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(总课时18)§2.2探索直线平行的条件（1）
一.选择题：
1.如图1，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是( D )
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
2.如图2，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a//b的是 ( B )
A. ∠1=∠6 B. ∠2=∠6 C. ∠1=∠3 D. ∠5=∠7
3.下列结论正确的是（ D ）
A.同位角相等 B. 垂直于同一直线的两条直线互相平行
C.过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
4.某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是( A)
A. 第一次左拐30°，第二次右拐30°;B. 第一次右拐50°，第二次左拐130°
C. 第一次右拐50°，第二次右拐130°;D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
5.过一点画已知直线的平行线( D )
A.有且只有一条 B.不存在 C.有两条 D.不存在或有且只有一条
二.填空题：
6.如图3，装修工人向墙上钉木条.若∠2=100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于80°.
7.如图4，EF∥AB，FC∥AB，则可知点E、C、F在一条直线上.
理由是：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线.
8.设a、b、c为同一平面上三条不同直线.
(1)若a∥b,b∥c,则a与c的位置关系是a∥c;
(2)若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系是a∥c.
9.观察“工”、“晶”、“土”等汉字，我们能找到直线与直线的哪些位置关系？答：垂直和平行，请你再举三个这样的汉字：“田”、“干“、“甘”．
10.在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①a1与a5的位置关系是平行②a28与a2019的位置关系是垂直.
三.解答题：
11.如图5,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠ABE=∠C,试说明:BE∥AC.
解:∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE(角平分线的定义).
∵∠ABE=∠C,∴∠DBE=∠C,∴BE∥AC(同位角相等,两直线平行).
12.如图6,已知∠1=∠2,问再添加什么条件可使AB∥CD 试说明理由.
解:添加EB⊥MN,DF⊥MN,则AB∥CD.
理由如下:因为EB⊥MN,DF⊥MN,∠1=∠2,
所以∠ABM=∠CDM(等角的余角相等).
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
13.如图7,已知AE,CF分别是∠DAB和∠BCD的平分线,∠2=∠FCB,∠DAB=∠BCD,则
AE∥CF吗 为什么
解：AE∥CF.理由如下：
因为AE,CF分别是∠DAB和∠BCD的平分线，
所以∠1=1/2∠DAB,∠FCB=1/2∠BCD(角平分线的定义).
因为∠DAB=∠BCD,所以∠1=∠FCB.
因为∠2=∠FCB（已知），所以∠1=∠2（等量代换），
所以AE∥CE.（同位角相等， 两直线平行．）
14.如图8,MF⊥NF于F,MF交AB于点E,NF交CD于点G,∠1=140°,∠2=50°,试判断AB和CD的位置关系,并说明理由.
解：AB∥CD.理由:延长MF交CD于点H,如图.
∵MF⊥NF,∴∠GFH=90°.∵∠1=140°,∴∠FGH=40°,
∴∠CHF=180°-40°-90°=50°,
∵∠2=50°,∴∠CHF=∠2,∴AB∥CD.
图2
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图8
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(总课时18)§2.2探索直线平行的条件（1）
【学习目标】探索归纳“同位角相等，两直线平行”的判定方法,了解平行线的两条性质.
【学习重难点】探索归纳“同位角相等，两直线平行”的判定方法.
【导学过程】
一.知识回顾
1．在同一平面内，两条直线的位置关系是___________．
2．在同一平面内，____________两条直线是平行线．
二.探究新知
1.情境引入：
（1）如图1，某建筑队的装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所成的角为多少度时，木条a平行于木条b？你能说出其中的道理吗？
______________________________________________________
（2）如果木条b与墙壁边缘不垂直，那么木条a、b与墙壁边缘所成的角满足什么条件时，才能使木条a与木条b平行？
2.观察：如图2，在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？
3.三线八角：
如图3，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角．∠3与_____是同
位角，∠5与_____是同位角，∠7与_____是同位角.
（同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方）.
4.平形线判定公理:
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称为：同位角相等，两直线平行．
几何语言：如图4，∵∠1=∠2，∴a∥b．
5.平行线性质
(1)如图5，你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？
结论：____________________________________.
（2）如图6，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH，那么EF与GH有怎样的位置关系？
结论：平行于同一条直线的两条直线______.
几何语言：∵EF∥AB，GH∥AB，∴___________
三.典例与练习
例1.如图7，(1)∵∠1=∠2，∴__∥__.理由：__________________．
(2)∵∠3=∠4(已知)，∴__∥__.理由：________________________，
(3)∵__∥c，__∥c，∴__∥__理由：______________________________.
练习1.找出图8中互相平行的直线,并说明理由.
解：∵∠1=∠2=50°,∴___∥___,理由：________________________.
∵∠3=180°-50°=130°=∠4，∴____∥___.理由：_____________________.
例2.如图9,∠1=∠2=55°,∠3等于多少度 直线AB、CD平行吗 说明你的理由.
解：∵∠2=55°（已知）∴∠3=∠2=___（_________）
∵∠1=55°，∴∠1=___（等量代换）
∵∠1=___，∠1和___是同位角，∴AB∥CD（_________，两直线平行）
练习2.如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线，
你能推断出哪两条直线平行，并说明理由.
解：DE//BC.理由如下：
∵∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=______°，
又∵∠ABC=30°，∴______=∠ABC，∴DE//BC.
例3.下面推理正确的是( )
A.∵a∥b,b∥c,∴c∥d B.∵a∥c,b∥d,∴c∥d
C.∵a∥b,a∥c,∴b∥c D.∵a∥b,c∥d,∴a∥c
练习3.在同一个平面内,直线a、b相交于点P,a∥c,则b与c的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交
四.课堂小结
1.找同位角的关键是抓住第三线,从F形中去找第三线同侧、另两线的同一方位的两个角。
2.“同位角相等，两直线平行”是判断两直线平行的公理。
3.判断两直线平行的结论，要依序完成下列三个过程：
①找出同位角；②说明这两个同位角相等；③用公理得出“平行”的结论。
五.分层过关
1.如图11，用数字表示的各角中，∠1的同位角为( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2.下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图12，∠D=∠EFC，那么（ ）A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF
4.如图13，填空：（1）∵∠__=∠__（已知）∴a∥b（__________，两直线平行）
（2）∵∠__=∠__（已知）∴c∥d（__________，两直线平行）
5.已知：如图14，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2=180°
求证：AB∥CD.证明：∵∠1+∠2=180°（____）∠3+∠2=180°（______）∴∠__=∠__（________）
∴AB∥CD（______________________）
6.在同一平面内,已知A,B,C是直线l同旁的三个点.
(1)若AB∥l,BC∥l,那么A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
(2)若AB⊥l,BC⊥l,那么A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
7.如图15，已知AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，且∠1＝∠2；
（1）DF//AC吗？为什么？（2）DE与AF的位置关系又如何？
图1
2①中，∠1＞∠2时，直线a和b______；
2②中，∠1=∠2时，直线a和b______；
2③中，∠1＜∠2时，直线a和b______.
图2
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一.选择题：
1.如图1，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是( )
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
2.如图2，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a//b的是 ( )
A. ∠1=∠6 B. ∠2=∠6 C. ∠1=∠3 D. ∠5=∠7
3.下列结论正确的是（ ）
A.同位角相等 B. 垂直于同一直线的两条直线互相平行
C.过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
4.某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A. 第一次左拐30°，第二次右拐30°;B. 第一次右拐50°，第二次左拐130°
C. 第一次右拐50°，第二次右拐130°;D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
5.过一点画已知直线的平行线( )
A.有且只有一条 B.不存在 C.有两条 D.不存在或有且只有一条
二.填空题：
6.如图3，装修工人向墙上钉木条.若∠2=100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于 .
7.如图4，EF∥AB，FC∥AB，则可知点E、C、F在一条直线上.
理由是： .
8.设a、b、c为同一平面上三条不同直线.
(1)若a∥b,b∥c,则a与c的位置关系是 ;
(2)若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系是 .
9.观察“工”、“晶”、“土”等汉字，我们能找到直线与直线的哪些位置关系？答： ，请你再举三个这样的汉字： ．
10.在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①a1与a5的位置关系是 ②a28与a2019的位置关系是 .
三.解答题：
11.如图5,点B在DC上,BE平分∠ABD,∠ABE=∠C,试说明:BE∥AC.
解:∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE( ).
∵∠ABE=∠C,∴∠DBE=∠C,∴BE∥AC( ).
12.如图6,已知∠1=∠2,问再添加什么条件可使AB∥CD 试说明理由.
13.如图7,已知AE,CF分别是∠DAB和∠BCD的平分线,∠2=∠FCB,∠DAB=∠BCD,则
AE∥CF吗 为什么
14.如图8,MF⊥NF于F,MF交AB于点E,NF交CD于点G,∠1=140°,∠2=50°,试判断AB和CD的位置关系,并说明理由.
图2
图1
图4
图3
图5
图6
图8
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【学习目标】探索归纳“同位角相等，两直线平行”的判定方法,了解平行线的两条性质.
【学习重难点】探索归纳“同位角相等，两直线平行”的判定方法.
【导学过程】
一.知识回顾
1．在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．
2．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
二.探究新知
1.情境引入：
（1）如图1，某建筑队的装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所成的角为多少度时，木条a平行于木条b？你能说出其中的道理吗？
当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线b.
（2）如果木条b与墙壁边缘不垂直，那么木条a、b与墙壁边缘所成的角满足什么条件时，才能使木条a与木条b平行？
2.观察：如图2，在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？
3.三线八角：
如图3，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角．∠3与∠4是同
位角，∠5与∠6是同位角，∠7与∠8是同位角.
（同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方）.
4.平形线判定公理:
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称为：同位角相等，两直线平行．
几何语言：如图4，∵∠1=∠2，∴a∥b．
5.平行线性质
(1)如图5，你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？
结论：过点P平行于AB的直线只有一条
（2）如图6，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH，那么EF与GH有怎样的位置关系？
结论：平行于同一条直线的两条直线平行.
几何语言：∵EF∥AB，GH∥AB，∴EF∥GH
三.典例与练习
例1.如图7，(1)∵∠1=∠2，∴a∥c.理由：同位角相等，两直线平行．
(2)∵∠3=∠4(已知)，∴b∥c.理由：同位角相等，两直线平行，
(3)∵a∥c，b∥c，∴a∥b理由：平行于同一条直线的两条直线平行.
练习1.找出图8中互相平行的直线,并说明理由.
解：∵∠1=∠2=50°,∴EF∥AB,理由：同位角相等，两直线平行.
∵∠3=180°-50°=130°=∠4，∴BG∥CD.理由：同位角相等，两直线平行.
例2.如图9,∠1=∠2=55°,∠3等于多少度 直线AB、CD平行吗 说明你的理由.
解：∵∠2=55°（已知）∴∠3=∠2=55°（对顶角相等）
∵∠1=55°，∴∠1=∠3（等量代换）
∵∠1=∠3，∠1和∠3是同位角，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
练习2.如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线，
你能推断出哪两条直线平行，并说明理由.
解：DE//BC.理由如下：
∵∠ADC=60°，DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=30°，
又∵∠ABC=30°，∴∠ADE=∠ABC，∴DE//BC.
例3.下面推理正确的是( C )
A.∵a∥b,b∥c,∴c∥d B.∵a∥c,b∥d,∴c∥d
C.∵a∥b,a∥c,∴b∥c D.∵a∥b,c∥d,∴a∥c
练习3.在同一个平面内,直线a、b相交于点P,a∥c,则b与c的位置关系是( B )
A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交
四.课堂小结
1.找同位角的关键是抓住第三线,从F形中去找第三线同侧、另两线的同一方位的两个角。
2.“同位角相等，两直线平行”是判断两直线平行的公理。
3.判断两直线平行的结论，要依序完成下列三个过程：
①找出同位角；②说明这两个同位角相等；③用公理得出“平行”的结论。
五.分层过关
1.如图11，用数字表示的各角中，∠1的同位角为( B )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2.下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ C ）
A． B． C． D．
3.如图12，∠D=∠EFC，那么（ D ）A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF
4.如图13，填空：（1）∵∠5=∠1（已知）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
（2）∵∠5=∠3（已知）∴c∥d（同位角相等，两直线平行）
5.已知：如图14，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2=180°
求证：AB∥CD.证明：∵∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠1=∠3（等量代换）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
6.在同一平面内,已知A,B,C是直线l同旁的三个点.
(1)若AB∥l,BC∥l,那么A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
(2)若AB⊥l,BC⊥l,那么A,B,C三点在同一条直线上吗 为什么
解：(1)在同一条直线上,因为直线AB,BC都经过点B,且都与直线l平行,而过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,所以AB,BC为同一条直线,所以A,B,C三点在同一条直线上.
(2)在同一条直线上,因为AB,BC都经过点B,且都与直线l垂直,而在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以AB,BC为同一条直线,所以A,B,C三点在同一条直线上.
7.如图15，已知AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，且∠1＝∠2；
（1）DF//AC吗？为什么？（2）DE与AF的位置关系又如何？
解：(1)∵AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，∴∠2=∠BAC，∠1=∠BDF，
又∵∠1=∠2，∴∠BDF=∠BAC，∴DF∥AC；
(2)DE∥AF.理由如下：∵AF平分∠BAC，∴∠2=∠BAF，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAF，∴DE∥AF.
图1
2①中，∠1＞∠2时，直线a和b不平行；
2②中，∠1=∠2时，直线a和b平行；
2③中，∠1＜∠2时，直线a和b不平行.
图2
图3
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图7
图6
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图12
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