人教版数学八年级上册 第十二章 全等三角形 大单元教学设计

《全等三角形》
单元整体教学设计
全等三角形 单元概述
【单元内容】
全等三角形是三角形一章的延续，从对一个三角形的探究扩展到两个三角形关系的探究.全等三角形是最简单、最基本的全等形，在现实生活中有着广泛的应用.全等形及全等三角形为探究角相等、线段相等提供了一种新的方法，全等三角形的概念、性质与判定是本单元的核心内容,是研究轴对称、等腰三角形、平行四边形和圆等几何图形的基础.
【课标要求】
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;三边分别相等的两个三角形全等.
3.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
4.尺规作图：（1）能用尺规完成基本作图：作一个角等于已知角；
（2)会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.
【单元目标】
1.研读文本，结合生活实例说出对全等形与全等三角形的理解，探究全等三角形的性质进行边与角的转化.
2.通过画图、叠合、实验、观察等活动，分析三角形全等所需元素，探索三角形全等的四种判定方法并初步运用，说出判定两个三角形全等的思路；
3.设计复原风筝方案，用尺规作三角形，并说出理论依据，探究全等三角形的应用价值；
4.围绕全等三角形的概念、性质、判定进行重构过关，灵活应用全等三角形模型、转化思想解决综合问题.
【评价预设】
学习阶段 评价标准 自我评价
整体感知 能说出全等形的概念、特征及全等三角形元素之间的对应关系，能运用全等三角形的性质解决边角问题.
探究建构 探究全等三角形的判定，并能选择合适的判定方法解决三角形边角问题，解决生活中的简单问题.
应用迁移 借助尺规作图，设计符合条件的三角形风筝骨架，并说出理论依据；设计距离测量方案，总结全等三角形在生活中的应用.
重构拓展 结合图形及问题，梳理全等三角形核心内容及内在联系，灵活应用全等三角形模型、转化思想解决综合问题.
【学习导航】
通过整体感知观察分析实例认识全等形，猜测全等三角形元素之间的关系，根据叠合得出对应关系及全等三角形的性质，为后续学习奠定基础；探究建构阶段将重点探究本单元的核心问题——三角形全等的判定方法，并能应用三角形全等的性质与判定解决边角问题；应用迁移阶段，运用全等三角形的性质与判定分析并解决实际问题；通过重构拓展阶段复盘学习过程，梳理全等三角形核心内容及内在联系，灵活应用全等三角形模型解决综合问题.
【学时建议】
学习过程 学习任务 学时
整体感知 揭秘全等三角形的对应关系 1
探究建构 探索三角形全等的判定方法 3
应用迁移 设计符合条件的三角形风筝骨架 2
重构拓展 利用三角形全等解决综合问题 1
【本单元学习目标追求】
请结合对本单元的单元概述与单元内容的学习，制定自己学习本单元的目标追求.
全等三角形
【学习目标】
1.结合实例抽象出全等形，说出全等形与全等三角形的概念与特征，能辨别两个图形是否为全等形；
2.借助三角形纸片识别全等三角形中的对应边与对应角，探究全等三角形的性质进行边和角的转化；
3.通过图形变换分析全等三角形模型中的对应关系，运用全等三角形的性质解决边角问题.
【学习任务】
揭秘全等三角形的对应关系
——认识全等形
亲爱的同学们，观察校服上的校徽，每个教室张贴的国旗，剪纸课上剪的窗花、做的风筝等等，它们有什么特点？结合图片思考，完成下面的问题.
【问题探究】
1.分别观察四组图片，看看它们有什么特点？如果将每组中的两张图片用适当的方式叠合在一起它们能够完全重合吗？
2.请列举生活中其它能够完全重合的两个平面图形的例子.
3.每组图中两个图形的形状和大小分别有怎样的关系？
4.根据全等形的概念，尝试做出一对全等的三角形并说出全等三角形的概念.
【归纳生成】
用自己的话描述全等形的概念及特征.
【学习评测】
下面这组图形中哪些图形是全等形？
——探究全等三角形的性质
我们在研究图形时主要研究图形的边和角，如果两个三角形全等，它们的边和角有怎样的关系呢？结合下面的问题进行思考.
【问题探究】
1.将手中的两个三角形进行叠合，说出两个三角形中的对应点、对应边、对应角.
2.由全等三角形的定义，全等三角形的对应边与对应角之间有怎样的特殊关系，并将上述性质用符号语言表示.
3.将手中两个全等的三角形摆放成如图的两种形式，分别找出对应边和对应角.
【归纳生成】
1.在书写两个三角形全等时应当注意什么？
2.总结识别全等三角形中的对应边和对应角的方法.
【学习评测】
1.如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，则∠A的对应角是_____ ，BC的对应边是_____ .
2.如图，已知≌，∠BAC=85°，∠ABC=30°，那么∠DCA= ，∠CDA= ，∠BCA= ，∠DAC= .
3.下图是数学兴趣小组的同学拼接的一个图案， 其中△ABC≌△DEF，写出这两个三角形中相等的边和相等的角.
[变形思考]上图图案中有哪些相等的线段和相等的角？说明理由.
——分析全等三角形模型中的对应关系
让两个全等三角形重合，再试着通过平移、旋转、翻折等，拼得一个新的图形.试分析模型中两个全等三角形的对应关系.
【实践探究】
1.尝试把拼得的图形画下来，组内展示交流，梳理全等三角形的模型.
2.分析组内其他同学所画图形是如何变换得到的，并指出对应边与对应角.
【思维拓展】
如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB=6，BC=3，∠C=55°，∠D=25°.
（1）求AE的长；
（2）求∠AED的度数.
【形成性评价1】
评价要点 水平标准 星级评价 自我评价
要点1：全等形的概念与特征 能结合实例说出全等形的概念 ☆
能够准确识别全等形 ☆☆
能够总结全等形的特征 ☆☆☆
要点2：应用全等三角形的性质进行边角转化 结合纸片得出全等三角形的的对应关系 ☆
能够根据性质进行边与角的转化 ☆☆
能在具体图形中识别全等三角形的对应边与对应角，解决边角问题 ☆☆☆
评价问题：
1.下列说法中，正确的是( )
A.全等图形的面积相等 B.形状相同的两个图形是全等形
C.面积相等的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形
2.如图，和全等，且，对应．
若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
3.如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：．
全等三角形
【学习目标】
1.通过画图、叠合、实验、观察等数学活动，猜想判断三角形全等所需的条件；
2.通过操作验证，探索三角形全等的判定方法，说出它们的联系及判定两个三角形全等的思路；
3.选择合适的判定方法解决三角形边角问题，说出如何用三角形全等求角相等、线段相等.
【学习任务】
探索三角形全等的判定方法
——猜想判定三角形全等所需的条件
用硬纸板任意剪一个三角形，用它做模板，在下面画出两个不重合的三角形，使它们分别满足（1）有一条公共边；（2）有一个公共顶点；（3）有一个公共角.它们都全等吗？
1.通过探究，两个三角形有一对元素（一对边或一对角）相等，能保证它们全等吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例.
2.只根据两个三角形有两对元素（①两对边②两对角③一对边加一对角）分别相等，能保证它们全等吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例.
[猜想]最少几对元素相等，就可以判断两个三角形全等？
——探索三角形全等的判定方法
根据我们对全等三角形定义的理解，满足这六对元素就可以保证，对两个三角形来说六个元素（三条边、三个角）中，至少需要有三个元素分别相等，这两个三角形才全等.
利用拼接条动手实验，或用刻度尺和量角器画三角形（在三角形上标注和字母和数据），分析自己画的图形，或把你的三角形与其他同学画的三角形进行比较，将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合,并记录你的发现.
实验一：已知三条边
如果从边的角度，满足三条边分别相等就能说明这两个三角形全等呢？用拼接条拼接说明.
实验二：已知三个角
如果从角的角度，满足三个角分别相等就能说明这两个三角形全等呢？画图说明.
实验三：已知边和角
如果从边和角的角度，要使得两个三角形全等，需要满足哪几个条件呢？
1.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上，若再添加一个条件：另一边也分别相等(举例 ，等角为70°)，可以画出几种情况？怎样画才能确保这两个三角形全等呢？通过实验分别进行研究，并分别画图说明.
2. 在两个三角形的一边一角分别相等的基础上，若再添加一个条件：另一角也分别相等(举例，，相等的边为10cm)，可以画出几种情况？怎样画才能确保这两个三角形全等呢？通过实验分别进行研究，并分别画图说明.
【归纳生成】
1.实验操作结论梳理：三角形全等的判定方法
研究的角度 角 边 两边一角 两角一边
对应相等的元素 角角角 边边边 两边及其夹角 两边及其中一边的对角 两角及其夹边 两角及其中一角的对边
三角形是否全等
若全等，写出判定方法的简写，若不全等，画图说明
2.仿照下面的书写格式，结合图形，分别用符号语言表示出其它判定方法：
在△ABC和中,
∵
∴△ ≌△ ( SSS )
[拓展思考]通过以上问题的研究，小亮认为可以把AAS与ASA概括成“满足两角及一边分别相等的两个三角形全等”.你同意他的意见吗？如果不同意，请举例说明.
——选择合适的判定方法解决边角问题
1.如图所示为参加《趣味数学》校本课程的同学做的风筝骨架，已知AB=AC，AD=AE，
△ABE≌△ACD全等吗？说明你的理由.
2.已知多边形ADBC是校本教室柜子上的装饰图案，它是由两个全等的三角形组合而成的.小茗同学不小心将△ABC损坏了，同学们奋力修补之后如图所示，经测量发现∠1=∠2，∠3=∠4，同学们的修补的图案符合要求吗？为什么？
3.如图是一个简易版风筝骨架，已知AD=AE，∠B=∠C. 请判断风筝骨架是否合格（若BE和CD相等，则此风筝质量合格），并说明理由.
4.如图在这个风筝制作过程中，已知AB=CB，AD=CD，若∠A=∠C则风筝合格.请判断是否合格，并说明理由.
5.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且∠D=∠B，DF=BE.
请证明下列结论： ⑴AE=CF； ⑵AE∥CF．
【归纳生成】
尝试总结如何用三角形全等的求角相等、线段相等.
【学习评测】
1.如图，AB=DB，，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是什么？请说明理由.
【形成性评价2】
评价要点 水平标准 星级评价 自我评价
要点1：探究三角形全等的判定条件 能够利用拼接条及作图猜想判定三角形全等所需的条件 ☆
能够通过实验得到三角形全等的判定方法 ☆☆
会用符号语言描述四种判定，总结它们的联系 ☆☆☆
要点2：应用三角形全等的性质与判定解决边角问题 分析所给条件，找出全等三角形模型 ☆
能选择合适的判定方法判定两个三角形全等 ☆☆
能灵活运用三角形全等的性质与判定解决边角问题 ☆☆☆
评价问题：
1.如图，在与中，已有条件 ，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合.过角尺顶点的射线即为的平分线.为什么？
全等三角形
【学习目标】
1.研读文本，用尺规作符合条件的角，说出作图与全等三角形的关系；
2.借助尺规作图，设计符合条件的三角形风筝骨架，说出理论依据；
3.设计距离测量方案，结合全等三角形在生活中的应用，总结其应用价值.
【学习任务】
设计符合条件的三角形风筝骨架
----用尺规完成基本作图
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.最基本、最常用的尺规作图通常称“基本作图”，一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.利用尺规作图可以解决许多几何作图问题，动手试一试吧！
问题1：用尺规作一条线段等于已知线段.
请用尺规作出线段AB=.对比用刻度尺画出的线段，你认为哪一种方式绘制的图形是精确的？
问题2：用尺规作一个角等于已知角.
（1）如图，已知：
求作：，使
（保留作图痕迹，并写出作法）
（2）上述作图的依据是什么？
【实践生成】
总结尺规作图中直尺和圆规的特点及作用.尺规作图过程中需要注意什么？
【学习评测】
1.下列关于尺规作图的说法正确的是（ ）
A.作已知线段的等线段只需要尺子就可以 B.尺规作图时，直尺不能量取
C.作已知角的等角可以用量角器量角 D.作已知角的等角需要用直尺量取角的边长
2.如图，已知，，求做一个角，使它等于+. (保留作图痕迹）
——用尺规作三角形，复原风筝骨架
三角形中有六个元素，我们通过探究得到了全等三角形的判定方法，思考需要知道其中的哪几个元素就可作出三角形呢？根据下列条件作三角形完成下面的作图.
问题1：已知两边及其夹角作三角形.
若要使风筝骨架△ABC满足，请用尺规作出符合条件的图形，帮助小丽同学完成任务.(保留作图痕迹，并写出作法）
问题2：如图为三角形风筝骨架，请参考问题1用尺规作出与它一样的三角形，结合三角形的四种判定方法至少设计出两种方案，保留作图痕迹，并与同伴交流.
方案一： 方案二：
已知： 已知：
作图： 作图：
【实践生成】
通过尺规作出的三角形形状、大小是确定的吗？说出尺规作三角形与全等三角形判定之间的关系.
【学习评测】已知两角及其中一角的对边作三角形.
小明同学的三角形风筝骨架不小心损坏了，只保留了如下数据，其中两角分别为，且的对边长为,请帮助小明用尺规设计风筝骨架.
——探究全等三角形在生活中的应用
问题1：如图，有一座假山，现在需要测量山脚下有两点的宽度，由于条件限制无法直接测量，请你用所学过的数学知识按照以下要求设计一测量方案.
（1）设计测量方案，并画出图形，标注字母；
（2）证明方案的正确性.
问题2：如图是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？
【归纳生成】
举例说明全等三角形、三角形的稳定性在生活中的应用.
【形成性评价3】
评价要点 评价标准 评价层级 自我评价
要点1 ：借助尺规作图作三角形 会作符合条件的线段和角 ☆
根据条件能够准确作出三角形 ☆☆
会作三角形并解释作图依据 ☆☆☆
要点2：全等三角形在生活中的应用 会用全等三角形的性质和判定解决问题 ☆
设计出复原风筝的方案并解释原理 ☆☆
结合实例总结全等三角形的应用价值 ☆☆☆
评价问题：
1.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，作图依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D.AAS
2.如图，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B,C,E在同一条直线上，连结DC．
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明；
(2)证明：DC⊥BE．
全等三角形
【学习目标】
1.研读文本，以全等三角形的概念、性质和判定为主线，梳理内在联系，说出全等三角形中蕴含的思想方法；
2.人人参与过关，自主纠错、反思错因，总结用三角形全等解决边角问题的思路；
3.围绕全等三角形性质、判定进行二次过关，灵活应用全等三角形模型、转化思想解决综合问题.
【学习任务】
应用全等三角形解决综合问题
【单元重构】
本单元我们研究了全等三角形概念、性质和判定，结合所学内容，完成下面的任务（二选一即可）：
任务1：再次阅读《全等三角形》的课本内容，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，用你喜欢的方式呈现出思维导图.
任务2：分析下面的图形，完成思考问题
①如果△ABC≌△DEF，请写出你能得出的所有结论；
②请你设计尽可能多的方案来证明右图中的两个三角形是全等的.
说明需要添加的条件及用到的方法；
③反思本单元的学习过程，总结在知识、能力、思想、方法等方面的收获.
【单元拓展】
1.如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=______．
2.如图，AB=8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=6cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动它们运动的时间为 t s.
(1) 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由;
(2)如图，将AC⊥AB，BD⊥AB改为∠CAB=∠DBA=a°，其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在x，使得△ACP与△BPQ全等 若存在，求出相应的x、t的值;若不存在，请说明理由.
【单元过关】
1.下列图形中，是一对全等图形的是( )
A.两个正方形 B.两个等腰三角形
C.两个等边三角形 D.两个边长为1的等边三角形
2．如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝ADC
4.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是_______________.
5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AB，DE，DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
6.在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：①△ADC≌△CEB.②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，请写出DE，AD，BE之间的等量关系．
【形成性评价4】
水平划分 水平标准 自我评价
水平一 从全等三角形概念、性质和判定等方面梳理核心内容及内在联系
水平二 归纳总结利用三角形全等解决边角问题的一般思路
水平三 灵活选择三角形全等的性质和判定解决综合问题与实际问题
单元过关：全等三角形
（时间：90分钟，满分：100分）
一、单选题（每题3分，共24分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
2. 如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应点，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠A＝∠B B．AO＝BO C．AB＝CD D．AC＝BD
3．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出（ ）
A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACD
C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE
第2题图 第3题图 第6题图 第8题图
4.在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A．∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′
C．BC＝B′C′ D．AC＝A′C′
5. 使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A. 斜边相等　　　　　　 B. 两直角边对应相等
C. 一锐角对应相等 　　 D. 两锐角对应相等
6. 如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝12，AC＝8，则CD的长为（ ）
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
7. 用两个全等的直角三角形，拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ③④⑤ D. ③④⑥
8. 如图,平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,过点O作直线分别交于AD、BC于点E、F,那么图中全等的三角形共有 （ ）
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
二、 多选题（每题3分，共6分）
9. 给出下列条件，其中不能使两个三角形全等的条件是 （ ）
A. 两边一角对应相等　 B.两角一边对应相等　
C. 三角形中三角对应相等　D.三边对应相等，
10. 如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论中正确的是（ ）
A. DE=DF 　 B.
C. △ADE≌△ADF　 　D. AD=DE+DF
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
三、填空题（每空3分，共15分）
11. 如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD， 可补充的一个条件是: ____________（写一个即可）.
(第11题) (第12题)
12. ( http: / / www.1230.org / )如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝ °.
13.如图，△ABC≌△DCB，∠DBC=40°，则∠AOB=　 　．
(第13题) (第14题) (第15题)
14.如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，则∠A′CO＝________．
15.如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD=CD，BD=ED，若∠ABC=54°，则∠E=　 　．
四、解答题（规范步骤，共55分）
16. 如图，点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：∠B＝∠D.
17. 如图，已知AB//FC,点E是DF的中点，AB=15，CF=8，求BD的长.
18.如图，已知，DE过点A，且，，垂足分别为点D，E.
（1）与相等吗？说明理由；
（2）与全等吗？说明理由；
19. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
20. 如图，点D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC，下面有三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．
1、我的学习目标
二、我的目标达成情况
整体感知
学习活动1
学习活动2
第2题图
第1题图
B
A
D
E
C
F
学习活动3
探究建构
学习活动4
学习活动5
学习活动6
应用迁移
学习活动7
学习活动8
A
C
B
学习活动9
重构拓展
基础过关
应用过关
A E D
O
B F C
A
D
C
B
E
F
PAGE