广东省广州市真光中学2023-2024学年高二下学期第一次月考适应性预测卷数学试题（含答案）

真光中学2023-2024学年高二下期第一次月考适应性预测卷
数学
本试卷共 4页，19 小题，满分 150 分。考试用时120分钟
使用时间：2024.3月考前
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号
填写在答题卡上，并用 2B 铅笔把对应考生号标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案，改动的内容也不
能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
本卷采用广东省教育考试院《关于下发高考综合改革适应性演练数学和外语小语种的文件》提及的2024年数学新高考一卷新试题结构。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．曲线在点处的切线与直线平行，则
A． B． C．1 D．2
2．下列函数中，在区间上为减函数的是
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是

A． B． C． D．
4．已知函数的导函数为，且，则实数
A．2 B．5 C． D．
5．已知x，，则“”是“”的
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
6．已知函数，若，使得，则的最小值为
A． B． C． D．
7．设则
A． B． C． D．
8．已知函数，若对于任意的实数x，都有成立，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数求导正确的是
A． B．
C． D．
10．已知函数，则
A．有一个零点
B．的极小值为
C．的对称中心为
D．直线是曲线的切线
11．已知函数，则
A．有两个极值点
B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心
D．过点可作曲线的两条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
13．已知函数在处可导，且则＝ ．
14．如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段.在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 .在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 .（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（13分）
如图，曲线BRA是一段二次函数的图象，B在y轴上，A在x轴上，R为抛物线段上一动点，以R为切点的抛物线的切线与x轴交于P点，与y轴交于Q点，已知抛物线段上存在一点D到x，y轴的距离分别为，，且OA＝1，OB＝2．过B作轴，与PQ交于C．
(1)求抛物线段BRA的方程；
(2)求图中阴影部分的面积取得最小值时，R点到y轴的距离．
（15分）
如图，平面四边形中，，对角线相交于．
（1）设，且，
（ⅰ）用向量表示向量；
（ⅱ）若，记，求的解析式．
（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．
（15分）
如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，.原有观光道路OC，且.为便于游客观赏，景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端点O、C）上，Q在景点边界OB上，且，同时维修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元、万元，维修OP段的每千米费用是万元.
（1）设，求所需总费用，并给出的取值范围；
（2）当P距离O处多远时，总费用最小.
（17分）
已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.
（17分）
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线为轴，求的值；
(2)讨论在区间内极值点的个数；
(3)若在区间内有零点，求证：.
高二数学参考答案与评分标准
评分说明：
1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力，对照评分标准给以相应的分数．
2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C A C D B
二、选择题：本题共小3题，每小6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BD ACD ACD
（说明：当正确选项数为2时，选对其中1个得3分，选对其中2个得6分；
当正确选项数为3时，选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，选对其中3个得6分.）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14. （第一空2分，第二空3分）
15．（13分）
（1）解：设抛物线段BRA的方程为，…………………1分
由已知得，，，，代入得，
，解得， …………………4分
所以抛物线段的方程为. …………………5分
（2）解：设R点到y轴的距离为，
由已知得，，则PQ的斜率为，
所以PQ的方程为，…………………7分
令得，，即，…………………8分
令得，，即，…………………9分
因为x，y轴与抛物线路段BRA所围成的面积为定值，所以图中阴影部分的面积取得最小值等价于直角梯形OBCP的面积S取得最小值．
四边形OBCP的面积为，…………………11分
因为，所以，…………………12分
当且仅当，即时取得等号，
所以图中阴影部分的面积取得最小值时，R点到y轴的距离为.…………………13分
16．（1）（ⅰ）因为，，
所以，…………………2分
即，所以，…………………4分
（ⅱ）因为，，
所以，…………………5分
因为且，
所以，…………………6分
即，
所以，…………………7分
整理可得：，
即，.…………………9分
（2）由（1）知：，由三角形面积公式可得：
，
…………………11分
记，所以，
所以在上单调递减，…………………13分
所以，所以的取值范围为.…………………15分
解：（1）因为，
所以.…………………1分
又在中，，
所以，
.…………………4分
因为，
所以
.…………………7分
（2），
由得，…………………9分
又，所以.
当时，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.…………………13分
所以当时，取最小值，此时.…………………14分
答：当点P距离O处千米时，总费用的最小.…………………15分
18．（1）由，则，…………………1分
在上单调递减，即在上恒成立，…………………2分
即有在上恒成立，即，
令，，则，…………………3分
设，，则，
故在上单调递减，…………………4分
故，
即恒成立，故在上单调递增，…………………5分
有，即，
故的取值范围为；…………………6分
（2）若，则，，
设，则，…………………7分
故在上单调递增，又，
，故在上存在唯一零点，
设该零点为，即有，
有时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，…………………8分
又，，
故当时，，即，
故在上单调递减，
当时，有，故，
即在上单调递增，…………………9分
故时，，
又，且定义域为，
故为偶函数，即当时，，
故恒成立；…………………10分
（3）， 有，…………………11分
由（2）可知，若方程两个不同的实数根，则，
下面证明：，
不妨设，则，
要证，只需证明，而，
由（2）可知，在上单调递减，故只需证明，
而，故只需证明，
设
，
则，即在上单调递增，…………………13分
故，故，即，
又，故，…………………14分
由（2）得，，
当时，，故在上单调递增，…………………15分
又，，
故.…………………17分
19．（1）由得：，
依题意，，得.…………………2分
经验证，在点处的切线为，所以.…………………3分
（2）由题得.
（i）若，当时，恒成立，
所以在区间上单调递增，所以无极值点.…………………4分
（ii）若，
当时，，故在区间上单调递减，…………………5分
当时，，故在区间上单调递增.…………………6分
所以为的极小值点，且无极大值点.…………………7分
综上，当时，在区间内的极值点个数为0；
当时，在区间内的极值点个数为1.…………………8分
（3）由（2）知当时，在区间上单调递增，
所以，在区间内无零点.…………………10分
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以.…………………12分
若在区间内有零点，则.
而，设，
则.…………………14分
设，则，
所以在区间上单调递增.…………………15分
所以，即.
所以在区间上单调递增.…………………16分
所以，即.
又，
所以.…………………17分
选填详细解析：
1．C
【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案.
【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行，
故曲线在点处的切线的斜率为2，
因为，所以，
所以，
故选：C.
2．D
【分析】AB可根据函数图象直接得到在上的单调性；C选项，求导得到单调性；D选项，根据复合函数单调性满足同增异减求出答案.
【详解】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；
B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C选项，在上恒成立，
故在上单调递增，C错误；
D选项，令得，，
在上单调递增，
而在上单调递减，
由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.
故选：D
3．D
【分析】根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.
【详解】由的图象可知时，，且的值随x的增大逐渐减小，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，
当时，，且的值随x的增大逐渐增大，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，
结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象，
故选：D
4．C
【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得.
【详解】，
，解得.
故选：C.
5．A
【分析】设，利用导数研究函数的性质可知在上单调递增，
结合函数的单调性解不等式以及充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】设，则，
令，所以函数在上单调递增.
当时，则，即，充分性成立；
当时，有，得，
所以不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．C
【分析】结合题意构造函数，得到，表示出,再借助导数求出得最小值即可.
【详解】因为，使得，
所以，
即，
令，，
所以在上单调递增.
所以，即，所以，
令，则，
当时，，在单调递减;
当时，，在单调递减;
所以当时，函数取得最小值，即.
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：
积型：，
①，构建；
②，构建；
商型：，
①，构建；
②，构建；
和型：，
①，构建；
②，构建.
7．D
【分析】构造函数利用导数研究其单调性判定大小即可.
【详解】令，
则，
易知，显然和时，，即在和上单调递减，时，，即在上单调递增，
易知，且，
所以，
又，，所以.
故选：D
8．B
【分析】对进行分类讨论，利用分离常数法、导数与切线等知识来求得的取值范围.
【详解】当时，，即，
所以，，当时等号成立，所以；
当时，成立；
当时，，即，
所以，
设，
所以曲线在处的切线为，
要使时成立，则需，即．
综上所述，．
故选：B
【点睛】求解不等式恒成立问题，如果不等式含有参数，可以考虑利用分离参数法来进行求解，也可以考虑转化法来进行求解，将问题转化为两个容易求解的函数，然后结合导数等知识来求得参数的取值范围.
9．BD
【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式，逐一判断，即可得到结果.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：BD
10．ACD
【分析】利用导数讨论函数的单调性，得出极值点，画出函数的大致图像即可判断A和B，利用函数关于某点中心对称的结论即可判断C，根据导数的几何意义求出曲线的切线方程即可判断D.
【详解】对于A：，令或，令，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，可画出函数的大致图像如图所示：
故A正确；
对于B：由选项A分析可知，函数的极小值为，故B错误；
对于C：∵，故C正确；
对于D：令，又
∴斜率为-1切线方程为，即，故D正确；
故选：ACD
11．ACD
【分析】利用导数结合极值的概念即可判断A；利用A选项中的单调性，结合零点存在性定理即可判断B；令，利用奇函数定义可得是奇函数，再由函数图象的平移变换规律可判断C；利用导数的几何意义，结合过某点的切线方程的求解方式即可判断D.
【详解】由题意得，．
令，得或，
令，得，
所以在，上单调递增，
在上单调递减，所以是极值点，A正确．
由的单调性，且极大值，极小值，
又，，所以函数在定义域上有3个零点，B错误．
令，因为，则是奇函数，
所以是图象的对称中心，将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，C正确．
设切点为，则切线的方程为，代入，
可得，解得或，
所以过点的切线有两条，D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
则切线斜率为，
所以切线方程为，
即所求切线方程为.
故答案为：.
13．
【分析】根据题目条件得到，结合导数的定义求出答案.
【详解】根据题意，，
变形可得，
又由函数在处可导，
则.
故答案为：.
14．
【分析】设，利用锐角三角函数表示出，再利用辅助角公式求解即得；求出的面积函数式，利用导数求出最大值即得.
【详解】依题意，设，则，
因此的周长，
显然，于是当，即时，取等号，
所以步行道长度的最大值是；
由于，得，
因此的面积，
令，求导得，
而，则当时，，函数递增，当时，，函数递减，
于是当，即时，，
所以花圃面积的最大值.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.