黑龙江省大庆市林甸县2014-2015学年度九年级上学期期末数学试卷【解析版】
文档属性
| 名称 | 黑龙江省大庆市林甸县2014-2015学年度九年级上学期期末数学试卷【解析版】 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 362.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-08-11 00:00:00 | ||
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文档简介
黑龙江省大庆市林甸县2014～2015学年度九年级上学期期末数学试卷
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．如图，这是一个正三棱柱，则它的俯视图为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． D．
2．如图，身高1.6米的学生小李想测量学 ( http: / / www.21cnjy.com )校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
4．如图，在长为100米，宽为80米的矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
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A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 B． （100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C． （100﹣x）（80﹣x）=7644 D． 100x+80x=356
5．如图，D为△ABC内部一点，E、F两点 ( http: / / www.21cnjy.com )分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 16 B． 24 C． 36 D． 54
6．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C． ﹣1＜x＜0或x＞3 D． ﹣1＜x＜3
7．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（ ）
A． b1＜b2? B． b1=b2? C． b1＞b2? D． 大小不确定
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
10．如图，点A，B，C， ( http: / / www.21cnjy.com )D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
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A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 ．
12．如图，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是 ．
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13．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： ．
14．小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明步行速度y（m/min）可以表示为；水平地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为xm2，那么该物体对地面压强y（N/m2）可以表示为，；函数关系式还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例： ．
15．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ．
16．双曲线与直线y=2x的交点坐标为 ．
17．如图，正方形ABCD的边长为3c ( http: / / www.21cnjy.com )m，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
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18．如图，过反比例函数y=（x＞0）图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB．设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小： ．
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三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．解方程：3x2﹣6x+1=0．
20．小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求m的值；
从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
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21．如图，王华晚上由路灯A下的B ( http: / / www.21cnjy.com )处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
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22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：= （不写解答过程，直接写出结果）．
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23．为预防流感，某学校对教室采用 ( http: / / www.21cnjy.com )药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完毕后，y与x成反比例，如图所示．现测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时y与x的函数关系式；
药物燃烧完毕后y与x的函数关系式；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少要经过多少分钟后，学生才能回到课室？
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24．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
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25．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，求a的值．
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
求△AOB的面积．
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27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点．若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．
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28．如图，在正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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黑龙江省大庆市林甸县2014～2015学年度九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．如图，这是一个正三棱柱，则它的俯视图为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可．
解答： 解：从上面看可看到一个三角形，故选C．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．如图，身高1.6米的 ( http: / / www.21cnjy.com )学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
考点： 相似三角形的应用．
专题： 压轴题．
分析： 因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
解答： 解：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选：C．
点评： 本题考查了考查相似三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
考点： 菱形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得：AB===5，
即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5．
故选：D．
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点评： 本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
4．如图，在长为100米，宽为80米的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 B． （100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C． （100﹣x）（80﹣x）=7644 D． 100x+80x=356
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
解答： 解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
5．如图，D为△ABC内部一点，E ( http: / / www.21cnjy.com )、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（ ）
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A． 16 B． 24 C． 36 D． 54
考点： 三角形的面积；矩形的性质．
分析： 由于S△ADC=S△AGC﹣S△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解．
解答： 解：S△ADC=S△AGC﹣S△ADG
=×AG×BC﹣×AG×BF
=×8×（6+9）﹣×8×9
=60﹣36
=24．
故选：B．
点评： 考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算．
6．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C． ﹣1＜x＜0或x＞3 D． ﹣1＜x＜3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 根据观察图象，可得直线在双曲线上方的部分，可得答案．
解答： 解：如图：
直线在双曲线上方的部分，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3，
故选：A．
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点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线在双曲线上方的部分是不等式的解．
7．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（ ）
A． b1＜b2? B． b1=b2? C． b1＞b2? D． 大小不确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
分析： 根据题意画出函数图象，再根据其反比例函数增减性解答即可．
解答： 解：函数图象如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，a1＜a2．
无法确定这两个点是在那个象限，也就无法确定出b1，b2的大小关系．
故选D．
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点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
考点： 勾股定理．
分析： 由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
解答： 解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
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点评： 本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则=（ ）
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A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 先根据题意得出△ABD∽△CAD ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，进而可得出结论．
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，∠B=∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，即AD2=BD CD，
∵BD：CD=3：2，
∴设BD=3x，则CD=2x，
∴AD==x，
∴==．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长．
10．如图，点A，B，C，D的坐标分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
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A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）
考点： 相似三角形的判定；坐标与图形性质．
分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解答： 解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CD ( http: / / www.21cnjy.com )E=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
点评： 本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．某企业2010年底缴税4 ( http: / / www.21cnjy.com )0万元，2012年底缴税48.4万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 40（1+x）2=48.4 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据增长率问题，一般用增长后的 ( http: / / www.21cnjy.com )量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2011年的缴税额，然后表示出2012年的缴税额，即可列出方程．
解答： 解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，
依题意得40（1+x）2=48.4．
故答案为：40（1+x）2=48.4．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12．如图，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是 ．
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考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个指针同时指在偶数上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
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∵共有25种等可能的结果，两个指针同时指在偶数上的有6种情况，
∴两个指针同时指在偶数上的概率是：，
故答案为：．
点评： 本题考查的是用列表法 ( http: / / www.21cnjy.com )或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y=﹣ ．
考点： 反比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
解答： 解：∵图象在第二、四象限，
∴y=﹣，
故答案为：y=﹣．
点评： 此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
14．小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明步行速度y（m/min）可以表示为；水平地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为xm2，那么该物体对地面压强y（N/m2）可以表示为，；函数关系式还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例： 体积为1500cm3的圆柱底面积为xcm2，那么圆柱的高y（cm）可以表示为 ．
考点： 根据实际问题列反比例函数关系式．
分析： 可找相应的三个量，模仿例子解答．
解答： 解：体积为1500cm3的圆柱底面积为xcm2，那么圆柱的高y（cm）可以表示为．
点评： 本题需注意常数应为其他两个量的积．
15．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 0 ．
考点： 根的判别式．
专题： 判别式法．
分析： 根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可．
解答： 解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×＞0，
解得m＜，
所以m的最大整数值为0．
故答案为：0．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16．双曲线与直线y=2x的交点坐标为 和（﹣2，﹣4） ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 求双曲线与直线y=2x的交点坐标，其实就是求方程组的解．
解答： 解：依题意有，
解得与．
即交点坐标为和（﹣2，﹣4）．
故答案为：和（﹣2，﹣4）．
点评： 本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，体现了方程思想．
17．如图，正方形ABCD的边长为3c ( http: / / www.21cnjy.com )m，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 1或2 cm．
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考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意画出图形，过P作PN⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
解答： 解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°=，即DE=cm，
根据勾股定理得：AE==2cm，
∵M为AE的中点，
∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，
∴AP===2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
综上，AP等于1cm或2cm．
故答案为：1或2．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，过反比例函数y=（x＞0）图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB．设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小： S1=S2 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数k的几何意义得到S△A ( http: / / www.21cnjy.com )OC=S△BOD，然后利用S四边形ABDO=S1+S△BDO=S2+S△AOC即可得到S1=S2．
解答： 解：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴S△AOC=S△BOD，
∵S四边形ABDO=S1+S△BDO=S2+S△AOC，
∴S1=S2．
故答案为S1=S2．
点评： 本题考查了反比例函数比例系数 ( http: / / www.21cnjy.com )k的几何意义：在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．解方程：3x2﹣6x+1=0．
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 利用配方法解方程的步骤，①移项，②二次项系数化1，③配方，方程两边加一次项系数一半的平方，④开平方，得出方程的根．
解答： 解：3（x2﹣2x）=﹣1．
3（x2﹣2x+1﹣1）=﹣1，
3（x﹣1）2=﹣1+3，
x﹣3=±，
x1=3+，x2=3﹣；
点评： 此题主要考查了配方法解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，配方过程中应注意，二次项系数化一各项都要除以二次项系数，以及方程两边应同时加一次项系数一半的平方．
20．小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求m的值；
从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．
分析： （1）根据班级总人数有50名学生以及利用条形图得出m的值即可；
根据在6～10小时的5名学生中随机选取2人，利用树形图求出概率即可．
解答： 解：（1）m=50﹣6﹣25﹣3﹣2=14；
记6～8小时的3名学生为，8～10小时的两名学生为，
P（至少1人时间在8～10小时）=．
点评： 此题主要考查了频数分布表以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．
21．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到 ( http: / / www.21cnjy.com )C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 中心投影．
专题： 应用题．
分析： 根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解答： 解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，
∴=，
∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，
设AB=x，BC=y，
∴=，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．
∵=，即=，
解得x=6米．
即路灯A的高度AB=6米．
点评： 本题综合考查了中心投影的特 ( http: / / www.21cnjy.com )点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：= 1：4 （不写解答过程，直接写出结果）．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 作图-位似变换；作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
解答： 解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2，
∴：=1：4．
故答案为：1：4．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
23．为预防流感，某学校对教室采用药 ( http: / / www.21cnjy.com )熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完毕后，y与x成反比例，如图所示．现测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时y与x的函数关系式；
药物燃烧完毕后y与x的函数关系式；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少要经过多少分钟后，学生才能回到课室？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 反比例函数的应用．
分析： （1）由于在药物燃烧阶段，y与 ( http: / / www.21cnjy.com )x成正比例，因此设函数解析式为y=kx（k≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；
由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=（k≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；
（3）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
解答： 解：（1）∵药物燃烧时y与时间x成正比例，
∴设 y=kx
∵（8，6）在y=kx上，8k=6，
∴，
∴
∵药物燃烧完毕后，y与x成反比例
∴设
∵（8，6）在上，
∴k1=6×8=48；∴
（3）把y=1.6代入∴，得x=30
∴学生至少经过30分钟才可以进课室．
点评： 本题考查了反比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 其他问题．
分析： 首先根据共支付给春 ( http: / / www.21cnjy.com )秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．
解答： 解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．
因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．
可得方程[1000﹣20（x﹣25）]x=27000．
整理得x2﹣75x+1350=0，
解得x1=45，x2=30．
当x1=45时，1000﹣20（x﹣25）=600＜700，故舍去x1；
当x2=30时，1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．
点评： 此类题目贴近生活，有利于培养学生应 ( http: / / www.21cnjy.com )用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
25．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，求a的值．
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 由关于x的方程有两个不相等的实数根， ( http: / / www.21cnjy.com )得到根的判别式的值大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式中得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答： 解：∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，
∴△=（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，即9a2+6a+1﹣8a2﹣8a=a2﹣2a+1=（a﹣1）2＞0，即a≠1，a≠0，
且x1+x2=，x1x2=，
∴x1﹣x1x2+x2==1﹣a，即=﹣（a﹣1），
∵a≠1，即a﹣1≠0，
∴a=﹣1．
点评： 此题考查了根的判别式，根与系数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，以及一元二次方程的定义，一元二次方程中根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程没有实数根．
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
求△AOB的面积．
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考点： 一次函数综合题；反比例函数综合题．
专题： 压轴题；待定系数法．
分析： （1）首先把A的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
解答： 解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．
∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．
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点评： 此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．
27．如图，Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点．若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．
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考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 动点型；分类讨论．
分析： 先求出AB的长，再分①∠BDE=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
解答： 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=2÷=4，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=×4=2（cm），
点E在AB上时，t=2÷1=2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2﹣2=6（cm），
∴t=6÷1=6（秒）（舍去）；
②∠BED=90°时，BE=BD cos60°=×2×=0.5，
点E在AB上时，t=（4﹣0.5）÷1=3.5（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5（cm），
t=4.5÷1=4.5（秒），
综上所述，t的值为2或3.5或4.5．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形的相关知识，难点在于分情况讨论．
28．如图，在正方形ABCD中，点M是 ( http: / / www.21cnjy.com )BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
分析： （1）根据正方形的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴=，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴=，
∴=，
∴BM=MC．
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点评： 本题考查了相似三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．如图，这是一个正三棱柱，则它的俯视图为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． D．
2．如图，身高1.6米的学生小李想测量学 ( http: / / www.21cnjy.com )校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
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A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
4．如图，在长为100米，宽为80米的矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
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A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 B． （100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C． （100﹣x）（80﹣x）=7644 D． 100x+80x=356
5．如图，D为△ABC内部一点，E、F两点 ( http: / / www.21cnjy.com )分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（ ）
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A． 16 B． 24 C． 36 D． 54
6．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C． ﹣1＜x＜0或x＞3 D． ﹣1＜x＜3
7．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（ ）
A． b1＜b2? B． b1=b2? C． b1＞b2? D． 大小不确定
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
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A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则=（ ）
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A． B． C． D．
10．如图，点A，B，C， ( http: / / www.21cnjy.com )D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
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A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 ．
12．如图，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是 ．
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13．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： ．
14．小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明步行速度y（m/min）可以表示为；水平地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为xm2，那么该物体对地面压强y（N/m2）可以表示为，；函数关系式还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例： ．
15．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ．
16．双曲线与直线y=2x的交点坐标为 ．
17．如图，正方形ABCD的边长为3c ( http: / / www.21cnjy.com )m，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
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18．如图，过反比例函数y=（x＞0）图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB．设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小： ．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．解方程：3x2﹣6x+1=0．
20．小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求m的值；
从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
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21．如图，王华晚上由路灯A下的B ( http: / / www.21cnjy.com )处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
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22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：= （不写解答过程，直接写出结果）．
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23．为预防流感，某学校对教室采用 ( http: / / www.21cnjy.com )药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完毕后，y与x成反比例，如图所示．现测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时y与x的函数关系式；
药物燃烧完毕后y与x的函数关系式；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少要经过多少分钟后，学生才能回到课室？
( http: / / www.21cnjy.com )
24．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
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25．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，求a的值．
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
求△AOB的面积．
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27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点．若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
28．如图，在正方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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黑龙江省大庆市林甸县2014～2015学年度九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．如图，这是一个正三棱柱，则它的俯视图为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． D．
考点： 简单几何体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可．
解答： 解：从上面看可看到一个三角形，故选C．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．如图，身高1.6米的 ( http: / / www.21cnjy.com )学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 6.4米 B． 7米 C． 8米 D． 9米
考点： 相似三角形的应用．
专题： 压轴题．
分析： 因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
解答： 解：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选：C．
点评： 本题考查了考查相似三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（ ）
A． 10 B． 8 C． 6 D． 5
考点： 菱形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得：AB===5，
即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
4．如图，在长为100米，宽为80米的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 B． （100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C． （100﹣x）（80﹣x）=7644 D． 100x+80x=356
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
解答： 解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
5．如图，D为△ABC内部一点，E ( http: / / www.21cnjy.com )、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 16 B． 24 C． 36 D． 54
考点： 三角形的面积；矩形的性质．
分析： 由于S△ADC=S△AGC﹣S△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解．
解答： 解：S△ADC=S△AGC﹣S△ADG
=×AG×BC﹣×AG×BF
=×8×（6+9）﹣×8×9
=60﹣36
=24．
故选：B．
点评： 考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算．
6．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1或0＜x＜3 B． ﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C． ﹣1＜x＜0或x＞3 D． ﹣1＜x＜3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 数形结合．
分析： 根据观察图象，可得直线在双曲线上方的部分，可得答案．
解答： 解：如图：
直线在双曲线上方的部分，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3，
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线在双曲线上方的部分是不等式的解．
7．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（ ）
A． b1＜b2? B． b1=b2? C． b1＞b2? D． 大小不确定
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．
分析： 根据题意画出函数图象，再根据其反比例函数增减性解答即可．
解答： 解：函数图象如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，a1＜a2．
无法确定这两个点是在那个象限，也就无法确定出b1，b2的大小关系．
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． 16 B． 17 C． 18 D． 19
考点： 勾股定理．
分析： 由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
解答： 解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．
9．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 先根据题意得出△ABD∽△CAD ( http: / / www.21cnjy.com )，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，进而可得出结论．
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，∠B=∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，即AD2=BD CD，
∵BD：CD=3：2，
∴设BD=3x，则CD=2x，
∴AD==x，
∴==．
故选D．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长．
10．如图，点A，B，C，D的坐标分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． （6，0） B． （6，3） C． （6，5） D． （4，2）
考点： 相似三角形的判定；坐标与图形性质．
分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解答： 解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CD ( http: / / www.21cnjy.com )E=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
点评： 本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．某企业2010年底缴税4 ( http: / / www.21cnjy.com )0万元，2012年底缴税48.4万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 40（1+x）2=48.4 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 根据增长率问题，一般用增长后的 ( http: / / www.21cnjy.com )量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2011年的缴税额，然后表示出2012年的缴税额，即可列出方程．
解答： 解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，
依题意得40（1+x）2=48.4．
故答案为：40（1+x）2=48.4．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12．如图，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个指针同时指在偶数上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵共有25种等可能的结果，两个指针同时指在偶数上的有6种情况，
∴两个指针同时指在偶数上的概率是：，
故答案为：．
点评： 本题考查的是用列表法 ( http: / / www.21cnjy.com )或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y=﹣ ．
考点： 反比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．
解答： 解：∵图象在第二、四象限，
∴y=﹣，
故答案为：y=﹣．
点评： 此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
14．小明家离学校1.5km，小明步行上学需xmin，那么小明步行速度y（m/min）可以表示为；水平地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为xm2，那么该物体对地面压强y（N/m2）可以表示为，；函数关系式还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举1例： 体积为1500cm3的圆柱底面积为xcm2，那么圆柱的高y（cm）可以表示为 ．
考点： 根据实际问题列反比例函数关系式．
分析： 可找相应的三个量，模仿例子解答．
解答： 解：体积为1500cm3的圆柱底面积为xcm2，那么圆柱的高y（cm）可以表示为．
点评： 本题需注意常数应为其他两个量的积．
15．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 0 ．
考点： 根的判别式．
专题： 判别式法．
分析： 根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可．
解答： 解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×＞0，
解得m＜，
所以m的最大整数值为0．
故答案为：0．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
16．双曲线与直线y=2x的交点坐标为 和（﹣2，﹣4） ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 求双曲线与直线y=2x的交点坐标，其实就是求方程组的解．
解答： 解：依题意有，
解得与．
即交点坐标为和（﹣2，﹣4）．
故答案为：和（﹣2，﹣4）．
点评： 本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，体现了方程思想．
17．如图，正方形ABCD的边长为3c ( http: / / www.21cnjy.com )m，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 1或2 cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意画出图形，过P作PN⊥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
解答： 解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°=，即DE=cm，
根据勾股定理得：AE==2cm，
∵M为AE的中点，
∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，
∴AP===2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
综上，AP等于1cm或2cm．
故答案为：1或2．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，过反比例函数y=（x＞0）图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB．设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小： S1=S2 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数k的几何意义得到S△A ( http: / / www.21cnjy.com )OC=S△BOD，然后利用S四边形ABDO=S1+S△BDO=S2+S△AOC即可得到S1=S2．
解答： 解：∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴S△AOC=S△BOD，
∵S四边形ABDO=S1+S△BDO=S2+S△AOC，
∴S1=S2．
故答案为S1=S2．
点评： 本题考查了反比例函数比例系数 ( http: / / www.21cnjy.com )k的几何意义：在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．解方程：3x2﹣6x+1=0．
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 利用配方法解方程的步骤，①移项，②二次项系数化1，③配方，方程两边加一次项系数一半的平方，④开平方，得出方程的根．
解答： 解：3（x2﹣2x）=﹣1．
3（x2﹣2x+1﹣1）=﹣1，
3（x﹣1）2=﹣1+3，
x﹣3=±，
x1=3+，x2=3﹣；
点评： 此题主要考查了配方法解一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程，配方过程中应注意，二次项系数化一各项都要除以二次项系数，以及方程两边应同时加一次项系数一半的平方．
20．小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求m的值；
从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．
分析： （1）根据班级总人数有50名学生以及利用条形图得出m的值即可；
根据在6～10小时的5名学生中随机选取2人，利用树形图求出概率即可．
解答： 解：（1）m=50﹣6﹣25﹣3﹣2=14；
记6～8小时的3名学生为，8～10小时的两名学生为，
P（至少1人时间在8～10小时）=．
点评： 此题主要考查了频数分布表以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．
21．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到 ( http: / / www.21cnjy.com )C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 中心投影．
专题： 应用题．
分析： 根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解答： 解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，
∴=，
∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，
设AB=x，BC=y，
∴=，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．
∵=，即=，
解得x=6米．
即路灯A的高度AB=6米．
点评： 本题综合考查了中心投影的特 ( http: / / www.21cnjy.com )点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2．
（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即：= 1：4 （不写解答过程，直接写出结果）．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 作图-位似变换；作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
根据将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案．
解答： 解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2，
∴：=1：4．
故答案为：1：4．
( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
23．为预防流感，某学校对教室采用药 ( http: / / www.21cnjy.com )熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完毕后，y与x成反比例，如图所示．现测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时y与x的函数关系式；
药物燃烧完毕后y与x的函数关系式；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少要经过多少分钟后，学生才能回到课室？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 反比例函数的应用．
分析： （1）由于在药物燃烧阶段，y与 ( http: / / www.21cnjy.com )x成正比例，因此设函数解析式为y=kx（k≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y与x的函数解析式；
由于在药物燃烧阶段后，y与x成反比例，因此设函数解析式为y=（k≠0），然后由（8，6）在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y与x的函数解析式；
（3）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
解答： 解：（1）∵药物燃烧时y与时间x成正比例，
∴设 y=kx
∵（8，6）在y=kx上，8k=6，
∴，
∴
∵药物燃烧完毕后，y与x成反比例
∴设
∵（8，6）在上，
∴k1=6×8=48；∴
（3）把y=1.6代入∴，得x=30
∴学生至少经过30分钟才可以进课室．
点评： 本题考查了反比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 其他问题．
分析： 首先根据共支付给春 ( http: / / www.21cnjy.com )秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．
解答： 解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．
因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．
可得方程[1000﹣20（x﹣25）]x=27000．
整理得x2﹣75x+1350=0，
解得x1=45，x2=30．
当x1=45时，1000﹣20（x﹣25）=600＜700，故舍去x1；
当x2=30时，1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．
点评： 此类题目贴近生活，有利于培养学生应 ( http: / / www.21cnjy.com )用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
25．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，求a的值．
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： 由关于x的方程有两个不相等的实数根， ( http: / / www.21cnjy.com )得到根的判别式的值大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式中得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答： 解：∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，
∴△=（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，即9a2+6a+1﹣8a2﹣8a=a2﹣2a+1=（a﹣1）2＞0，即a≠1，a≠0，
且x1+x2=，x1x2=，
∴x1﹣x1x2+x2==1﹣a，即=﹣（a﹣1），
∵a≠1，即a﹣1≠0，
∴a=﹣1．
点评： 此题考查了根的判别式，根与系数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，以及一元二次方程的定义，一元二次方程中根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程没有实数根．
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
求△AOB的面积．
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考点： 一次函数综合题；反比例函数综合题．
专题： 压轴题；待定系数法．
分析： （1）首先把A的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
解答： 解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．
∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．
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点评： 此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积．
27．如图，Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点．若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，求t的值．
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考点： 相似三角形的判定与性质．
专题： 动点型；分类讨论．
分析： 先求出AB的长，再分①∠BDE=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
解答： 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=2÷=4，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=×4=2（cm），
点E在AB上时，t=2÷1=2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2﹣2=6（cm），
∴t=6÷1=6（秒）（舍去）；
②∠BED=90°时，BE=BD cos60°=×2×=0.5，
点E在AB上时，t=（4﹣0.5）÷1=3.5（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5（cm），
t=4.5÷1=4.5（秒），
综上所述，t的值为2或3.5或4.5．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形的相关知识，难点在于分情况讨论．
28．如图，在正方形ABCD中，点M是 ( http: / / www.21cnjy.com )BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质．
分析： （1）根据正方形的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解．
解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴=，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴=，
∴=，
∴BM=MC．
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点评： 本题考查了相似三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．
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