苏科版2023-2024学年七年级下册数学 7.5多边形的内角和与外角和同步练习（含答案）

苏科版2023-2024学年七年级下册数学7.5多边形的内角和与外角和
同步练习（含答案）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米，又向左转照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）

A．80米 B．100米 C．120米 D．160米
3．如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之景如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
5．琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误的是（ ）

A．变成四边形后对角线增加了两条
B．变成四边形后内角和增加了
C．外角和没有发生变化
D．若剪掉的角的度数是，则
6．如图，等于（ ）
A． B． C． D．
7．一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．如图，被树叶遮掩的部分是一个正n边形，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
9．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．6或4 C．5或7 D．5或6或7
10．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
11．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为(　　 )
A．20° B．35° C．40° D．45°
12．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C．或 D．或或
二、填空题
13．如图是用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则 ．
14．如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．

15．某机器人编制一段程序，如果机器人以2cm/s的速度在平地上按照下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为 s．
16．如图，在五边形中，分别是的外角，则的度数为 ．
17．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则 ．
18．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=
19．如图由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，，则 ．
20．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2700°，则原多边形的边数是 ．
21．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝ ．
22．如图，分别是四边形的内角，外角的平分线，若，则 °．

23．如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则 ．

24．从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是
三、解答题
25．如图所示，求的度数．

26．如图，在四边形中，，，，，是的平分线，与边交于点．
(1)求的度数；
(2) 度．
27．按要求完成下列各小题．
(1)如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求的度数．
(2)如图2，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，求的度数．
28．按要求完成下列各小题．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和多，求这个多边形的边数．
(2)如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，求的度数．
29．阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
30．如图，小华在空旷的操场上向右行走米后，接着向左转，再向前行走米，再接着向左转，再向前行走米，…这样一直走下去．

(1)请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系．
(2)小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由．
31．（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；
（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
32．已如在四边形中，．
（1）如图1，若，则________．
（2）如图2，若、分别平分、，判断与位置关系并证明理由．
（3）如图3，若、分别五等分、（即，），则_______．
33．在五边形ABCDE中，，，．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若比小，求出的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数．
34．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．
　　
(1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成．
请观察图形，并填空：______°，______°；
(2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论；
(3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合．
答案：
1．解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
∴，
即该正多边形的边数是8．
故选：B．
2．解：，
（米），
故选：A．
3．解：由多边形的外角和等于度，可得．
故选：B．
4．解：正八边形的外角和为，
每一个外角为，
故选：A．
5．解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意；
B、三角形内角和为，变成四边形后内角和为，增加了，故错误，不合题意；
C、任意多边形的外角和是，故正确，不合题意；
D、若剪掉的角的度数是，则，则，故正确，不合题意；
故选：B．
6．解：如图所示，
∵，，
又∵，
∴．
故选：B．
7．解：设该多边形有n条边，
由题意得：，
解得，
则这个多边形是三角形，
故选A．
8．解：如图，由题意得，，
∴，
∴,
故选：D．
9.解：如图，
剪切的三种情况：
①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n-2） 180=720，
解得：n=6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
10．如图所示，

∵正n边形也能围成环状，
∴，
∴，
∴由题意可得，圆环里面是以为边的正多边形，
∴这个正多边形的外角为，
∴这个正多边形的边数为，
∴是正整数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
综上所述，其他所有n的可能的值为6，8，12．
故选：D．
11．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-505°=35°，
故选：B．
12．解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
13．解：由题意可得是等边三角形，
延长交于点，则，
即正边形的一个外角是
这个多边形是边形，
故答案为：．
14．解：正三角形和正方形的内角分别为与，
，
这块正多边形地砖的边数为，
故答案为：．
15．解： ∵360÷45=8，
则所走的路程是：4×8=32m，
则所用时间是：32÷2=16s．
故答案是：16．
16．反向延长，，
∵，
∴，
根据多边形的外角和定理可得
，
∴．
故答案为：．
17．解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
18．∵l∥CD，正五边形ABCDE，
∴∠1=∠2，
∠BAE=540°÷5=108°，
∴∠1=∠2=180°﹣∠BAE，
即2∠1=180°﹣108°，
∴∠1=36°．
故答案为36°．
19．如图所示，
正方形的每个内角为：，
正五边形的每个内角为：，
正六边形的每个内角为：，
根据图形可知：，，，
得：，
∵，，
∴，
故答案为：．
20．解：设新多边形的边数为n，则，解得：.
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等、多1或少1，
∴原多边形的边数是16或17或18.
21．解：五边形是正五边形，
，，
；
故答案为：．
22．解：∵分别是四边形的内角，外角的平分线，
∴，，
∴
故答案为：25．
23．解：如图，

，，
．
，，
．
四边形的内角和为，
，
．
，
．
故答案为：．
24．分三种情况：
①若剩余部分的多边形是四边形，则内角和为360°，
②若剩余部分的多边形是五边形，则内角和为，
③若剩余部分的多边形是六边形，则内角和为，
故答案为： 或或.
25．解：如图，连接，

则．
∵，，
∴．
在五边形中，
，
∴．
即．
26．（1）解：，
，
，
．
（2），
是的平分线
，即：，
解得：．
故答案为：15．
27．（1）解：由题意得：∠BAD＝90°，∠DAC＝，
∴∠BAC＝360°－∠BAD－∠DAC＝360°－90°－120°＝150°；
（2）解：由题意得：∠F＝90°，∠ABC＝，
∴∠BAF＝∠ABC－∠F＝108°－90°＝18°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角的求法，三角形外角的性质，掌握求正多边形的内角的方法是解题的关键．
28．（1）解：设多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
∴这个多边形的边数是9；
（2）解：正五边形的内角和为，
∴正五边形每个内角为，
即，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴．
29．上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是；
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是．
所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．
30． （1）解：如图所示：

∵，每次向前行走米，
∴小华走六次得到的图形是正六边形，
∴第四次行走的路线与首次行走路线平行；
（2）能；
∵，每次向前行走米，
∴小华走六次得到的图形是正六边形，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了米．
31．解：（1）
经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，
发现：三角形中的外角和为360°，
理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°，
∠ACE+∠ACB＝180°，
∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；
（2）
∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，
所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；
发现：在四边形的外角和是360°；
∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，
∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，
∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，
∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．
（3）猜想：多边形的外角和都是360°．
设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，
∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．
32．解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°，
∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠NDC=180°-110°=70°；
（2）DE∥BF，如图，连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，
∴∠MBC+∠CDN=180°，
∵∠CBF=∠MBC，∠CDE=∠CDN，
∴∠CBF+∠CDE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，
∴DE∥BF；
（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，
∴∠CDP+∠CBP=（∠MBC+∠CDN）=36°，
连接PC并延长，
∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，
∴∠DPB=90°-36°=54°．
33．（1）解：如图即为所求．
（2）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵CP平分，DP平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
34．（1）解：由图1可知，，，
∴，，
故答案为：72，36；
（2）解：∵正三角形的每个内角是，能整除，
∴全等的等边三角形能镶嵌成一个平面图案；
设正多边形的边数为n，则正多边形的每个内角为，
∵单独使用全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴能被整除，又n为正整数，
∴或4或6，
故单独使用全等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图案；
（3）解：∵正n多边形的每个内角为，
∴正边形内角为，正边形内角为，…，正边形内角为，
由镶嵌条件，得，
则，
∴
当时，，
若这4个正多边形都是正方形时，满足；
若这4个正多边形中，2个正方形，1个正三角形，1个正六边形，满足；
若这4个正多边形中，2个正三角形、2个正六边形时，满足，
综上，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形．