例分配应用题的解答方法，求出这个长方体的长宽高。
6．【答案】A
【分析】设两根木棍原来的露出水面部分的长度各是7x厘米和3x厘米，水池中的水面向上涨70厘米后，两根木棍的露出水面部分的长度各是（7x﹣70）厘米和（3x﹣70）厘米，再根据“这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是7：2”，列出比例解答即可．
【解答】解：设两根木棍原来的露出水面部分的长度各是7x厘米和3x厘米，
水池中的水面向上涨70厘米两根木棍的露出水面部分的长度各是（7x﹣70）厘米和（3x﹣70）厘米，
所以，（7x﹣70）：（3x﹣70）＝7：2，
（3x﹣70）×7＝（7x﹣70）×2，
21x﹣490＝14x﹣140，
7x＝350，
x＝350÷7，
x＝50，
7x+3x＝10x＝10×50＝500（厘米），
答：原来这两根木棍露出水面部分的长度和是500厘米；
故选：A．
【点评】解答此题的关键是根据题意设出未知量，找出对应量，列出比例解决问题．
7．【答案】C
【分析】A.已知总数为400本，其中为科技书，则童话书占总数的（1），据此可求出科技书和童话书的比；
B.已知糖有10克，水有40克，则糖水有（10+40）克，据此可求出糖和糖水的比；
C.已知一袋大米，已经吃了，可将这袋大米看作单位”1“，则还剩下（1），据此可求出吃了的大米和剩下大米的比；
D.已知一个直角三角形中的一个锐角为30°，根据三角形内角和为180°，可求出剩下一个锐角为（180﹣30﹣90）°，据此可求出两个锐角的度数比。
【解答】解：A.童话书占总数的1，科技书和童话书的比为：1：3；
B.糖水的重量10+40＝50克，糖和糖水的比为10：50＝1：5；
C.剩下的大米占总数的1，吃了的大米和剩下大米的比为：1：4；
D.剩下一个锐角度数为180°﹣30°﹣90°＝60°，两个锐角的度数比可能为30：60＝1：2或者60：30＝2：1；
故选：C。
【点评】此题主要考查了比在各个场景中的应用。
8．【答案】B
【分析】根据题意可知：小芳的实际身高：小芳在照片中的身高＝妹妹的实际身高：妹妹在照片中的身高，设妹妹身高x米，据此代入数值，列比例即可解答。
【解答】解：设妹妹身高x米。
1.5：5＝x：3
5x＝4.5
x＝0.9
答：妹妹身高0.9米。
故选：B。
【点评】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。
9．【答案】C
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可正确作答。
【解答】解：设要选的数是x，
2：3＝4：x
2x＝3×4
2x＝12
x＝6
故选：C。
【点评】此题主要考查比例的基本性质。
二．填空题（共8小题）
10．【答案】见试题解答内容
【分析】要求实际面积是多少，先要求出正方形的边长；根据比例尺是1：5000，即图上距离与实际距离的比是1：5000，即可求出正方形草坪的实际边长，再根据正方形的面积公式，即可计算出答案．
【解答】解：设正方形的实际边长是x厘米，
1：5000＝4：x
x＝5000×4
x＝20000；
20000厘米＝200米；
面积是：200×200＝40000（平方米）
答：这个草坪图的实际面积是40000平方米．
故答案为：40000．
【点评】解答此题的关键是根据比例尺，找准对应量，注意单位的统一，列式解答即可．
11．【答案】4：8＝6：12。（答案不唯一）
【分析】依据比例的基本性质，即在比例里，两个内项的积等于两个外项的积；如果两个数的积等于另两个数的积，那么这四个数就能组成比例。
【解答】解：因为4×12＝8×6，所以4：8＝6：12。
故答案为：4：8＝6：12。（答案不唯一）
【点评】此题主要考查比例的基本性质的逆运用。
12．【答案】30。
【分析】根据“长方形的周长是90cm，宽和长的比是1：2”，所以用周长÷2求出长和宽的和，再根据长方形的长占一条长宽和的，根据一个数乘分数的意义解答即可。
【解答】解：长和宽的和：90÷2＝45（厘米）
长和宽的总份数：1+2＝3（份）
长：4530（厘米）
答：这个长方形的长是30厘米。
故答案为：30。
【点评】解答此题的关键是：根据长方形周长÷2求得长和宽的和，把宽和长按1：2分，求出长。
13．【答案】三；12：60＝18：90。
【分析】分别求出蜂蜜与水的比，比值最大的糖水最甜；再将比值相等的两个比组成比例。
【解答】解：12：48
12：60
15：50
18：90
第三杯最甜。
12：60＝18：90
则：弟弟想要喝最甜的，应该把第三杯给弟弟，同样甜的两杯给爸爸和妈妈，这两组数据组成一个比例是12：60＝18：90。
故答案为：三；12：60＝18：90。
【点评】本题考查了比和比例的应用，属于基础知识，需熟练掌握。
14．【答案】。
【分析】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，可得xy＝7n，再根据x、y互为倒数，乘积是1，即可得n的值。
【解答】解：
xy＝7n
因为xy＝1
所以7n＝1
n
故答案为：。
【点评】本题关键是利用比例的性质和互为倒数的意义得出7n＝1。
15．【答案】12。
【分析】前轮与后轮走过的路程是一定的，齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，设出未知数，列出比例式；解答即可。
【解答】解：设后齿轮齿数是x。
15x＝36×5
x＝180÷15
x＝12
答：后齿轮齿数是12。
故答案为：12。
【点评】解答这类问题，关键是先判断除题目中的两个相关的量是成正比例还是成反比例，然后列式解答。
16．【答案】。
【分析】由于在比例里两个内项的积等于两个外项的积，根据“在一个比例中，两个外项互为倒数”，可知两个内项也互为倒数乘积是1，再根据“其中一个内项是”，进一步求得另一个内项的数值。
【解答】解：两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数乘积是1，
1
答：另一个内项是。
故答案为：。
【点评】此题考查比例的基本性质及倒数的意义的运用。
17．【答案】22.5；14.4。
【分析】如果x和y成正比例，则x和y的比值一定，据此求出比值，再根据比值、比的前项、后项之间的关系，求出y的值；如果x和y成反比例，则x和y的乘积一定，据此求出x和y的乘积，再用乘积除以x的值即可。
【解答】解：因为x和y成正比例，则x：y＝4：18，所以当x＝5时，5：y，y＝522.5；
因为x和y成反比例，则xy＝4×18＝72，当x＝5时，5y＝72，所以y＝72÷5＝14.4。
故答案为：22.5；14.4。
【点评】熟练掌握正、反比例的意义是解题的关键。
三．判断题（共8小题）
18．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例尺是：1：200000，及甲、乙两地的图上距离是b厘米，算出甲乙的实际距离，即可做出判断．
【解答】解：b×200000＝200000b（厘米），
200000b厘米＝2b千米，
故答案为：√．
【点评】解答此题的关键是，根据比例尺，算出实际距离，即可判断正误．
19．【答案】√
【分析】长3米、宽2米的长方形零件按1：20缩小后长和宽是原来的，根据分数乘法的意义，3米的是米，改写成厘米作单位的数是15厘米；同样的方法计算出宽，图上长方形面积＝图上的长×图上的宽。
【解答】解：3100＝15（厘米）
2100＝10（厘米）
15×10＝150（平方厘米）
答：画出的零件的长是15厘米，面积是150平方厘米。
故答案为：√。
【点评】本题根据放大和缩小的意义，结合分数乘法的意义计算出长方形零件画在图上的长和宽，再据此计算出图上面积。
20．【答案】见试题解答内容
【分析】比例的基本性质是指“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，而解比例的关键就是先把比例式转化为乘积式，进而解方程得解；所以解比例的依据就是比例的基本性质．
【解答】解：根据分析可知，解比例要根据比例的基本性质来解的说法是正确的．
故答案为：√．
【点评】此题考查比例性质的运用﹣解比例．
21．【答案】×
【分析】设这个正方形原来的边长为1，根据图形放大与缩小的意义，按2：1放大后的正方形的边长为2，分别求出原正方形周长、面积和放大后的正方形周长、面积，再看放大后的正方形的周长、面积是否分别是原正方形周长、面积的4倍。
【解答】解：设原正方形的边长为1
其周长是1×4＝4
面积是1×1＝1
按2：1放大后的正方形的边长为2
其周长是2×4＝8
面积是2×2＝4
8÷4＝2
4÷1＝4
即周长放大到原来的2倍，面积放大到原来的4倍。
故答案为：×。
【点评】图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，周长也放大或缩小这个倍数，面积放大或缩小这个倍数的平方倍。
22．【答案】见试题解答内容
【分析】比例尺是指图上距离与实际距离的比，由此计算解答即可．
【解答】解：120千米＝12000000厘米；
6：12000000＝1：2000000；
故答案为：×．
【点评】解答此题的关键是要掌握比例尺的计算方法，更重要的是在计算时，单位一定要统一．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的性质，两个内项之积等于两个外项之积，进行判断即可．
【解答】解：2：a＝b：3，
ab＝2×3＝6；
所以原题计算正确；
故答案为：√．
【点评】此题考查比例性质的运用．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】0.8：4＝8：x，根据比例的基本性质得：0.8x＝4×8，两边同时除以0.8解出x即可．
【解答】解：0.8：4＝8：x
0.8x＝4×8
0.8x＝32
x＝32÷0.8
x＝40
x＝40而不是0.4，故这句话是错误的．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查学生依据等式的性质，以及比例基本性质解方程的能力，解答时注意对齐等号．
25．【答案】√
【分析】根据题意：已完成的和未完成的和一定，而不是比值或积一定．
【解答】解：根据成比例条件，应该是积或比值一定，所以题干说法是对的．
故答案为：√．
【点评】根据正反比例的概念分析判断．
四．计算题（共1小题）
26．【答案】x；x；x。
【分析】：x：，根据比例的基本性质转化成方程，再根据等式的性质解方程；
xx，根据乘法分配律变形为（1）x，再根据等式的性质两边同时除以解出x的值；
，根据比例的基本性质转化成方程，再根据等式的性质解方程。
【解答】解：：x：
x
x
x
xx
（1）x
x
x
8×（21﹣x）＝13×（13﹣x）
168﹣8x＝169﹣13x
168﹣8x+13x＝169﹣13x+13x
168+5x＝169
168+5x﹣168＝169﹣168
5x＝1
5x÷5＝1÷5
x
【点评】本题考查解比例和分数方程求解，熟练掌握比例的基本性质和等式的性质是关键。
五．应用题（共8小题）
27．【答案】85千米。
【分析】设原路返回时计划2个小时到达顺平，每小时要行驶x千米，根据“路程＝速度×时间”及从顺平到北京，往返的路程相等，即可列比例解答。
【解答】解：每小时要行驶x千米。
2x＝68×2.5
2x＝170
x＝85
答：每小时要行驶85千米。
【点评】列方程解答应用题的关键是设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。
28．【答案】2.25小时。
【分析】根据路程一定，速度与时间成反比例，由此列出比例解答即可。
【解答】解：设x小时可回到出发地，
3.2x＝3.6×2
3.2x＝7.2
x＝2.25
答：2.25小时可回到出发地。
【点评】解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可。
29．【答案】小张得2万元，小刘得2.5万元。
【分析】根据题意，把两个人出资的和作为总份数，即4+5＝9份，其中小张占，小刘占，根据一个数乘分数的意义解答。
【解答】解：4万：5万＝4：5
4.52（万元）
4.52.5（万元）
答：小张得2万元，小刘得2.5万元。
【点评】此题属于按比例分配问题，解答关键是求出总份数，以两人出资总和作为总份数，再求出两人出资各占总数的几分之几，根据一个数乘分数的意义用乘法，由此列式解答。
30．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意知道一批纸的总数量一定，即每本的页数和装订的本数的乘积一定，所以每本的页数和装订的本数成反比例，由此列出比例解答即可．
【解答】解：设可以装订x本，
16x＝20×180，
x，
x＝225，
答：可以装订225本．
【点评】解答此题的关键是，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答．
31．【答案】5公顷。
【分析】根据题意，把果园的总面积看作单位“1”，已知种桃树和李子树的总面积与种樱桃树的面积的比是7：5，那么种桃树和李子树的总面积就占果园总面积的，种樱桃树的面积就占果园总面积的，种李子树的面积就占果园总面积的（），它对应的面积是2.5公顷，据此用除法计算求出果园总面积，再乘种樱桃树的面积所占的分率即可求出种樱桃树的面积是多少公顷。
【解答】解：2.5÷（）
＝2.5
＝5（公顷）
答：种樱桃树的面积是5公顷。
【点评】本题主要考查比的实际应用，解答本题的关键是求出三种果树种植面积各自占果园总面积的分率。
32．【答案】见试题解答内容
【分析】已知图书馆科技书本数与故事书本数的比是3：2，故事书有180本，设科技书有x本，据此列比例解答．
【解答】解：设科技书有x本，
3：2＝x：180
2x＝3×180
x
x＝270．
答：科技书有270本．
【点评】此题考查的目的是理解掌握比例的意义及应用．
33．【答案】64本。
【分析】图书的原价和打折后的现价比例是16：14，当总数不变的情况下，单价与数量成反比例，所以原价和现价比正好与他们的数量比相反，根据此原理列出等式：假设这些钱一共可以买x本图书，则，求得得x＝64本。
【解答】解：设假设这些钱一共可以买x本图书。
x＝16×56÷14
x＝64（本）
答：这些钱一共可以买64本图书。
【点评】根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
34．【答案】2米。
【分析】在同时、同地、同光源的情况下，物高与影长成正比例关系，即物高与影长的比值一定。设他的影子长多x米，即可列比例“12：15＝1.6：x”解答。
【解答】解：设他的影子长多x米。
12：15＝1.6：x
12x＝15×1.6
12x÷12＝15×1.6÷12
x＝2
答：他的影子长2米。
【点评】列比例解答应用题的关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。