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(总课时21)§2.3平行线的性质（2）
【学习目标】熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题；初步学会简单的几何推理.
【学习重难点】熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平行线的性质：
①两直线平行，_________；②两直线平行，_________;③两直线平行，_____________;
2.判定直线平行的条件：若两条直线被第三条直线所截，则
①_________，两直线平行;②_________，两直线平行;③______________，两直线平行.
二.探究新知
（一）层层递进，推理论证
1.如图1：（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2+∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
解:（1）∵∠1=∠2（____）∴BF//____（____________，两直线平行）
（2）∵∠2=∠M（____）∴BF//____（____________，两直线平行）
（3）∵∠2+∠3=180°（____）∴AC//____（____________，两直线平行）
2.如图2，AB∥CD,如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由.
解：∵∠1=∠2（____）∴EF∥____（____________，两直线平行）
又∵AB∥CD（____）∴____∥____（______________________________）
3.如图3，已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=110°,求∠2，∠3的度数.
解：∵a∥b，且∠1=110°（已知）∴∠2=∠1=____
∵c∥d（____）∴∠1＋∠3=____（两直线平行，____________）
∴∠3=180°-____=____________=____（等式的基本性质）
（二）独立探究，步骤规范
1.如图4，AE∥CD，若∠1=37°,∠D=54°，求∠2和∠BAE的度数.
2.如图5，平行直线AB,CD被直线EF所截，分别交直线AB,CD于点G,M.GH和MN分别是∠EGB和∠EMD的角平分线.问：GH和MN平行吗？请说明理由.
三.典例与练习
例1.如图6，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.
练习1.如图7，已知，∠1=∠2，∠E=∠F，试猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由.
例2.如图8，∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由.
练习2.下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等．其中是平行线的性质的是( )
A．① B. ②③ C．④ D. ①④
四.课堂小结
1.平行线的性质：
①两直线平行，___________；②两直线平行，___________;③两直线平行，___________;
2.平行线判定与性质综合：
判定：由角的数量关系确定直线的位置关系；性质：由直线的位置关系确定角的数量关系.
3.基本模型：①铅笔模型形，②猪路蹄模型
五.分层过关
1.如图9，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝105°，则∠4的度数为( )
A．55° B．60° C．70° D．75°
2.如图10，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，
此时的航行方向为( )
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
3.如图11，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=130°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为_____.
4.如图12，AB∥CD，∠B=30°，∠D=40°，则∠BED的度数为_____．
5.如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明：AE∥BC.
6.如图14，已知∠BAD+∠ADC=180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠AEB．
（1）若∠B=86°，求∠DCG的度数；（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由；
（3）若∠DAB=α，∠DGC=θ，直接写出当α、θ满足什么数量关系时，AE∥DG？
图1
图2
图3
图4
图5
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图9
图11
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(总课时21)§2.3平行线的性质（2）
一.选择题：
1.如图1，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（ D ）A．50° B．55° C．60° D．65°
2.如图2，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（ B ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
3.如图3，∠1＝∠2，∠C＝130°，∠2＝22°，则∠DAC的度数是( C )
A．25° B．24° C．28° D．22°
4.如图4，下列推理错误的是 ( B )
A.∵∠1＝∠2，∴a∥b B.∵∠1＝∠3，∴a∥b
C.∵∠3＝∠5，∴c∥d D.∵∠2＋∠4＝180°，∴c∥d
5.如图5，，平分，且，则与的关系是 D
A． B． C． D．
二.填空题：
6.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则同旁内角互补.
7.如图6，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=180°.
8.如图7，AB∥CD，∠1=60°，则∠2=60°，∠3=120°，∠4=60°．
9.如图8，已知AB//CD，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC=95°.
10.如图9，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=35，那么∠BED的度数为70°．
三.解答题：
11.如图10，已知CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，且∠EDC＝0.5∠ACB，∠DCB＝30°，
求∠AED的度数．
解：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝0.5∠ACB．又∵∠EDC＝0.5∠ACB(已知)，
∴∠DCB＝∠EDC(等量代换)，∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠AED＝∠ECB(两直线平行，同位角相等)．又∵∠DCB＝30°(已知)，∴∠ECB＝2×30°＝60°，
∴∠AED＝∠ECB＝60° ．
12.如图11，已知∠1=∠2，∠C=∠D，证明AC//DF．
证明：如图，
∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠3（等量代换）∴BD//CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（等量代换）
∴AC//DF（内错角相等，两直线平行）．
13.如图12，已知四边形ABCD中，AB//CD，BC//AD，DE为AD的延长线，请问：∠A与∠C，∠EDC与∠B的大小有什么关系？试说明理由；
解:，．理由如下：
如图，连接，∵，∴．
∵，∴．∴．∴．
∵，∴，∵，∴，
∴．
14.已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．
（1）如图13.1，当点B在点A的左侧时，
①若∠ABC＝50°，∠ADC＝70°，∠BED=60°；
②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；
（2）如图13.2，当点B在点A的右侧时，
试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．
解：（1）①如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠EDC＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，
∴∠BEF＝25°，∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+35°＝60°；
②∠BED＝∠ABC+∠ADC；
（2）∠BED＝180°﹣∠ABC+∠ADC
理由：如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠EDC＝∠DEF，∠ABE+∠BEF＝180°，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠ABC，∠DEF＝∠ADC，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣∠ABC+∠ADC．
图4
图3
图2
图5
图1
图10
图8
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图7
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图11
图12
图13.2
图13.1
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(总课时21)§2.3平行线的性质（2）
【学习目标】熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题；初步学会简单的几何推理.
【学习重难点】熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等;③两直线平行，同旁内角互补;
2.判定直线平行的条件：若两条直线被第三条直线所截，则
①同位角相等，两直线平行;②内错角相等，两直线平行;③同旁内角互补，两直线平行.
二.探究新知
（一）层层递进，推理论证
1.如图1：（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2+∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
解:（1）∵∠1=∠2（已知）∴BF//CD（内错角相等，两直线平行）
（2）∵∠2=∠M（已知）∴BF//AM（同位角相等，两直线平行）
（3）∵∠2+∠3=180°（已知）∴AC//DM（同旁内角互补，两直线平行）
2.如图2，AB∥CD,如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由.
解：∵∠1=∠2（已知）∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）
又∵AB∥CD（已知）∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）
3.如图3，已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=110°,求∠2，∠3的度数.
解：∵a∥b，且∠1=110°（已知）∴∠2=∠1=110°
∵c∥d（已知）∴∠1＋∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3=180°-∠1=180°-110°=70°（等式的基本性质）
（二）独立探究，步骤规范
1.如图4，AE∥CD，若∠1=37°,∠D=54°，求∠2和∠BAE的度数.
解：∵AE∥CD，∠1=37°，∴∠2=∠1=37°(两直线平行，内错角相等)
∵AE∥CD，∠D=54°，∴∠BAE=∠D=54°(两直线平行，同位角相等）
2.如图5，平行直线AB,CD被直线EF所截，分别交直线AB,CD于点G,M.GH和MN分别是∠EGB和∠EMD的角平分线.问：GH和MN平行吗？请说明理由.
解：∵AB∥CD，∴∠EGB=∠GMD(两直线平行，同位角相等）
∵GH和MN分别是∠EGB和∠EMD的角平分线.
∴∠EGH=0.5∠EGB，∠GMN=0.5∠GMD
∴∠EGH=∠GMN，
∴GH∥MN(同位角相等，两直线平行）
三.典例与练习
例1.如图6，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.
解：∵直线AB∥CD，∴∠1=∠ABC=54°，
∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠DBC=54°，
∴∠2=180°-54°-54°=72°.
练习1.如图7，已知，∠1=∠2，∠E=∠F，试猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由.
解：AB//CD，理由如下：∵∠E=∠F，∴AE//DF，∴∠EAD=∠FDA，
∵∠1=∠2，∴∠1+∠EDA=∠2+∠FDA，
即∠BAD=∠CDA，∴AB//CD.
例2.如图8，∠1=∠3=60°，∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由.
解：∵∠3=60°，∠2=120°
∴∠3+∠2=180°∴AB//CD，(同旁内角互补，两直线平行）
∵AB//CD，∴∠3=∠BOF(两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠3，∴∠1=∠BOF，∴AE//CF(同位角相等，两直线平行）
练习2.下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等．其中是平行线的性质的是( D )
A．① B. ②③ C．④ D. ①④
四.课堂小结
1.平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等;③两直线平行，同旁内角互补;
2.平行线判定与性质综合：
判定：由角的数量关系确定直线的位置关系；性质：由直线的位置关系确定角的数量关系.
3.基本模型：①铅笔模型形，②猪路蹄模型
五.分层过关
1.如图9，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝105°，则∠4的度数为( D )
A．55° B．60° C．70° D．75°
2.如图10，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，
此时的航行方向为( A )
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
3.如图11，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=130°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为160°
4.如图12，AB∥CD，∠B=30°，∠D=40°，则∠BED的度数为70°．
5.如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠C，试说明：AE∥BC.
解：∵∠1＝∠2(已知)，
∴DC∥AB(同位角相等，两直线平行)，
∴∠ADC＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵∠A＝∠C(已知)，∴∠ADC＋∠C＝180°(等量代换)，
∴AE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
6.如图14，已知∠BAD+∠ADC=180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠AEB．
（1）若∠B=86°，求∠DCG的度数；（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由；
（3）若∠DAB=α，∠DGC=θ，直接写出当α、θ满足什么数量关系时，AE∥DG？
解：（1）∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，∴∠DCG=∠B=86°
（2）AD∥CB；理由如下：∵AB∥CD∴∠BAF=∠CFE，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAF=∠FAD，∴∠DAF=∠CFE，
∵∠CFE=∠AEB，∴∠DAF=∠AEB，∴AD∥CB.
（3）α=2θ时，AE∥DG；理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAB=2∠DAF=2∠AEB，当AE∥DG，∴∠AEB=∠G，∴α=2θ．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
图12
图10
图9
图11
图13
图14
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(总课时21)§2.3平行线的性质（2）
一.选择题：
1.如图1，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°
2.如图2，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
3.如图3，∠1＝∠2，∠C＝130°，∠2＝22°，则∠DAC的度数是( )
A．25° B．24° C．28° D．22°
4.如图4，下列推理错误的是 ( )
A.∵∠1＝∠2，∴a∥b B.∵∠1＝∠3，∴a∥b
C.∵∠3＝∠5，∴c∥d D.∵∠2＋∠4＝180°，∴c∥d
5.如图5，，平分，且，则与的关系是
A． B． C． D．
二.填空题：
6.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则同旁内角_____.
7.如图6，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=_____.
8.如图7，AB∥CD，∠1=60°，则∠2=_____，∠3=_____，∠4=_____．
9.如图8，已知AB//CD，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC=_____
10.如图9，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=35，那么∠BED的度数为_____．
三.解答题：
11.如图10，已知CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，且∠EDC＝0.5∠ACB，∠DCB＝30°，
求∠AED的度数．
12.如图11，已知∠1=∠2，∠C=∠D，证明AC//DF．
13.如图12，已知四边形ABCD中，AB//CD，BC//AD，DE为AD的延长线，请问：∠A与∠C，∠EDC与∠B的大小有什么关系？试说明理由；
14.已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．
（1）如图13.1，当点B在点A的左侧时，
①若∠ABC＝50°，∠ADC＝70°，∠BED=______；
②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；
（2）如图13.2，当点B在点A的右侧时，
试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．
图4
图3
图2
图5
图1
图10
图8
图9
图7
图6
图11
图12
图13.2
图13.1
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